江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章数列培优课构造辅助数列求通项公式2分层作业苏教版选择性必修第一册

培优课构造辅助数列求通项公式（2）分层作业A层基础达标练1.已知数列满足且，则此数列的第5项是()A.15 B.255 C.16 D.632.已知数列满足，，则()A. B. C. D.3.已知数列满足，且，则数列的通项公式为.4.已知数列满足，，则.5.已知数列的前项和为，且，，则.6.在数列中，，.（1）设，证明：数列是等差数列；（2）求数列的通项公式.7.已知各项均为正数的数列{}满足.（1）证明：数列{是等比数列；（2）若，，求{}的通项公式.B层能力提升练8.已知数列的前项和为，,,则()A. B. C. D.9.已知复数数列{}满足，，为虚数单位，则()A. B. C. D.10.若数列和满足，，，，则()A. B. C. D.11.在数列中，，，且满足，则.12.已知数列满足，且,，则的通项公式.13.已知数列和满足，，，则，.14.有一种被称为汉诺塔的游戏，该游戏是一块铜板装置上，有三根杆编号，，，在杆自下而上、由大到小按顺序放置若干个有孔金盘（如图）.游戏的目标：把杆上的金盘全部移到杆上，并保持原有顺序叠好.操作规则如下：每次只能移动一个盘子，并且在移动过程中三根杆上都始终保持大盘在下，小盘在上，操作过程中盘子可以置于，，任一杆上.记个金盘从杆移动到杆需要的最少移动次数为，则.15.已知数列的首项，且满足.（1）设，证明:是等差数列；（2）求数列的前项和.C层拓展探究练16.已知，，则等于()A. B. C. D.17.已知数列{}满足,.（1）记，求数列{}的通项公式；（2）记，求使成立的最大正整数的值.（符号表示不超过的最大整数）培优课构造辅助数列求通项公式（2）分层作业A层基础达标练1.B2.C3.4.5.6.（1）证明由，得.因为，所以又，所以是首项为1,公差为1的等差数列.（2）解由（1）知为等差数列，，所以.因为，所以.7.（1）证明因为，所以.因为中各项均为正数，所以，所以，所以数列是公比为3的等比数列.（2）解由题意及（1）知，.因为，所以，，所以，所以，故，所以，即.B层能力提升练8.D9.B10.C[解析]因为，，所以，即.又，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.因为，即，所以，所以.故选.11.[解析]因为，，，显然，所以，两边同时除以，得，所以，所以，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，所以，所以.12.[解析]由,得，则，由,得，所以是以2为首项，1为公差的等差数列，所以，当时，，所以，当时，也符合上式，所以.13.;[解析]由题设，得，则，而，所以是首项、公比均为2的等比数列，故，则.令，则，故，而，所以是常数列，且，则.14.15[解析]根据题意，假设杆上有个金盘，将个金盘从杆全部移到杆上，需要的最少次数为，可这样操作：先将个金盘从杆全部移到杆上，至少需要的次数为，然后将最大的金盘从杆移到杆上，需要1次，再将杆上个金盘从杆移到杆上，至少需要的次数为，所以，易知，则,,.15.（1）证明将等式两边同时减1，得，再同时除以，得，即,即,且,所以是首项为1，公差为1的等差数列.（2）解由（1）知，所以,所以,则,①,，得，所以.C层拓展探究练16.B[解析]由可得.因为，根据递推公式可得，，，进而可知，对任意的，，在等式两边取对数，可得.令，则，可得，则，所以数列是等比数列，且首项为，公比为2，所以，即.故选.17.（1）解由，得，代入条件递推式，得，整理，得，即，所以，数列是以