重难专攻十概率中综合问题

重难专攻（十）概率中的综合问题

新高考对概率的考查由原来对生活实践情境中某一概率模型（某一知识点）的单一考查逐步演变到对生活实践情境类问题的综合考查，近几年高考真题由原来的中档解答题逐步延深到综合压轴题，所考查的知识内涵多以知识交汇为主，特别是2022年新高考Ⅰ卷还引入了概率统计中的证明做为创新题型呈现，这样不但打破了原来的备考思维模式，而且新的考法对数学核心素养要求更高，下面从三类热点问题引导学生探究概率中综合问题的破解规律.概率与函数的交汇问题【例1】

甲、乙两人进行象棋比赛（没有平局），采用“五局三胜”制.已知在每局比赛中，甲获胜的概率为p，0＜p＜1.（1）设甲以3∶1获胜的概率为f（p），求f（p）的最大值；

（2）记（1）中f（p）取得最大值时的p为p0，以p0作为p的值，用X表示甲、乙两人比赛的局数，求X的分布列和均值E（X）.

所以X的分布列为X345P

｜解题技法｜

概率与函数的交汇问题，多以概率问题为解题主线，通过设置变量，利用随机变量的概率、均值与方差的计算公式构造函数.求解时可借助二次函数的性质、函数的单调性或导数确定最优解.解决此类问题应注意以下两点：（1）准确构造函数，利用公式搭建函数模型时，由于随机变量的均值、方差，随机事件概率的计算中涉及变量较多，式子较为复杂，所以准确运算化简是关键；（2）注意变量的范围，一是题中给出的范围，二是实际问题中变量自身范围的限制.⁠

①在甲答对了某道题的条件下，求该题是甲自己答对的概率；②甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求X的数学期望E（X）﹔

概率与数列的交汇问题【例2】

2022年2月6日，中国女足在落后两球的情况下，最终以3比2逆转击败韩国女足，成功夺得亚洲杯冠军.在之前的半决赛中，中国女足通过点球大战6比5惊险战胜日本女足，其中门将朱钰两度扑出日本队员的点球，表现神勇.

所以X的分布列为X0123P

（2）好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙、丁4名女足队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外3人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能被接住.记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0.

②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小.

｜解题技法｜

概率与数列问题的交汇，多以概率的求解为主线，建立关于概率的递推关系.解决此类问题的基本步骤为：（1）精准定性，即明确所求概率的“事件属性”，这是确定概率概型的依据，也是建立递推关系的准则；（2）准确建模，即通过概率的求解，建立递推关系，转化为数列模型问题；（3）解决模型，也就是递推数列的求解，多通过构造的方法转化为等差、等比数列的问题求解.求解过程应灵活运用数列的性质，准确应用相关公式.⁠

（1）从游客中随机抽取3人，记这3人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望；

X

3

4

5

6P

（2）从游客中随机抽取n（n∈N*）人，记这n人的合计得分恰为n＋1分的概率为Pn，求P1＋P2＋…＋Pn；

（3）从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分的概率为an，随着抽取人数的无限增加，an是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由.

概率中的证明问题【例3】

（2022·新高考Ⅰ卷·节选）一医疗团队为研究某地的一种地方性疾病与当地居民的卫生习惯（卫生习惯分为良好和不够良好两类）的关系，在已患该疾病的病例中随机调查了100例（称为病例组），同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人（称为对照组），得到如下数据：不够良好良好病例组4060对照组1090

｜解题技法｜

概率中的证明问题是新高考中新增题型，解决此类问题的关键是理解随机事件中互斥、对立、独立事件的概念及相互关系，理解条件概率、全概率公式的意义及性质，掌握随机变量的分布列、均值、方差的计算公式，掌握二项分布、超几何分布、正态分布概率模型的特点及求解规律.会灵活运用上述定义、性质及公式进行逻辑推理、数学运算，进而推出要证结论成立.⁠1.设事件A，B，C相互独立，证明：（1）C与AB相互独立；证明：因为A，B，C相互独立，故P（AB）＝P（A）P（B），P（BC）＝P（B）P（C），P（AC）＝P（C）P（A），P（ABC）＝P（A）P（B）P（

