第五章定积分

PAGE16第五章定积分教学目的：理解定积分的概念。掌握定积分的性质及定积分中值定理，掌握定积分的换元积分法与分部积分法。理解变上限定积分定义的函数，及其求导数定理，掌握牛顿—莱布尼茨公式。了解广义积分的概念并会计算广义积分。教学重点：定积分的性质及定积分中值定理定积分的换元积分法与分部积分法。牛顿—莱布尼茨公式。教学难点：定积分的概念积分中值定理定积分的换元积分法分部积分法。变上限函数的导数。§5.1定积分概念与性质一、定积分问题举例1.曲边梯形的面积曲边梯形:设函数y=f(x)在区间[a,b]上非负、连续.由直线x=a、x=b、y=0及曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形,其中曲线弧称为曲边.求曲边梯形的面积的近似值:将曲边梯形分割成一些小的曲边梯形,每个小曲边梯形都用一个等宽的小矩形代替,每个小曲边梯形的面积都近似地等于小矩形的面积,则所有小矩形面积的和就是曲边梯形面积的近似值.具体方法是:在区间[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b,把[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],[x2,x3],,[xn-1,xn],它们的长度依次为x1=x1-x0,x2=x2-x1,,xn=xn-xn-1.经过每一个分点作平行于y轴的直线段,把曲边梯形分成n个窄曲边梯形.在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点i,以[xi-1,xi]为底、f(i)为高的窄矩形近似替代第i个窄曲边梯形(i=1,2,,n),把这样得到的n个窄矩阵形面积之和作为所求曲边梯形面积A的近似值,即Af(1)x1+f(2)x2++f(n)xn.求曲边梯形的面积的精确值:显然,分点越多、每个小曲边梯形越窄,所求得的曲边梯形面积A的近似值就越接近曲边梯形面积A的精确值,因此,要求曲边梯形面积A的精确值,只需无限地增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零.记=max{x1,x2,,xn},于是,上述增加分点,使每个小曲边梯形的宽度趋于零,相当于令0.所以曲边梯形的面积为二、定积分定义抛开上述问题的具体意义,抓住它们在数量关系上共同的本质与特性加以概括,就抽象出下述定积分的定义.定义设函数f(x)在[a,b]上有界,在[a,b]中任意插入若干个分点a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b,把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],,[xn-1,xn],各小段区间的长依次为x1=x1-x0,x2=x2-x1,,xn=xn-xn-1.在每个小区间[xi-1,xi]上任取一个点i(xi-1<i<xi),作函数值f(i)与小区间长度xi的乘积f(i)xi(i=1,2,,n),并作出和.记=max{x1,x2,,xn},如果不论对[a,b]怎样分法,也不论在小区间[xi-1,xi]上点i怎样取法,只要当0时,和S总趋于确定的极限I,这时我们称这个极限I为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作,即.其中f(x)叫做被积函数,f(x)dx叫做被积表达式,x叫做积分变量,a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b]叫做积分区间.定义设函数f(x)在[a,b]上有界,用分点a=x0<x1<x2<<xn-1<xn=b把[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],,[xn-1,xn],记xi=xi-xi-1(i=1,2,,n).任i[xi-1,xi](i=1,2,,n)作和.记=max{x1,x2,,xn},如果当0时上述和式的极限存在且极限值与区间[a,b]的分法和i的取法无关则称这个极限为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作,即.根据定积分的定义,曲边梯形的面积为.变速直线运动的路程为.说明:(1)定积分的值只与被积函数及积分区间有关,而与积分变量的记法无关,即.(2)和通常称为f(x)的积分和.(3)如果函数f(x)在[a,b]上的定积分存在,我们就说f(x)在区间[a,b]上可积.函数f(x)在[a,b]上满足什么条件时,f(x)在[a,b]上可积呢？定理1设f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上可积.定理2设f(x)在区间[a,b]上有界,且只有有限个间断点,则f(x)在[a,b]上可积.