《结构力学》教案 第七章 位移法

PAGEPAGE2第七章位移法（4学时）主要内容7-1等截面杆件的形常数和载常数7-2位移法的基本概念7-3无侧移刚架的计算7-4有侧移刚架的计算7-5对称结构的计算知识点7-1等截面杆件的形常数和载常数等截面梁的形常数、载常数。7-2位移法的基本概念整体分析、杆件分析、位移法的基本原理、解题步骤。7-3无侧移刚架的计算无侧移刚架的特点、计算方法。7-4有侧移刚架的计算有侧移刚架的特点、有侧移刚架的计算方法。7-5对称结构的计算对称结构的特点；奇数跨对称结构（对称荷载、反对称荷载）；偶数跨对称结构（对称荷载、反对称荷载）。重点难点7-1等截面杆件的形常数和载常数重点：记忆等截面梁的形常数和载常数。7-2位移法的基本概念重点：掌握位移法解题的基本过程。7-3无侧移刚架的计算重点：掌握位移法计算连续梁和无侧移刚架。7-4有侧移刚架的计算重点：掌握位移法计算有侧移刚架的内力。难点：与线位移相关的方程的建立。7-5对称结构的计算重点：对称性的应用。难点：半结构的选取。第七章位移法PAGE257.1等截面杆件的形常数和载常数知识点等截面梁的形常数、载常数。重点记忆等截面梁的形常数和载常数。知识点：形常数杆端位移引起的杆端内力称为形常数，见表7.1。i=EI/l为线刚度。表7.1形常数知识点：载常数荷载或温度作用下引起的杆端内力称为载常数。7.2位移法的基本概念知识点整体分析、杆件分析、位移法的基本原理、解题步骤。重点难点掌握位移法解题的基本过程。知识点：位移法的基本原理（整体分析、杆件分析）位移法的基本未知量：结点位移（线位移和角位移）。位移法解题思路：拆了再合（杆件分析、整体分析）。即将结构拆成杆件，对每个杆件进行求解；再将每个杆件合成为结构，利用平衡条件求出位移。例：图7.1a两跨梁，求杆端弯矩。EI为常数，忽略杆件的轴向变形。图7.1a图7.1b图7.1c解：（1）整体分析：结点位移θB（2）杆件分析：图7.1b（3）整体分析：结点平衡方程，图7.1c（4）杆件分析：求杆端弯矩知识点：位移法的解题步骤（1）结构的独立结点位移（2）结构拆成杆件，做杆件分析（3）平衡方程，求解（4）回代，求杆端弯矩实例：图7.2两跨梁，求杆端弯矩。EI为常数，忽略杆件的轴向变形。图7.2解：（1）结构的独立结点位移θB，假定：顺时针（2）结构拆成杆件，做杆件分析：杆端弯矩取决于荷常数和形常数（3）平衡方程，求解（4）回代，求杆端弯矩

7.3无侧移刚架的计算知识点无侧移刚架的特点、计算方法。重点掌握位移法计算连续梁和无侧移刚架。知识点：无侧移刚架的特点刚架各节点（不含支座）只有角位移而没有线位移。连续梁属于这类问题。知识点：无侧移刚架的计算方法（1）结构的独立结点位移（角位移）（2）结构拆成杆件，做杆件分析（3）平衡方程，求解（4）回代，求杆端弯矩实例：（1）超静定梁例1：用位移法计算图7.3a结构，并绘结构的弯矩图，EI常数。图7.3解：（1）取位移法的基本未知量θB（2）求固端弯矩（3）平衡方程求解，作弯矩图（图7.3b）（2）超静定无侧移刚架无侧移刚架：刚架的各结点（不包括支座）只有角位移而没有线位移。例2：用位移法计算图7.4a结构，并绘结构的弯矩图，EI常数。图7.4a解：（1）取位移法的基本未知量θB（2）求固端弯矩（i=EI/4）（3）平衡方程求解，作弯矩图（图7.4b）例3：用位移法计算图7.5a结构，并绘结构的弯矩图，EI常数。图7.5a图7.5b解：（1）基本未知量B、C（2）固端弯矩：各杆刚度取相对值计算，设EI0=1，则（3）杆端弯矩（4）建立位移法基本方程（4）求出基本未知量（5）求出各杆最终杆端弯矩（6）作弯矩图，图7.5b。

