13.4最短路径问题(第一课时)

课件设计：XXX13.4最短路径问题〔第1课时〕学习目标：1、我能利用轴对称解决简单的最短路径问题2、我能体会图形的变化在解决最值问题中的作用，感悟、转化思想3、我能把生活中一些简单的实际问题抽象成数学问题学习重难点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间，线段最短〞问题．模块一：1、两点的所有连线中,_______________.2、连接直线外一点和直线上各点的所有线段中,______________.3、三角形的三边关系__________________________________.线段最短垂线段最短两边之和大于第三边，两边之差小于第三边问题1

如图，牧马人从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？C利用已经学过的知识，可以很容易地解决上面的问题，即：连接AB，与直线l相交于一点，根据“两点之间，线段最短〞，可知这个交点即为所求．

问题2

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？模块二：精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的知识答复了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题〞．

〔1〕这是一个实际问题，你能模拟这个情景吗？

首先从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；然而在河边饮马的地点有无穷多处，把饮马地点与A，B连接起来的线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；

小小数学家

(2)你能将它抽象为数学问题吗

？将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．B··Al小小数学家〔3〕对于问题2，如果能将点B“移〞到l的另一侧B′处，满足直线l上的任意一点C，都保持CB与CB′的长度相等，那么问题就简单多了。一定存在这样的点B′吗？存在的话怎么找到它呢？BAlC..作法：〔1〕作点B关于直线l的对称点B′；〔2〕连接AB′，与直线l相交于点C．那么点C即为所求．小小数学家问题2

如图，点A，B在直线l的同侧，点C是直线上的一个动点，当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小？B·lA·B′C问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′C模块三：证明：如图，在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，连接AC′，BC′，B′C′．由轴对称的性质知，BC=B′C，BC′=B′C′．∴AC+BC=AC+B′C=AB′，AC′+BC′=AC′+B′C′．在△AB′C′中，AB′＜AC′+B′C′，∴AC+BC＜AC′+BC′．即AC+BC最短．问题3

你能用所学的知识证明AC+BC最短吗？B·lA·B′CC′假设直线l上任意一点〔与点C不重合〕与A，B两点的距离和都大于AC+BC，就说明AC+BC最小．B·lA·B′CC′1、证明AC+BC最短时，为什么要在直线l上任取一点C′〔与点C不重合〕，证明AC+BC＜AC′+BC′？这里的“C′〞的作用是什么？思考？2、回忆前面的探究过程，我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的？B·lA·B′CC′思考？1、首先把实际问题转化成数学问题；2、然后把两点在一条直线的同侧转化成异侧，借助轴对称；3、最后利用两点之间线段最短来找到最短路径如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．模块四：小小数学家根本思路：由于两点之间线段最短，所以首先可连接PQ，线段PQ为旅游船最短路径中的必经线路．将河岸抽象为一条直线BC，这样问题就转化为“点P，Q在直线BC的