定积分的几何意义:在区间[a,b]上,当f(x)0时,积分在几何上表示由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形的面积;当f(x)0时,由曲线y=f(x)、两条直线x=a、x=b与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方,定义分在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;.当f(x)既取得正值又取得负值时,函数f(x)的图形某些部分在x轴的上方,而其它部分在x轴的下方.如果我们对面积赋以正负号,在x轴上方的图形面积赋以正号,在x轴下方的图形面积赋以负号,则在一般情形下,定积分的几何意义为:它是介于x轴、函数f(x)的图形及两条直线x=a、x=b之间的各部分面积的代数和.用定积分的定义计算定积分:例1.利用定义计算定积分.解把区间[0,1]分成n等份,分点为和小区间长度为(i=1,2,,n-1),(i=1,2,,n).取(i=1,2,,n),作积分和.因为,当0时,n,所以.利定积分的几何意义求积分:例2.用定积分的几何意义求.解:函数y=1-x在区间[0,1]上的定积分是以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形的面积.因为以y=1-x为曲边,以区间[0,1]为底的曲边梯形是一直角三角形,其底边长及高均为1,所以.三、定积分的性质两点规定:(1)当a=b时,.(2)当ab时,.性质1函数的和(差)的定积分等于它们的定积分的和(差)即.证明:.性质2被积函数的常数因子可以提到积分号外面即.这是因为.性质如果将积分区间分成两部分则在整个区间上的定积分等于这两部分区间上定积分之和即.这个性质表明定积分对于积分区间具有可加性.值得注意的是不论a,b,c的相对位置如何总有等式成立.例如,当a<b<c时,由于,于是有.性质4如果在区间[ab]上f(x)º1则.性质5如果在区间[a,b]上f(x)³0,则(a<b).推论1如果在区间[a,b]上f(x)g(x)则(a<b).这是因为g(x)-f(x)0,从而,所以.推论2(a<b).这是因为-|f(x)|£f(x)£|f(x)|,所以,即|.性质6设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值,则(a<b).证明因为m£f(x)£M,所以,从而.性质7(定积分中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则在积分区间[a,b]上至少存在一个点,使下式成立:.这个公式叫做积分中值公式.证明由性质6,各项除以b-a得,再由连续函数的介值定理,在[a,b]上至少存在一点,使,于是两端乘以b-a得中值公式.积分中值公式的几何解释:应注意:不论a<b还是a>b,积分中值公式都成立.§5.2微积分基本公式一、积分上限函数及其导数设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且设x为[a,b]上的一点.我们把函数f(x)在部分区间[a,x]上的定积分称为积分上限的函数.它是区间[a,b]上的函数,记为(x),或(x).定理1如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数(x)在[a,b]上具有导数,并且它的导数为(x)(ax<b).简要证明若x(a,b),取x使xx(a,b).(xx)(x),应用积分中值定理,有f()x,其中在x与xx之间,x0时,x.于是(x).若xa,取x>0,则同理可证(x)f(a);若xb,取x<0,则同理可证(x)f(b).定理2如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,则函数(x)就是f(x)在[a,b]上的一个原函数.定理的重要意义一方面肯定了连续函数的原函数是存在的,另一方面初步地揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.二、牛顿莱布尼茨公式定理3如果函数F(x)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,则.此公式称为牛顿莱布尼茨公式,也称为微积分基本公式.这是因为F(x)和(x)都是f(x)的原函数,所以存在常数C,使F(x)(x)C(C为某一常数).由F(a)(a)C及(a)0,得CF(a),F(x)(x)F(a).由F(b)(b)F(a),得(b)F(b)F(a),即.证明:已知函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数,又根据定理2,积分上限函数(x)也是f(x)的一个原函数.于是有一常数C,使F(x)(x)C(axb).当xa时,有F(a)(a)C,而(a)0,所以CF(a);当xb时,F(b)(b)F(a),所以(b)F(b)F(a),即.为了方便起见,可把F(b)F(a)记成,于是.