高考数学二轮复习 专题10 计数原理(含解析)

专题10计数原理1．【2022年新高考2卷】有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有(

)A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有3!种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：3!×2×2=24种不同的排列方式，故选：B2．【2022年北京】若(2x−1)4=a4xA．40 B．41 C．−40 D．−41【答案】B【解析】【分析】利用赋值法可求a0【详解】令x=1，则a4令x=−1，则a4故a4故选：B.3．【2022年新高考1卷】1−yx(x+y)【答案】-28【解析】【分析】1−yxx+y【详解】因为1−y所以1−yxx+y8的展开式中含1−yxx+y故答案为：-284．【2022年浙江】已知多项式(x+2)(x−1)4=a0【答案】

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−2【解析】【分析】第一空利用二项式定理直接求解即可，第二空赋值去求，令x=0求出a0，再令x=1【详解】含x2的项为：x⋅C4令x=0，即2=a令x=1，即0=a∴a1故答案为：8；−2．1．(2022·湖南·长沙县第一中学模拟预测)SKIPIF1<0展开式中的常数项为(

)A．60 B．64 C．－160 D．240【答案】A【解析】【分析】先得到二项式的通项公式，再令x的指数为0得到项数，从而得到常数项大小．【详解】解：SKIPIF1<0的二项展开式的通项公式为SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以展开式的常数项为SKIPIF1<0．故选：A．2．(2022·江苏无锡·模拟预测)二项式SKIPIF1<0的展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为(

)A．84 B．56 C．35 D．21【答案】B【解析】【分析】易知展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为SKIPIF1<0，再利用组合数的性质求解.【详解】解：因为二项式为SKIPIF1<0，所以其展开式中，含SKIPIF1<0项的二项式系数为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：B3．(2022·湖南·邵阳市第二中学模拟预测)将SKIPIF1<0名志愿者分配到SKIPIF1<0个不同的社区进行抗疫，每名志愿者只分配到SKIPIF1<0个社区，每个社区至少分配SKIPIF1<0名志愿者，则不同的分配方案共有(

)A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种【答案】B【解析】【分析】将SKIPIF1<0名志愿者分为SKIPIF1<0组，每组的人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，再将这SKIPIF1<0组志愿者分配到SKIPIF1<0个不同的社区，利用分步乘法计数原理可得结果.【详解】将SKIPIF1<0名志愿者分为SKIPIF1<0组，每组的人数分别为SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，再将这SKIPIF1<0组志愿者分配到SKIPIF1<0个不同的社区，由分步乘法计数原理可知，不同的分配方案种数为SKIPIF1<0.故选：B.4．(2022·吉林·三模(理))对于SKIPIF1<0的展开式，下列说法不正确的是(

)A．有理项共5项 B．二项式系数和为512C．二项式系数最大的项是第4项和第5项 D．各项系数和为SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】由二项式展开式的通项公式与二项式系数的性质求解判断.【详解】SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，展开式的项为有理项，所以有理项有5项，A正确；所有项的二项式系数和为SKIPIF1<0，B正确；因为二项式的展开式共有10项，所以二项式系数最大的项为第5项和第6项，C错误；令SKIPIF1<0，所有项的系数和为SKIPIF1<0，D正确.故选：C5．(2022·全国·模拟预测(理))为帮助用人单位培养和招聘更多实用型、复合型和紧缺型人才，促进高校毕业生更高质量就业，教育部于SKIPIF1<0年首次实施供需对接就业育人项目．某市今年计划安排甲、乙、丙SKIPIF1<0所高校与SKIPIF1<0家用人单位开展供需对接，每家用人单位只能对接SKIPIF1<0所高校，且必有高校与用人单位对接．若甲高校对接SKIPIF1<0家用人单位，乙、丙两所高校分别至少对接SKIPIF1<0家用人单位，则不同的对接方案共有(

)A．SKIPIF1<0种 B．SKIPIF1<0种 C．SKIPIF1<0种 D．SKIPIF1<0种【答案】C【解析】【分析】将方案分为乙、丙高校各对接SKIPIF1<0家用人单位和乙、丙高校其中一所对接SKIPIF1<0家用人单位，另一所对接SKIPIF1<0家用人单位两种情况，根据分组分配的方法可计算得到每种情况对应的方案数，加和即可求得结果.【详解】若乙、丙高校各对接SKIPIF1<0家用人单位，则对接方案有SKIPIF1<0种；若乙、丙高校其中一所对接SKIPIF1<0家用人单位，另一所对接SKIPIF1<0家用人单位，则对接方案有SKIPIF1<0种；综上所述：不同的对接方案共有SKIPIF1<0种.故选：C.6．(2022·黑龙江·大庆实验中学模拟预测(理))已知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．280 B．35 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】将SKIPIF1<0化为SKIPIF1<0，利用展开式的通项求解即可.【详解】SKIPIF1<0SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0展开式的通项为：SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故选：A.7．(2022·江苏·常州高级中学模拟预测)SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为(

