ch03连续信号频域分析

第3章连续信号频域分析信号与系统（第4版）工业和信息化部“十四五”规划教材01引

言PARTONE引言根据叠加原理，LTI系统对任意一个由这些基本信号的线性组合组成的输入信号的响应，就是系统对这些基本信号单独作用所产生的响应的线性组合。在第2章，这些基本响应是单位冲激响应的时移，从而导出了卷积积分。在本章，我们将会发现，LTI对复指数信号的响应具有特别简单的形式，这就提供了一种非常方便的LTI系统的表示和分析方法，并且据此可以深入洞察LTI的性质。本章将集中研究连续时间周期信号的傅里叶级数和连续时间非周期有限能量信号的傅里叶变换。这些表示为分析、设计和理解LTI系统提供了重要的和强有力的工具。同时，本章及第4章还将讨论傅里叶分析的应用。02LTI系统对复指数信号的响应PARTTWOLTI系统对复指数信号的响应如上所述，在研究LTI系统时，把信号表示成基本信号的线性组合是非常有益的，为了便于系统分析，所选择的基本信号应该具有以下两个特性：①基本信号可以构成广泛、有用的信号；②线性时不变系统对基本信号的响应应该十分简单，以便求解系统对任意输入信号的响应。傅里叶分析的重要性大多来源于复指数信号集的这两个特性。复指数信号在分析LTI时之所以重要，是由于一个LTI系统对复指数信号的响应是同样的复指数信号，系统对复指数的影响只是在幅度上有变化，即对连续时间时不变系统有：其中，H(η)是复振幅因子，通常它是复变量η的函数。通常称函数

是LTI系统的特征函数，其特征值为H(η，因为)ψ满足由下式描述的特征值问题(回想一下矩阵的特征值问题)：LTI系统对复指数信号的响应LTI系统对复指数信号的响应由此可以得出：如果一个LTI系统的输入能够表示为复指数信号的线性组合，则系统的输出也能表示成相同复指数信号的线性组合，且在输出表达式中，每一项的系数是输入信号中相应的复指数信号的系数和该复指数信号对应的特征值的乘积。一般来说，上述复指数信号中的η可以是任意复数，但在傅里叶分析中仅限于η的某些特殊形式，在连续时间信号和系统情况下，取η=jω因此在连续时间LTI系统分析中，仅考虑复指数信号。03信号的完备正交函数集表示PARTTHREE正交矢量在平面空间中，两个矢量正交是指两个矢量相互垂直。如图3-1(a)所示，A1和A2是正交的，它们之间的夹角为90°。显然，平面空间两个矢量正交的条件是A1*A2=0 (3-9)这样，可将一个平面中任意矢量A，在笛卡儿坐标系中分解为两个正交矢量的组合A=C1A1+C2A2(3-10)同理，对一个三维空间中的矢量A必须用三维的正交矢量集{A1，A2，A3}来表示，如图3-1(b)所示，有A=C1A1+C2A2+C3A3（3-11）其中，A1，A2，A3相互正交。在三维空间中{A1，A2，A3}是一个完备的正交矢量集，而二维正交矢量集则在此情况下是不完备的。正交矢量以此类推，在n维空间中，只有n个正交矢量A1，A2，A3…….An构成的正交矢量集{A1，A2，A3…….An}才是完备的。也就是说，在n维空间中的任一矢量A，必须用口维正交矢量集{A1，A2，A3…….An}来表示，即虽然n维矢量空间在客观世界中并不存在，但是这种概念有许多应用。例如，n个独立变量的线性方程，可看成n维坐标系中n个分量组成的矢量。正交函数与正交函数集正交矢量分解的概念，可推广应用于信号分析。信号常以时间函数来表示，故信号的分解，也就是时间函数的分解。仿照矢量正交的概念，也可定义函数的正交。完备正交函数集常见的完备正交函数集常见的完备正交函数集04连续时间周期信号的傅里叶级数表示PARTFOUR三角函数表示式三角函数表示式指数形式指数形式指数形式傅里叶级数的收敛傅里叶级数的收敛问题是指周期信号在满足什么条件时，可以表示成傅里叶级数。关于傅里叶级数收敛的详细讨论超出了本书范围，下面只给出一些结果。一个周期信号f(t)用成谐波关系的有限项复指数信号的线性组合来近似，即用下列有限项级数来近似f(t)：傅里叶级数的收敛上式说明，在一个周期上具有有限能量的周期信号，保证了其傅里叶级数均方收敛。这个结果非常有用，工程实际中的信号大都满足在一个周期具有有限能量的条件，因而它们均可表示为傅里叶级数。应该注意的是，均方误差为零，并不意味着f(t)和项逐点相等，即对任意的t均有f（t）=