C

）.（1）P（C（AB））＝P（CAB）＝P（C）P（A）P（B）＝P（C）P（AB），这表示C与AB相互独立.（2）C与A∪B相互独立.证明：（2）P（C（A∪B））＝P（CA∪CB）＝P（CA）＋P（CB）－P（CAB）＝P（C）P（A）＋P（C）P（B）－P（C）P（AB）＝P（C）P（A∪B），这表示C与A∪B相互独立.2.若离散型随机变量为ξ，求证：（1）E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b；证明：（1）令η＝aξ＋b（a，b为常数），设ξ的分布列为P（ξ＝xi）＝pi，i＝1，2，3，…，n，∴P（η＝axi＋b）＝P（ξ＝xi），∴η的分布列为ηax1＋bax2＋b…axn＋bPp1p2…pn∴E（η）＝（ax1＋b）p1＋（ax2＋b）p2＋…＋（axn＋b）pn＝a（x1p1＋x2p2＋…＋xnpn）＋b（p1＋p2＋…＋pn）＝aE（ξ）＋b，∴E（aξ＋b）＝aE（ξ）＋b.（2）D（aξ＋b）＝a2D（ξ）.（a，b为常数）

⁠1.设0＜p＜1，随机变量ξ的分布列为ξ0p1P1－p则当p在区间（0，1）内递增时

（

）A.D（ξ）减小B.D（ξ）增大C.D（ξ）先减小后增大D.D（ξ）先增大后减小

命题②：若n＝2m，随机变量Y所有可能的取值为1，2，…，m，且P（Y＝j）＝pj＋p2m＋1－j（j＝1，2，…，m），则H（X）≤H（Y）.则以下说法正确的是

（

）A.命题①正确，命题②错误B.命题①错误，命题②正确C.两个命题都错误D.两个命题都正确

3.（多选）从装有a个红球和b个蓝球的袋中（a，b均不小于2），每次不放回地随机摸出一球.记“第一次摸球时摸到红球”为事件A1，“第一次摸球时摸到蓝球”为事件A2，“第二次摸球时摸到红球”为事件B1，“第二次摸球时摸到蓝球”为事件B2，则下列说法正确的是

（

）B.P（B1｜A1）＋P（B2｜A1）＝1C.P（B1）＋P（B2）＝1D.P（B2｜A1）＋P（B1｜A2）＝1

A.P2＝1

5.（多选）设随机变量ξ的分布列如下表：ξ123…20232024Pa1a2a3…a2023a2024则下列说法正确的是

（

）D.当数列{an}满足P（ξ≤k）＝k2ak（k＝1，2，…，2024）时，（n＋1）an＝（n－1）an－1（n≥2）

6.已知随机变量X的分布列为X1234Pp1－p－p2－p3p3p2其中

p∈（0，1），随机变量X的期望为E（X），则当E（X）取得最小值时，p＝

⁠.

7.已知随机变量ξ的分布列如下表所示：ξabP则当a逐渐增大时，E（ξ）－D（ξ）＝

⁠.

答案：28.已知样本空间为Ω，事件A，B，C均为Ω内的随机事件.求证：（1）P（Ω｜A）＝1；

（2）如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C｜A）＝P（B｜A）＋P（C｜A）；

⁠9.证明：当P（AB）＞0时，P（ABC）＝P（A）P（B｜A）·P（C｜AB）.据此你能发现计算P（A1A2…An）的公式吗？

10.袋中共有8个乒乓球，其中有5个白球，3个红球，这些乒乓球除颜色外完全相同.从袋中随机取出一球，如果取出红球，则把它放回袋中；如果取出白球，则该白球不再放回，并且另补一个红球放入袋中，重复上述过程n次后，袋中红球的个数记为Xn.（1）求随机变量X2的分布列及数学期望E（X2）；

X2345P

（2）求随机变量Xn的数学期望E（Xn）关于n的表达式.

11.根据社会人口学研究发现，若一个家庭有X个孩子，则X的概率分布列如下表所示（取一个家庭有4个及以上孩子的概率为0）.X0123Pα（1－p）2αα（1－p）

（2）为了调控未来人口结构，需要对参数p进行宏观调控，研究表明p的值受到各种因素的影响（例如生育保险的增加，教育、医疗福利的增加等）.①若希望P（X＝2）增大，如何调控p的值；

12.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代，…，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的，且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，P（X＝i）＝pi（i＝0，1，2，3）（pi≠0）.（1）已知p0＝0.35，p1＝0.3，p2＝0.25，p3＝0.1，求E（X）；解：（1）由题知E（X）＝0×p0＋1×p1＋2×p2＋3×p3＝1.1.（2）设p（0＜p＜1）表示该生物临近灭绝的概率，当E（X）＞1时，证明：p是关于x的方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的最小正实根.解：（2）证明：因为p＝p0＋p1p＋p2p2＋p3p3，所以p是方程p0＋p1x＋p2x2＋p3x3＝x的正实根，令f（x）＝p0＋p1x＋p2x2＋p3x3－x（x＞0），则f'（x）＝p1＋2p2x