)A．SKIPIF1<0 B．25 C．SKIPIF1<0 D．5【答案】A【解析】【分析】根据题意SKIPIF1<0，借助二项展开式通项得SKIPIF1<0的展开式为SKIPIF1<0，分析求解．【详解】∵SKIPIF1<0SKIPIF1<0的展开式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故选：A．8．(2022·全国·模拟预测)数论领域的四平方和定理最早由欧拉提出，后被拉格朗日等数学家证明．四平方和定理的内容是：任意正整数都可以表示为不超过四个自然数的平方和，例如正整数SKIPIF1<0．设SKIPIF1<0，其中a，b，c，d均为自然数，则满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是(

)A．28 B．24 C．20 D．16【答案】A【解析】【分析】分类讨论四个数的组成后，由计数原理求解【详解】显然a，b，c，d均为不超过5的自然数，下面进行讨论．最大数为5的情况：①SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；最大数为4的情况：②SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况；③SKIPIF1<0，此时共有SKIPIF1<0种情况．当最大数为3时，SKIPIF1<0，故没有满足题意的情况．综上，满足条件的有序数组SKIPIF1<0的个数是SKIPIF1<0．故选：A9．(2022·福建省福州格致中学模拟预测)已知SKIPIF1<0，则关于SKIPIF1<0的展开式，以下命题错误的是(

)A．展开式中系数为负数的项共有3项B．展开式中系数为正数的项共有4项C．含SKIPIF1<0的项的系数是SKIPIF1<0D．各项的系数之和为SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】写出展开式各项的系数判断其正负即判断选项ABC的真假；求出各项的系数之和即可判断选项D的真假.【详解】解：原式=SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的系数为1，是正数；SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0，常数项为SKIPIF1<0，所以展开式中系数为负数的项共有3项，展开式中系数为负数的项共有4项，所以选项AB正确，选项C错误.设SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以各项的系数之和为SKIPIF1<0，所以选项D正确.故选：C10．(2022·辽宁·鞍山一中模拟预测)数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的值为(

)A．761 B．697 C．518 D．454【答案】D【解析】【分析】由SKIPIF1<0，结合等比数列的定义和通项公式可求出SKIPIF1<0，结合二项式定理可求出SKIPIF1<0的值.【详解】解：因为SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0以SKIPIF1<0为首项，SKIPIF1<0为公比的等比数列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故选：D11．(2022·湖北·华中师大一附中模拟预测)某地区安排A，B，C，D，E，F六名党员志愿者同志到三个基层社区开展防诈骗宣传活动，每个地区至少安排一人，至多安排三人，且A，B两人安排在同一个社区，C，D两人不安排在同一个社区，则不同的分配方法总数为(

)A．72 B．84 C．90 D．96【答案】B【解析】【分析】分为每个社区各两人和一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人两种分配方式，第二种分配方式再分AB两人一组去一个社区，AB加上另一人三人去一个社区，进行求解，最后相加即为结果.【详解】第一种分配方式为每个社区各两人，则CE一组，DF一组，或CF一组，DE一组，由2种分组方式，再三组人，三个社区进行排列，则分配方式共有SKIPIF1<0种；第二种分配方式为一个社区1人，一个社区2人，一个社区3人，当AB两人一组去一个社区，则剩下的4人，1人为一组，3人为一组，则必有C或D为一组，有SKIPIF1<0种分配方法，再三个社区，三组人，进行排列，有SKIPIF1<0种分配方法；当AB加上另一人三人去一个社区，若选择的是C或D，则有SKIPIF1<0种选择，再将剩余3人分为两组，有SKIPIF1<0种分配方法，将将三个社区，三组人，进行排列，有SKIPIF1<0种分配方法；若选择的不是C或D，即从E或F中选择1人和AB一起，有SKIPIF1<0种分配方法，再将CD和剩余的1人共3人分为两组，有2种分配方法，将三个社区，三组人，进行排列，有SKIPIF1<0种分配方法，综上共有12+12+36+24=84种不同的分配方式故选：B12．(2022·内蒙古·海拉尔第二中学模拟预测(理))《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳所著.该书记述了我国古代SKIPIF1<0种算法，分别是：积算(即筹算)、太乙算、两仪算、三才算、五行算、八卦算、九宫算、运筹算、了知算、成数算、把头算、龟算、珠算和计数.某中学研究性学习小组有甲、乙、丙、丁四人，该小组拟全部收集九宫算、运筹算、了知算、成数算和把头算等SKIPIF1<0种算法的相关资料，要求每人至少收集其中一种，且每种算法只由一个人收集，但甲不收集九宫算和了知算的资料，则不同的分工收集方案共有(

