空间向量及其坐标的运算(精练)(解析版)

1.3空间向量及其坐标的运算【题组一空间向量的坐标运算】1.(2020・全国高二)已知点B(2,-3,1)，向量AB=(-3,5,2)，则点A坐标是()A.(1,2,3)B.(-1,2,3)C.(-5,8,1)D.(5,-8,-1)【答案】D【解析】设点A(x,y,z)，则向量AB=(2-x，-3-y，1-z)=(—3,5,2)2—x=-3所以<-3-y=5、1-z=2y=-所以<-3-y=5、1-z=2y=-8z=-1所以点A(5,-&-1).故选：D2.(2019・浙江高二学业考试)设点M(5,-1,2),A(4,2,-1),O(0,0,0)•若OM=AB，则点B的坐标为()A．(-1,3,-3)B．(1,-3,3)C．(9,1,1)D．(-9,-1,-1)【答案】C【解析】设点B的坐标为(x,y,z)，则OM=(5,-1,2),AB=(x-4,y-2,z+1)OM=ABx-4=5x=9y-2=-1，解得iy=1故选：C．3.(2020・绵竹市南轩中学高二月考(理))若a=(2,3,-1)，b=(2,0,3),c=(0,2,2),的值为()A.(4,6,-5)B.5C.7D.36【答案】B【解析】b+c=(2,0,3)+(0,2,2)=(2,2,5)，a+c)=2x2+2x3+(-1)x5=5.故选：B4.(2019・包头市第四中学高二期中(理))若直线i的方向向量为m，平面a的法向量为n，则可能使l//q的是()A.m=(1,0,0)，n=(-2,0,0)b.m=(1,3,5)，n=(1,0,1)C.m=(0,2,1)，n=(-1,0,-1)d.m=(1,-1,3)，n=(0,3,1)【答案】D【解析】A中mn=-2丰0，所以排除A;B中mn=1+5=6丰0，所以排除B;C中mn=—1，所以排除C;D中mn=0，所以m丄n，能使///a.故选D5.（2020・南京市秦淮中学高二期末）对于任意非零向量方=（x,y,z）,b=（x,y,z），以下说法错误的111222有（）a.若a丄b，则x]x2+片y2+Z]z2=oB.B.若a//b，则X=于=三222C.D.AC.D.A.APLABB.AP丄BPC.BC=莎D.AP//BCxx+yy+Zzcos<a,b>=.—1^2—x2+y2+z2•Jx2+y若X1=y]=Z1=1，则a为单位向量【答案】BD【解析】对于a选项，因为a丄b，则a•b=+yy+zz对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos<a+yy+zz对于C选项，由空间向量数量积的坐标运算可知cos<a，b>=〜宀三，C选项正确;x2+y2+z2-x2+y2+z2111222对于d选项，若x1=y1=z1=1，则|a|=J12+12+12=73，此时，a不是单位向量，d选项错误.故选：BD.6（2020・江苏连云港高二期末）已知点P是△ABC所在的平面外一点，若AB=（-2，1,4），AP=（1,-2，1），AC=（4，2，0），贝9（）121212TTx对于B选项，若呎=0，且y2丰0，z2丰0，若a//b，但分式亍无意义，B选项错误;2222答案】AC【解析】因为AP-AB=0，故A正确；BP=（3,—3,—3），AP•BP=3+6—3=6丰0，故B不正确;BCBC二(6,1,—4),|BC卜乜62+12+(—4)2=J53，故C正确；AP二(1,—2,1),BC二(6,1,—4)，各个对BCBC二(6,1,—4),|BC卜乜62+12+(—4)2=J53，故C正确；AP二(1,—2,1),BC二(6,1,—4)，各个对应分量的比例不同，故D不正确。故选:AC。7(2020・全国高二课时练习)已知向量a=(2,—1,—2),b=(1,1,—4).计算2a—3b和|2a—3.求［a,b).【答案】(1)(1,—5,8)；3“0；(2)4【解析】(1)因为向量a二(2,—1,—2),b二(1,1,—4)所以2a—3b=2(2,-1，—2)—3(1,1,—4)=(4,—2,—4)—(3,3,-12)=(】,一5,8)所以2a—3b=J12+(-5)2+82=3J102)a2)a,b=爺=三2卞因为〔a,可G［0,兀］8.(8.(2020・吴起高级中学高二月考(理))已知空间三点A(—2,0,2),B(—1,1,2),C(—3,0,4)，设a=AB,b=AC.a,b的夹角6的余弦值；若向量ka+b,ka—2b互相垂直，求实数k的值;(3)若向量九a—b,a-九b共线，求实数九的值.答案】(1)10答案】(1)102)【解析】(1)已知空间三点A(—2,0,2),B(一1,1,2),C(一3,0,4)a=AB=(1,1,0),b=Ac=(—1,0,2)cos6=丄丄=—迈IaI-1bI忑』10(2)若向量ka+b,ka-2b互相垂直,又a=(1,1,0),b=(—1,0,2)，则(ka+b)-(ka-2b)=(k-1,k,2)-(k+2,k4)=(k-l)(k+2)+k2-8=02k2+k—10=0解得：k=-2或k=2(3)向量尢a-b,a-尢b共线，又a=(1,1,0),b=(-1,0,2)九a—b=(九+1,X,-2),a-九b=(1+九,1,-2九)TOC\o"1-5"\h\z九+1九-2当九北一1,九北0时，.•=~T=.=11+九1—2九当九=-1时，.•.九a—b=(0,-1,-2),a-九b=(0,1,2)，成立,当九=0时，.九a-b=(1,0,—2),a—九b=(1,1,0)，不成立，故：九=1或九=-1【题组二坐标运算在几何中的运用】1.(2020・全国高二课时练习)棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD，BD，BBy的中点.求证：EF丄CF；求EF与CG所成角的余弦值；求CE的长.【答案】(1)证明见解析；(2)"15；(3)©.152【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz'0,0,2',C(0,1,0),F:需,0【,G1,1,2'12丿122丿12丿则D(0,0,0),Er111ar11ar1ar1a=,CF=—,——,0,CG=1,0,—,CE=0,—1,—V222丿V22丿V2丿V2丿所以EF1111A1111Ar1A—X—+—X——+——222V2丿V2丿（1）证明：因为EF-CF=X0=0，所以EF丄CF，即肪丄cf.’11r1a11lr1a2r1a2r1a2(2)因为EF-CG=—x1+—x0+-X—二EF已++—22V24H2丿V2丿V2丿2歼{12+02+(1A2<5cosfEFcosfEF,CG=EF•CG€15IF⑶ce=J02+(—1)2+(*丿$2.（2019•全国高二）棱长为1的正方体ABCD—中，E,F,G分别是DD「BD,BB］的中点．（1）求证：EF丄CF；（2）求EF与CG所成角的余弦值；（3）求CE的长.【答案】（1）详见解析；（2）15；（3）5.152【解析】建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz/B/B则D(0,0,0),E0,0,—,C(0，1，0),F—,—,0,G1丄2V2丿V22丿，2丿(11_1(11_1]♦2,2,_2丿2(11\(1\(1)CF=:2厂2,0丿,CG=:1,0,2丿,CE=:o,_1,2丿所以EF=111i1(1)(i)证明：因为EF-CF=2x2+2x[—2p[_2j0=0所以EF丄CF即EF丄CF(2)因为EF•CG=2x1+2x0+22♦由向量夹角的求法可得TOC\o"1-5"\h\z_,1EFcos-CG4^15EFcosEF_PG*_百EF22（3）根据空间中两点的距离公式可得词h+（_»+（丄丿2卫.Vk2丿23.（2020•全国高二课时练习）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为AyDvBB、的中点，则cosZEAF二，EF=【答案】，EF=【答案】2斗【解析】以A为原点，AB，AD，AA1分别为x轴、y轴、z轴建立直角坐标系所以向量所以向量AF的坐标为i，2，ij—1设正方体棱长为1，AE—1设正方体棱长为1，AE二0,2,1]AF2丿1,0,2]，ef

