函数的奇偶性+导学案 高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

高一数学导学案本学案共7页，第页高一年级数学学科导学案命题班级学号姓名得分课题：函数的奇偶性【学习目标】1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义了解奇偶函数的图象的对称性，掌握函数奇偶性的简单应用【重点难点】函数奇偶性的求解【学习流程】◎基础感知问题：我们知道函数的图象能够反映函数的性质，那么函数图象的对称性反映了函数的什么性质呢？

◎探究未知一、知识点函数的奇偶性

1．奇函数

(1)定义：一般地，设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝－f(x)，那么称函数f(x)为奇函数；

(2)图象特征：图象关于原点对称，反之亦然．

2．偶函数

(1)定义：设函数f(x)的定义域是A，如果对任意的x∈A，有－x∈A，且f(－x)＝f(x)，那么称函数f(x)为偶函数；

(2)图象特征：图象关于y轴对称，反之亦然．

3．奇偶性

当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称f(x)具有奇偶性．

记忆点：(1)定义域I具有对称性，即∀x∈I，－x∈I.定义域不关于原点对称时，f(x)是非奇非偶函数；

(2)当f(x)的定义域关于原点对称时，要看f(x)与f(－x)的关系．特别地，若f(－x)≠－f(x)且f(－x)≠f(x)是非奇非偶函数；若f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)既是奇函数又是偶函数．例1、下列图象表示的函数中具有奇偶性的是()

例2．下列函数是偶函数的是________(填序号)．

①y＝x；②y＝2x2－3；③y＝eq\f(1,\r(x))；④y＝eq\f(1,2)x2，x∈[0，1]．

跟踪训练：1．若函数y＝f(x)，x∈[－1，a]是奇函数，则a＝________．2．若f(x)是定义在R上的奇函数，f(3)＝2，则f(－3)＝________，f(0)＝________．判断函数的奇偶性方法技巧：判断函数奇偶性的两种方法

定义法：先判断定义域是否关于原点对称，若不是，则既不是奇函数也不是偶函数，若是，则计算f(-x),确定f(x)与f(-x)的关系，最后下结论图象法：观察函数图像，若关于原点对称，函数为奇函数；若关于y轴对称，函数为偶函数例3、判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝eq\f(x3－x2,x－1)；(2)f(x)＝|x－2|－|x＋2|；(3)f(x)＝x2＋eq\f(a,x)(x≠0，a∈R)．跟踪训练：1、下列四个函数中为偶函数的是()A．y＝2xB．y＝eq\f(x5－x4,x－1)C．y＝x2－2x D．y＝|x|利用函数奇偶性求参数方法技巧：利用奇偶性求参数的常见类型(1)定义域含参数：奇偶函数f(x)的定义域为[a，b]，根据定义域关于原点对称，利用a＋b＝0求参数；(2)解析式含参数：根据f(－x)＝－f(x)或f(－x)＝f(x)列式，比较系数利用待定系数法求解．例4、(1)若函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是偶函数，定义域为[a－1，2a]，则a＝________，b＝________；(2)若f(x)＝(x＋a)(x－4)为偶函数，则实数a＝________；(3)已知函数f(x)＝eq\f(（x＋1）（x＋a）,x)为奇函数，则a＝________．跟踪训练：2、若函数f(x)＝eq\f(x,（2x＋1）（x－a）)为奇函数，则a＝()A．eq\f(1,2)B．eq\f(2,3)C．eq\f(3,4) D．1利用函数的奇偶性求解析式(值)（一）定义法求函数解析式

方法技巧：利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤

(1)“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，x就应在哪个区间上设；

(2)转化到已知区间上，代入已知的解析式；

(3)利用f(x)的奇偶性写出－f(－x)或f(－x)，从而解出f(x)．例5、已知f(x)为R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x2＋3x＋1.(1)、求f(－1)；(2)、求f(x)的解析式．变式训练：(变条件)若将本例中的“奇”改为“偶”，“x>0”改为“x≥0”，其他条件不变，求f(x)的解析式（二）方程组法求函数解析式方法技巧：已知函数f(x)，g(x)组合运算与奇偶性，则把x换为－x，构造方程组求解．例6、设f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，且f(x)＋g(x)＝eq\f(1,x－1)，求函数f(x)，g(x)的解析式．跟踪训练：3．已知f(x)＝x5＋ax3＋bx－8，且f(－2)＝10，则f(2)等于()A．－26B．－18C．－10 D．104．已知函数f(x)为偶函数，且当x<0时，f(x)＝x＋1，则x>0时，f(x)＝________．奇偶性与单调性的综合应用方法技巧：奇偶性与单调性综合问题的两种题型及解法(1)比较大小问题，一般解法是先利用奇偶性，将不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值，转化为同一单调区间上的自变量的函数值，然后利用单调性比较大小；(2)抽象不等式问题，解题步骤是：①将所给的不等式转化为两个函数值的大小关系；②利用奇偶性得出区间上的单调性，再利用单调性“脱去”函数的符号“f”，转化为解不等式(组)的问题．需要注意的是：在转化时，自变量的取值必须在同一单调区间上；当不等式一边没有符号“f”时，需转化为含符号“f”的形式，如0＝f(1)，f(x－1)<0，则f(x－1)<f(1)．例7、(1)、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x－4)＝－f(x)，且在区间[0，2]上单调递增，则()A．f(－1)<f(3)<f(4) B．f(4)<f(3)<f(－1)C．f(3)<f(4)<f(－1) D．f(－1)<f(4)<f(3)(2)、已知函数y＝f(x)在定义域[－1，1]上既是奇函数，又是减函数，若f(1－a2)＋f(1－a)<0，则实数a的取值范围为________；(3)、定义在[－2，2]上的偶函数f(x)在区间[0，2]上单调递减，若f(1－m)<f(m)，则实数m的取值范围为________．跟踪训练：5．设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是()A．f(π)>f(－3)>f(－2)B．f(π)>f(－2)>f(－3)C．f(π)<f(－3)<f(－2)D．f(π)<f(－2)<f(－3)6．函数f(x)是定义在实数集上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，f(3)<f(2a＋1)，则a的取值范围是()A．a>1 B．a<－2C．a>1或a<－2 D．－1<a<2◎达标检测1．(多选)下列函数是奇函数的有()A．y＝eq\f(x（x－1）,x－1)B．y＝－3xeq\s\up6(\f(1,3))C．y＝x－eq\f(2,x) D．y＝πx3－eq\f(3,5)x2．已知y＝f(x)是偶函数，其图象与x轴有4个交点，则方程f(x)＝0的所有实数根之和是()A．4B．2C．1D．03．若函数f(x)＝2x2－|3x＋a|为偶函数，则a＝()A．1B．2C．3D．04．已知奇函数f(x)在R上单调递减，且f(2)＝－1，则满足－1≤f(x－2)≤1的x的取值范围是()A．[－2，2]