)种.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】对甲收集的方案种数进行分类讨论，结合分组分配原理以及分类加法计数原理可求得结果.【详解】分以下两种情况讨论：①若甲只收集一种算法，则甲有SKIPIF1<0种选择，将其余SKIPIF1<0种算法分为SKIPIF1<0组，再分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为SKIPIF1<0种；②若甲收集两种算法，则甲可在运筹算、成数算和把头算SKIPIF1<0种算法中选择SKIPIF1<0种，其余SKIPIF1<0种算法分配给乙、丙、丁三人，此时，不同的收集方案种数为SKIPIF1<0种.综上所述，不同的收集方案种数为SKIPIF1<0种.故选：C.13．(2022·广东佛山·模拟预测)“五经”是儒家典籍《周易》、《尚书》、《诗经》、《礼记》、《春秋》的合称．为弘扬中国传统文化，某校在周末兴趣活动中开展了“五经”知识讲座，每经排1节，连排5节，则《诗经》、《春秋》分开排的情况有________种．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】由于《诗经》、《春秋》分开排，先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，然后再把《诗经》、《春秋》插入到4个空位中即可得到答案【详解】先将《周易》、《尚书》、《礼记》进行排列，共有SKIPIF1<0种排法再从产生的4个空位中选2个安排《诗经》、《春秋》，共有SKIPIF1<0种排法所以满足条件的情形共有SKIPIF1<0种．故答案为：SKIPIF1<014．(2022·上海市光明中学模拟预测)已知二项式SKIPIF1<0，则其展开式中SKIPIF1<0的系数为____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】利用二项展开式的通项公式即可求解.【详解】由题意可知，SKIPIF1<0的展开式的通项公式为SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以二项式SKIPIF1<0展开式中SKIPIF1<0的系数为SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15．(2022·吉林·三模(理))为了保障疫情期间广大市民基本生活需求，市政府准备了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、萝卜、黄瓜、土豆八种蔬菜，并从中任选五种，以“蔬菜包”的形式发给市民．若一个“蔬菜包”中不同时含有土豆和萝卜，且角瓜、黄瓜、辣椒最多只含有两种，则可以组成___________种不同的“蔬菜包”．【答案】27【解析】【分析】运用加法分类计数原理，结合组合的定义进行求解即可.【详解】当土豆和萝卜都不含有时，蔬菜包的种数为SKIPIF1<0；当土豆和萝卜中只含有一种时，蔬菜包的种数为SKIPIF1<0，所以可以组成种不同“蔬菜包”种数为SKIPIF1<0，故答案为：2716．(2022·湖南·模拟预测)SKIPIF1<0的展开式的中SKIPIF1<0的系数是______．【答案】5【解析】【分析】由SKIPIF1<0，则分别求出SKIPIF1<0中的SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的系数即可求解．【详解】SKIPIF1<0，所以展开式中SKIPIF1<0的系数是SKIPIF1<0．故答案为：517．(2022·江苏无锡·模拟预测)甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行劳动技术比赛，决出第1名到第5名的名次，已知甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有________种．【答案】54【解析】【分析】根据甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，分甲是第5名和甲不是第5名分类求解.【详解】解：因为甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，当甲是第5名时，则乙可以为第2，3，4名，有3种情况，剩下的3人全排列有SKIPIF1<0种，此时，由分步计数原理得共有SKIPIF1<0种情况；当甲不是第5名时，则甲乙排在第2，3，4名，有SKIPIF1<0种情况，剩下的3人全排列有SKIPIF1<0种，此时，由分步计数原理得共有SKIPIF1<0种情况；综上：甲和乙都没有得到冠军，并且乙不是第5名，则这5个人的名次排列情况共有18+36=54种情况，故答案为：5418．(2022·山东泰安·模拟预测)古希腊哲学家毕达哥拉斯曾说过：“美的线型和其他一切美的形体都必须有对称形式.”在中华传统文化里，建筑、器物、书法、诗歌、对联、绘画几乎无不讲究对称之美.如图所示的是清代诗人黄柏权的《茶壶回文诗》，其以连环诗的形式展现，20个字绕着茶壶成一圆环，无论顺着读还是逆着读，皆成佳作.数学与生活也有许多奇妙的联系，如2020年02月02日(20200202)被称为世界完全对称日(公历纪年日期中数字左右完全对称的日期).数学上把20200202这样的对称数叫回文数，若两位数的回文数共有9个(11，22，…，99).则所有四位数的回文数中能被3整除的个数是___________.【答案】30【解析】【分析】所有四位数的回文数中要能被3整除，这四个数的和是3的偶数倍数，分类讨论即可.【详解】要能被3整除，则四个数的和是3的偶数倍数.满足条件的回文数分为以下几类：和为6的回文数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时有SKIPIF1<0个.和为12的回文数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时有SKIPIF1<0个.和为18的回文数：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此时有