2丿_,1cosfAE,AF；=进•竺=JAEIAF5x竺22.•.cosZEAF=I,EF=|EFh12.•.cosZEAF=I,EF=|EFh12+<6

丁故答案为：2•'厚4.（2020・全国高二课时练习）如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，E,F分别为0心，Bf1的中点，若以则向量AE的坐标为向量AF的坐标为.向量AC［的坐标为(1,1,1)(1)(1,1,1)【答案】2,1,1V2丿TOC\o"1-5"\h\z（ia【解析】因为AE=AD+DD+DE=厅AB+AD+AA，所以向量AE的坐标为厅丄1•V2丿►►►►►1►►因为AF=AB+BB1+%F-AB+2AD+*

>>>>因为AC=AB+AD+AA，所以向量AC的坐标为(1,1,1)iii故答案为：〔，故答案为：〔，2,i](1,1,1)V2丿【题组三最值问题】1.(2019・全国高一课时练习)在xoy平面内的直线x+y=1上求一点M，使点M到点N(6,5，1)的距离最小，并求出此最小值．【答案】点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|min【解析】设M(x，1-x,0)则|MN|=\(x-6)2+(1-x-5)2+(1-0)2=、Q(x-1)2+51所以当x=1，即点M的坐标为(1,0,0)时，|MN|=J5Tmin2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ZBAC=90。，AB=AC=AA、=2,点G与E分别是A"和CC1的中点,点D与F分别是AC和AB上的动