进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系.例1.计算.解:由于是的一个原函数,所以.例2计算.解由于arctanx是的一个原函数,所以.例3.计算.解:ln1ln2ln2.例4.计算正弦曲线ysinx在[0,]上与x轴所围成的平面图形的面积.解:这图形是曲边梯形的一个特例.它的面积(1)(1)2.例5.汽车以每小时36km速度行驶,到某处需要减速停车.设汽车以等加速度a5m/s2刹车.问从开始刹车到停车,汽车走了多少距离？解从开始刹车到停车所需的时间当t0时,汽车速度v036km/hm/s10m/s.刹车后t时刻汽车的速度为v(t)v0at105t.当汽车停止时,速度v(t)0,从v(t)105t0得,t2(s).于是从开始刹车到停车汽车所走过的距离为(m),即在刹车后,汽车需走过10m才能停住.例7.求.解:这是一个零比零型未定式由罗必达法则,.提示设则§5.3定积分的换元法和分部积分法一、换元积分法定理假设函数f(x)在区间[a,b]上连续,函数x(t)满足条件:(1)()a,()b;(2)(t)在[,](或[,])上具有连续导数,且其值域不越出[a,b],则有.这个公式叫做定积分的换元公式.证明由假设知,f(x)在区间[a,b]上是连续,因而是可积的;f[(t)](t)在区间[,](或[,])上也是连续的,因而是可积的.假设F(x)是f(x)的一个原函数,则F(b)-F(a).另一方面,因为{F[(t)]}F[(t)](t)f[(t)](t),所以F[(t)]是f[(t)](t)的一个原函数,从而F[()]-F[()]F(b)-F(a).因此.例1计算(a>0).解提示dxacost当x0时t0当xa时例2计算.解令tcosx,则.提示当x0时t1当时t0或.例3计算.解.提示在上|cosx|cosx在上|cosx|cosx例4计算.解.提示dxtdt当x0时t1当x4时t3例5证明:若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数,则.证明因为,而,所以.讨论若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数,问？提示若f(x)为奇函数,则f(-x)+f(x)0,从而.例6若f(x)在[0,1]上连续,证明(1);(2).证明(1)令,则.(2)令x=-t,则,所以.例7设函数,计算.解设x-2=t,则提示设x2t则dxdt当x1时t1当x4时t2二、分部积分法设函数u(x)、v(x)在区间[a,b]上具有连续导数u(x)、v(x),由(uv)uv+uv得uvuvuv式两端在区间[a,b]上积分得或.这就是定积分的分部积分公式.分部积分过程:.例1计算.解.例2计算.解令,则..§5.4定积分的应用回忆曲边梯形的面积设yf(x)0(x[ab])如果说积分是以[ab]为底的曲边梯形的面积则积分上限函数就是以[ax]为底的曲边梯形的面积而微分dA(x)f(x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值称为曲边梯形的面积元素以[ab]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式以[ab]为积分区间的定积分一般情况下为求某一量U先将此量分布在某一区间[ab]上分布在[ax]上的量用函数U(x)表示再求这一量的元素dU(x)设dU(x)u(x)dx然后以u(x)dx为被积表达式以[ab]为积分区间求定积分即得用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法)一.平面图形的面积1、直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线yf上(x)与yf下(x)及左右两条直线xa与xb所围成则面积元素为[f上(x)f下(x)]dx于是平面图形的面积为类似地由左右两条曲线x左(y)与x右(y)及上下两条直线yd与yc所围成设平面图形的面积为例1计算抛物线y2x、yx2所围成的图形的面积解(1)画图(2)确定在x轴上的投影区间:[01](3)确定上下曲线(4)计算积分例2计算抛物线y22x与直线yx4所围成的图形的面积解(1)画图(2)确定在y轴上的投影区间:[24](3)确定左右曲线(4)计算积分例3求椭圆所围成的图形的面积解设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍椭圆在第一象限部分在x轴上的投影区间为[0a]因为面积元素为ydx所以椭圆的参数方程为:xacostybsint于是2、极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素由曲线()及射线围成的图形称为曲边扇形曲边扇形的面积元素为曲边扇形的面积为例4.计算阿基米德螺线a(a>0)上相应于从0变到2的一段弧与极轴所围成的图形的面积解:例5.计算心形线a(1cos)(a>0)所围成的图形的