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文档简介
3.2空间向量与向量运算【夯实基础】
知识点1从平面向量到空间向量
1.下列关于空间向量的说法错误的是()A.两个相等的空间向量,若起点相同,则终点也相同B.在空间中共线的向量在平面内一定共线C.不相等的两个空间向量的模可能相等D.将空间中所有的单位向量平移到同一起点,则它们的终点构成一个圆2.如图所示,在长方体中,,,,则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中:(1)单位向量有__________;(2)与相等的向量有__________;(3)模为的向量有__________;(4)的共线向量有____________.知识点2空间向量的运算
3.已知空间任意四个点A,B,C,D,则()A. B. C. D.4.光岳楼,又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”,其墩台为砖石砌成的正四棱台,如图所示,其中AB与EF之比为,则_________.5.在平行六面体中,,,若,则()A. B. C. D.6.如图所示,在棱长为2的正方体中,O为AC与BD的交点,G为的中点,则在上的投影的数量为___________,在平面ABCD上的投影为__________.7.已知不共面的三个向量a,b,c都是单位向量,且两两夹角都是,则向量和b的夹角为()A. B. C. D.8.如图,在正方体中,点E是的中点,点F在线段AE上,且,则()A. B.C. D.【提升能力】
9.如图,在长方体中,,,点E,F分别在棱,上,,,则()A.1 B. C.2 D.10.已知四面体的所有棱长都等于2,E是棱AB的中点,F是棱CD上靠近点C的四等分点,则等于()A. B. C. D.11.(多选)下列命题中错误的是().A.若两个空间向量相等,则它们起点相同,终点也相同B.若空间向量满足,则C.在正方体中,必有D.若空间向量a,b,c满足,,则12.(多选)已知正方体的棱长为a,则()A. B.C. D.13.在空间四边形ABCD中,连接AC,BD,E,F分别是边AC,BD的中点.设,,则___________.(用a,b,c表示)14.已知点P为棱长等于4的正方体内部一动点,且,则的值达到最小时,与夹角的余弦值为__________.【综合素养】15.已知正三棱柱的各棱长都是2,E,F分别是,的中点,则EF的长是()A.2 B. C. D.16.正多面体也称柏拉图立体,被誉为最有规律的立体结构,是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体,即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图),P,Q分别为棱AB,AD的中点,则___________.
答案以及解析1.答案:D解析:由空间向量的相关概念知A,C说法正确.对于B,在空间中共线的向量,平移到同一平面内一定共线,故B说法正确.对于D,它们的终点构成一个球面,故D说法错误.2.答案:(1),,,,,,,;(2),,;(3),,,,,,,;(4),,,,,,解析:(1)因为,所以,,,,,,,是单位向量.(2)由相等向量的定义知与相等的向量有,,.(3)因为,所以模为的向量有,,,,,,,.(4)由共线向量的定义知的共线向量有,,,,,,.3.答案:D解析:.4.答案:解析:延长EA,FB,GC,HD相交于一点O(如图),则,又,且,所以.5.答案:A解析:如图,,所以,解得.6.答案:;解析:在上的投影的数量为,在平面ABCD上的投影为.7.答案:C解析:,,,.设向量和b的夹角为,则,又,.8.答案:D解析:由题意知,,,,,,所以.9.答案:D解析:连接.由长方体的性质可得.又,所以.因为,所以,所以.因为,所以.故选D.10.答案:D解析:因为E是棱AB的中点,F是棱CD上靠近点C的四等分点,所以,所以.因为,,,所以.故选D.11.答案:AB解析:A错误,空间向量是自由向量;B错误,两个向量的模相等,但方向可以不同,所以这两个向量不一定相等或相反;C,D正确.12.答案:BC解析:正方体的面对角线长为,体对角线长为.,故A错误;,故B正确;,故C正确;,故D错误.13.答案:解析:.14.答案:0解析:由题意可知点P在以A为球心,4为半径,且在正方体的内部的球面上运动,如图,取线段的中点E,连接PE,则,,所以.当A,P,E三点共线时,取最小值,此时,此时,所以.15.答案:C解析:方法一:由题意知,,,又,所以,所以.方法二:取AC的中点O,以O
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