13.3.1等腰三角形的性质

等腰三角形13.3.1动手做一做ACB从数学的观点去思考，你观察到了什么图形？魁星阁

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等腰三角形一.根本概念1.定义:两条边相等的三角形叫做等腰三角形.

如图AB=AC,△

,就是等腰三角形

2.等腰三角形的根本要素:相等的两边叫做腰另一边叫做底边

两腰的夹角叫做顶角

腰和底边的夹角叫做底角

ABC腰腰底边顶角底角底角CABAC=BCBCAAB=CB腰：底边：顶角：底角：腰：底边：顶角：底角：AC，BCABA，BAB，CBACBA，CC做一做1：

〔1〕把你们准备的顶角分别为锐角、直角和钝角的等腰三角形拿出来；〔2〕把三角形的顶角顶点记为A，底角顶点记为B，C。〔3〕把三角形对折，让两腰AB，AC重叠在一起，折痕为AD。观察后你发现了什么现象？二.等腰三角形性质的探索BACDABCD重合的线段重合的角

ACBDAB＝ACBD＝CD

AD＝AD∠B＝

∠C.∠BAD＝∠CAD∠ADB＝

∠ADC=90°

等腰三角形除了两腰相等以外,

你还能发现它的其他性质吗?结论：1、等腰三角形是轴对称图形2、∠B=∠C3、BD=CD，AD为底边上的中线4、∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高5、∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线问题1、结论〔2〕用文字如何表述？等腰三角形的两个底角相等〔简写“等边对等角〞〕CABD(2)要注意是哪三线?等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一〞(1)“等腰三角形〞是三线合一的大前提CABD问题2、结论〔3〕、〔4〕、〔5〕用一句话可以归纳为什么？做一做2：画出手中等腰三角形的某一底角平分线、对边(腰)上的中线和高，看是否重合？

CBA

如图：BF为AC边上的高，BE为ABC的平分线，BG为AC边上的中线EFGCABD如何证明：等腰三角形的两个底角相等〔简写“等边对等角〞〕：如图△ABC中AB=AC求证：∠B=∠C证明：过A作AD⊥BC于D∟在Rt△ABD和Rt△ACD中AB=AC〔〕AD=AD〔公共边〕∴Rt△ABD≌Rt△ACD〔HL〕∴∠B=∠C〔全等三角形的对应角相等〕思考1：还有其他的证明方法吗？思考2：你有方法证明等腰三角形的“三线合一〞吗？等腰三角形的性质1、等腰三角形的两个底角相等〔简称“等边对等角〞〕2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的高和底边上的中线互相重合〔简称“三线合一〞〕一般的三角形有这种性质吗？要注意是指顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线这三线重合。CDBA①在ΔABC中，∵AB=AC，∴∠B=∠C〔〕等腰三角形的性质等边对等角〔1〕∵AD⊥BC，∴∠____=∠____，___=___〔2〕∵AD是中线，∴___⊥___，∠____=∠____〔3〕∵AD是角平分线，∴___⊥___，___=___BADCADBDCDADBCADBCBADCADBDCD②在△ABC中，AB=AC时，

等腰三角形底边上的中线和高线、顶角的平分线互相重合。例1、如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数。ABCD解：∵AB=AC，BD=BC=AD，∴∠ABC=∠C=∠BDC，∠A=∠ABD〔等边对等角)设∠A=x,那么∠BDC=∠A+∠ABD=2x,从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x=36°，∴∠A=36°∠ABC=∠C=72°x⌒2x⌒2x⌒⌒2x例2、：在△ABC中，AB=AC，∠B=80°，求∠C和∠A的度数。ABC解：∵AB=AC∴∠B=∠C=80°又∵∠A+∠B+∠C=180°∴∠A=180°-80°-80°=20°例3、如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠1和∠ADC的度数。ABC12D解：∵等腰三角形的“三线合一〞所以AD是△ABC的顶角平分线、底边上的高，∠ADC=∠ADB=90°∵∠1=180°-∠ADB

-∠B

=60°

∴∠1

=60°∴学一学

练习1。在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，CD⊥AB那么图中有哪些角和线段相等？ACBD∵

AC=BC,∠ACB=90°∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°解：∠A=∠B=45

°∴∵CD⊥AB∴∠ACD=∠A=∠B=∠BCD

=45°练习∠ACD=180°

-∠ADC-∠A=45

∠BCD=180-∠BDC-∠B=45

°∴∴AD=BD=DC〔“等边对等角〞〕∴相等的线段有，AC=BC,

AD=BD=DC相等角∠ADC=∠BDC=∠ACB=90°∠BCD=∠ACD=

∠A=∠B=45

1.等腰三角形一个角为70°,它的另外两个角为

___________________2.等腰三角形一个角为110°,它的另外两个角为

________

70°,40°或55°,55°35°,35°随堂练习:3.等腰三角形有两边长为4和8，则该等腰三角形的周长为________一、填空20二、判断以下命题是否正确。〔1〕等腰三角形的角平分线、中线和高互相重合〔〕〔2〕有一个角是60°的等腰三角形，其它两个内角也为60°。〔〕〔3〕等腰三角形的底角都是锐角〔〕〔4〕钝角三角形不可能是等腰三角形〔