成立。均方误差为零只说明f(t)和

的误差能量为零。关于

逐点收敛于f(t)有下面的结果。如果信号满足狄里赫利条件：①f(t)有界（或等价地，f(t)在一个周期内绝对可积）；②f(t)在一个周期内有有限个最大最小点；③f(t)在一个周期内有有限个间断点。周期信号的对称性与傅里叶系数的关系周期信号的对称性与傅里叶系数的关系傅里叶级数的性质其图形如图l-9(a)所示，即用一粗箭头表示，箭头旁边标以(1)，表示δ(t)图形下的面积为1，称为冲激函数的强度，简称冲激强度。05周期信号的频谱PARTFIVE周期信号频谱的概念一个周期信号f(t)，只要满足狄里赫利条件，则可分解为一系列谐波分量之和，其各次谐波分量可以是正弦函数或余弦函数，也可以是指数函数。不同的周期信号，其展开式组成情况也不尽相同。在实际工作中，为了表征不同信号的谐波组成情况，常画出周期信号各次谐波的分布图形，这种图形称为信号的频谱，它是信号频域表示的一种方式。描述各次谐波振幅与频率关系的图形称为振幅频谱，描述各次谐波相位与频率关系的图形称为相位频谱。根据周期信号表示成傅里叶级数的不同形式，又分为单边频谱和双边频谱。周期信号频谱的概念3.周期信号频谱的特点图3-7反映了周期矩形信号发f(t)频谱的一些性质，实际上这些性质也是所有周期信号频谱的普遍性质。(1)离散性:指频谱由频率离散而不连续的谱线 组成，这种频谱称为离散频谱或线谱。 (2)谐波性：指各次谐波分量的频率都是基波频 率Ω=2∏/T的整数倍，而且相邻谐波的频率间隔是均匀的，即谱线在频率轴上的位置是Ω的整数倍。(3)收敛性:若谱线幅度随n—∞而衰减到零，则这种频谱具有收敛性或衰减性。周期信号的有效频谱宽度在周期信号的频谱分析中，周期矩形脉冲信号的频谱具有典型的意义，已得到广泛的应用。下面以图3-8所示的周期矩形脉冲信号为例，进一步研究其频谱宽度与脉冲宽度之间的关系。图3-8所示信号f(t)的脉冲宽度为T，脉冲幅度为E，重复周期为T，重复角频率为Ω=2∏/T。若将f(t)展开为式(3-24)所示的傅里叶级数，则由式(3-25)可得在这里Fn为实数。因此一般把振幅频谱和相位频谱合画在一幅图中，如图3-9所示。周期信号的有效频谱宽度由图3-9可以看出：(1)周期矩形脉冲信号的频谱是离散的，两谱线间隔为Ω=2兀/T。(2)直流分量、基波及各次谐波分量的大小正比于脉冲幅度E和脉宽T，反比于周期7，其变化受包络线ssinx/x的牵制。(3)当ω=2w∏/T(m=±1，±2，…)时，谱线的包络线过零点。因此少ω=2w∏/T称为零分量频率。(4)周期矩形脉冲信号包含无限多条谱线，它可分解为无限多个频率分量，但其主要能量集中在第一个零分量频率之内。因此通常把ω=0~2∏/T这段频率范围称为矩形信号的有效频谱宽度或信号的占有频带，记为显然，有效频谱宽度只与脉冲宽度T有关，而且成反比关系。有效频谱宽度是研究信号与系统频率特性的重要内容，要使信号通过线性系统不失真，就要求系统本身所具有的频率特性必须与信号的频宽相适应。对于一般周期信号，同样也可得到离散频谱，也存在零分量频率和信号的占有频带。周期信号频谱与周期T的关系下面仍以图3-8所示的周期矩形信号为例进行分析。因为所以在脉冲宽度T保持不变的情况下，若增大周期T，则可以看出：(1) 离散谱线的间隔Ω=2兀/T将变小，即谱线变密；(2) 各谱线的幅度将变小，包络线变化缓慢，即振幅收敛速度变慢；(3) 由于T不变，故零分量频率位置不变，信号有效频谱宽度也不变。周期信号的功率谱该式称为巴塞伐尔(Parseval)定理。它表明，周期信号的平均功率完全可以在频域用Fn加以确定。实际上它反映周期信号在时域的平均功率等于频域中的直流功率分量和各次谐波平均功率分量之和。与nΩ的关系称为周期信号的功率频谱，简称功率谱。显然，周期信号的功率谱也是离散谱。06非周期信号的频谱PARTSIX非周期信号的频谱函数非周期信号的频谱函数傅里叶变换傅里叶变换傅里叶变换的存在条件前面根据周期信号的傅里叶级数导出了傅里叶变换。但从理论上讲，傅里叶变换也应满足一定条件才能存在。傅里叶变换存在的必要和充分条件的证明需要较多的数学基础理论，在此仅对其充分条件加以讨论。傅里叶变换的存在条件在实际工程中的信号大多满足上述条件，因而它们的傅里叶变换都是存在的。值得注意的是，上述条件是傅里叶变换存在的充分条件，而不是必要条件。一些不满足绝对可积条件的函数也可有傅里叶变换。当在傅里叶变换中引入冲激函数时，它们的傅里叶变换都存在，这样就可以在一个统一的框架内研究傅里叶级数和傅里叶变换。单边指数信号典型信号的频谱函数2.偶双边指数信号典型信号的频谱函数3.奇双边指数信号典型信号的频谱函数典型信号的频谱函数典型信号的频谱函数典型信号的频谱函数典型信号的频谱函数典型信号的频谱函数07傅里叶变换的基本性质PARTSEVEN傅里叶变换的基本性质1.线性性傅里叶变换是一种线性运算，它满足齐次性和叠加性，即若式中，a和b均为常数。该性质的证明只需根据傅里叶变换的定义即可得出。线性性可以推广至任意个信号的线性组合。傅里叶变换的基本性质2.对称性傅里叶变换的基本性质3.折叠性4.尺度变换性傅里叶变换的基本性质5.时移性6.频移性7.时域