空间向量与向量运算同步练习 高二数学北师大版（2019）选择性必修第一册

3.2空间向量与向量运算【夯实基础】

知识点1从平面向量到空间向量

1.下列关于空间向量的说法错误的是()A.两个相等的空间向量，若起点相同，则终点也相同B.在空间中共线的向量在平面内一定共线C.不相等的两个空间向量的模可能相等D.将空间中所有的单位向量平移到同一起点，则它们的终点构成一个圆2.如图所示，在长方体中，，，，则在以八个顶点中的两个分别为始点和终点的向量中：(1)单位向量有__________；(2)与相等的向量有__________；(3)模为的向量有__________；(4)的共线向量有____________.知识点2空间向量的运算

3.已知空间任意四个点A，B，C，D，则()A. B. C. D.4.光岳楼，又称“余木楼”“鼓楼”“东昌楼”，其墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，其中AB与EF之比为，则_________.5.在平行六面体中，，，若，则()A. B. C. D.6.如图所示，在棱长为2的正方体中，O为AC与BD的交点，G为的中点，则在上的投影的数量为___________，在平面ABCD上的投影为__________.7.已知不共面的三个向量a，b，c都是单位向量，且两两夹角都是，则向量和b的夹角为()A. B. C. D.8.如图，在正方体中，点E是的中点，点F在线段AE上，且，则()A. B.C. D.【提升能力】

9.如图，在长方体中，，，点E，F分别在棱，上，，，则()A.1 B. C.2 D.10.已知四面体的所有棱长都等于2，E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，则等于()A. B. C. D.11.（多选）下列命题中错误的是().A.若两个空间向量相等，则它们起点相同，终点也相同B.若空间向量满足，则C.在正方体中，必有D.若空间向量a，b，c满足，，则12.（多选）已知正方体的棱长为a，则()A. B.C. D.13.在空间四边形ABCD中，连接AC，BD，E，F分别是边AC，BD的中点.设，，则___________.(用a，b，c表示)14.已知点P为棱长等于4的正方体内部一动点，且，则的值达到最小时，与夹角的余弦值为__________.【综合素养】15.已知正三棱柱的各棱长都是2，E，F分别是，的中点，则EF的长是()A.2 B. C. D.16.正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边形).数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则___________.

答案以及解析1.答案：D解析：由空间向量的相关概念知A，C说法正确.对于B，在空间中共线的向量，平移到同一平面内一定共线，故B说法正确.对于D，它们的终点构成一个球面，故D说法错误.2.答案：(1)，，，，，，，；(2)，，；(3)，，，，，，，；(4)，，，，，，解析：(1)因为，所以，，，，，，，是单位向量.(2)由相等向量的定义知与相等的向量有，，.(3)因为，所以模为的向量有，，，，，，，.(4)由共线向量的定义知的共线向量有，，，，，，.3.答案：D解析：.4.答案：解析：延长EA，FB，GC，HD相交于一点O(如图)，则，又，且，所以.5.答案：A解析：如图，，所以，解得.6.答案：；解析：在上的投影的数量为，在平面ABCD上的投影为.7.答案：C解析：，，，.设向量和b的夹角为，则，又，.8.答案：D解析：由题意知，，，，，，所以.9.答案：D解析：连接.由长方体的性质可得.又，所以.因为，所以，所以.因为，所以.故选D.10.答案：D解析：因为E是棱AB的中点，F是棱CD上靠近点C的四等分点，所以，所以.因为，，，所以.故选D.11.答案：AB解析：A错误，空间向量是自由向量；B错误，两个向量的模相等，但方向可以不同，所以这两个向量不一定相等或相反；C，D正确.12.答案：BC解析：正方体的面对角线长为，体对角线长为.，故A错误；，故B正确；，故C正确；，故D错误.13.答案：解析：.14.答案：0解析：由题意可知点P在以A为球心，4为半径，且在正方体的内部的球面上运动，如图，取线段的中点E，连接PE，则，，所以.当A，P，E三点共线时，取最小值，此时，此时，所以.15.答案：C解析：方法一：由题意知，，，又，所以，所以.方法二：取AC的中点O，以O