江苏专版2023-2024学年新教材高中数学第4章数列4.4数学归纳法第2课时数学归纳法的综合应用分层作业苏教版选择性必修第一册

第2课时数学归纳法的综合应用分层作业A层基础达标练1.用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是()A. B.C. D.2.用数学归纳法证明“”时，假设时命题成立，则当时,左边增加的项为()A. B.C. D.3.凸边形有条对角线,则凸边形对角线的条数()A. B. C. D.4.用数学归纳法证明“能被3整除”的过程中，当时，为了使用归纳假设，应将变形为()A. B.C. D.5.用数学归纳法证明“能被9整除”,要利用归纳假设证时的情况,只需展开()A. B.C. D.6.请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：①；②.已知数列的前项和为,且,.（1）求,,;（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.B层能力提升练7.已知数列中，,,,用数学归纳法证明能被4整除，假设能被4整除，然后应该证明()A.能被4整除 B.能被4整除 C.能被4整除 D.能被4整除8.已知数列满足，，,则下列结论成立的是()A. B.C. D.9.用数学归纳法证明不等式时，初始值应等于.10.平面内有条直线，其中任何2条不平行，任何3条不过同一点，求证：它们交点的个数.11.先猜想，再用数学归纳法证明你的猜想：能被哪些自然数整除？12.一个计算装置有一个数据入口和一个运算结果的出口，将正整数数列中的各数依次输入口，从口得到输出数据组成数列,结果表明：①从口输入时，从口得到；②当时，从口输入,从口得到的结果是将前一个结果先乘正整数数列中的第个奇数，再除以正整数数列中的第个奇数，试问：（1）从口输入2和3时，从口分别得到什么数？（2）从口输入100时，从口得到什么数？请说明理由.13.已知等差数列的前项和为,等比数列的前项和为,且,，.（1）求,;（2）已知,,试比较,的大小.C层拓展探究练14.（多选题）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值为()A.1 B.2 C.3 D.4第2课时数学归纳法的综合应用分层作业A层基础达标练1.B2.D3.C4.A5.A6.（1）解选择条件①，因为,,所以当时,，即,当时,，所以，即,当时,，即，故,,分别为3，5，7.选择条件②,，所以当时，，当时，，当时，．故,,分别为3，.（2）猜想,理由如下：选择条件①，因为，当时，由题知，，猜想成立，假设时，，则，所以，两式相减,得，即,所以当时，成立.综上，对任意的，.选择条件②，.当时，由题知，，猜想成立.假设时，,则,所以当时，成立.综上，对任意的，.B层能力提升练7.C8.A9.610.证明①当时，两条直线的交点只有一个，又，所以当时,命题成立.②假设，且时，命题成立,即平面内满足题设的任何条直线交点的个数，那么当时，任取一条直线，除以外其他条直线交点的个数为，与其他条直线交点的个数为，从而条直线共有个交点，即，所以当时，命题成立.由①②可知，对,命题都成立.11.解当时，原式，当时，原式,当时，原式，当时，原式,这些数都可以被6整除，所以猜想可以被6整除，也可以被1，2,3整除.证明：①当时，，命题显然成立;②假设当时，能被6整除．当时，，其中两个连续自然数之积是偶数，它的3倍能被6整除.由假设知能被6整除,故，，6分别能被6整除，所以当时，命题也成立.根据①②，可知可以被6整除．故能被自然数1，2，3，6整除.12.（1）解当时,；当时，;当时,.（2）因为,,，，故猜想.理由:当时,显然猜想成立，假设时，猜想成立,即，则当时,,所以当时，猜想成立，所以，故从口输入100时，从口得到的数为.13.（1）解设等差数列的公差为，等比数列的公比为,依题意,得整理得解得所以,.（2）由（1）知,,数列是首项为，公比为的等比数列,则.因为,所以,则.用数学归纳法证明,.①当时，左边，右边，左边右边，即原不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则，即时，原不等式成立.由①②知,，成立.因此，，即，所以.C层拓展探究练14.CD[解析]取，则,,不成立；取，则,,不成立；取，则,