7.4有侧移刚架的计算知识点有侧移刚架的特点、有侧移刚架的计算方法。重点难点重点：掌握位移法计算有侧移刚架的内力。难点：与线位移相关的方程的建立。知识点：有侧移刚架的特点与计算方法特点：刚架除有结点转角外，还有结点线位移。计算方法：与无侧移刚架基本相同，但增加：未知量有结点位移；杆件计算需考虑结点位移；基本方程增加与结点位移对应的平衡方程。基本未知量的选取基本假设：结构满足变形连续条件；对弯曲直杆，只考虑弯曲变形，忽略轴向和剪切变形。基本未知量：独立的结点角位移和结点线位移。结点角位移：刚节点（包括半铰联接的刚节点），一个刚结点有一个角位移。结点线位移：支承点以外的结点所发生的线位移。受弯直杆两端之间的距离在变形后不改变，即每一受弯直杆相当于一个约束。图7.6给出了某些结构位移法的基本未知量（结点角位移用附加刚臂表示，结点线位移用附加链杆表示）。图7.6实例：例1：计算图7.7a所示的刚架，试求各杆端弯矩。图7.7a图7.7b（1）确定基本未知量，图7.7b两个未知量——刚结点B的转角θB和横梁BC的水平线位移Δ。（2）建立各杆的转角位移方程（3）建立位移基本方程，求解基本未知量取结点B为隔离体（图7.7c），列力矩平衡方程得：建立与独立线位移相应的平衡方程，取横梁BC为隔离体（图7.7d），列水平投影平衡方程：图7.7c图7.7d图7.7e分别取AB、CD杆为隔离体（图7.7e），求出FQBA和FQCD（4）解方程组（5）各杆最终杆端弯矩，代入（2）即得杆端弯矩。一般说来，在位移法的基本未知量中，每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程，平衡方程的个数与基本未知量的个数相等，正好全部求解基本未知量。例2：作图7.8a刚架弯矩图。忽略横梁的轴向变形。图7.8a图7.8b图7.8c解:（1）基本未知量：各柱顶水平位移相等，只有一个独立线位移Δ，图7.8b。（2）各柱的杆端弯矩和剪力（3）建立位移法基本方程：与横梁水平位移对应，取柱顶以上横梁为隔离体，列出水平投影方程：（4）各柱最终杆端弯矩，画弯矩图（图7.8d）：图7.8d（5）各柱的剪力（6）讨论——侧移刚度荷载FP（=总剪力）按侧移刚度分配给各柱，得各柱剪力，可画弯矩图。——剪力分配法

7.5对称结构的计算知识点对称结构的特点；奇数跨对称结构（对称荷载、反对称荷载）；偶数跨对称结构（对称荷载、反对称荷载）。重点难点重点：对称性的应用。难点：半结构的选取。知识点：对称结构的特点对称的连续梁和刚架结构在工程中有广泛的应用。作用于对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下：变形是对称的；弯矩图和轴力图是对称的；而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下：变形是反对称的；弯矩图和轴力图是反对称的；而剪力图是对称的。知识点：奇数跨对称结构（1）对称荷载图7.9图7.9a为一对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，只有竖向位移，因此在计算中取半刚架图7.9b，C取为滑动支承端。（2）反对称荷载图7.10图7.10a为一反对称荷载作用下的单跨刚架，在对称轴上没有竖向位移，可有转角和水平位移，因此在计算中取半刚架图7.10b，C端取辊轴支座。奇数跨结构的简化是在对称轴上分别取滑动支座（对称荷载）或辊轴支座（反对称荷载)。知识点：偶数跨对称结构1.对称荷载图7.11图7.11a为一对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有转角和水平位移，柱CD没有弯矩和剪力，不计轴向变形，因此在计算中取半刚架图7.11b，C端为固定支座。2.反对称荷载图7.12图7.12a为一反对称荷载作用下的双跨刚架，在对称轴上没有轴力和轴向变形，计算中取半刚架图7.12b，对称截面处的立柱的轴惯性矩取原来的一半I/2。双跨结构的简化是在对称轴上取不同的支座约束，同时在对称荷载和反对称荷载作用下的结构也不相同。要注意区别。实例：例：计算图7.13a刚架，试作M图。图7.13解：（1）半边结构（图7.13b），基本未知量θA、θC。（2）杆端力的表达式（荷载+变形）。令（3）列位移方程，并求解。（4）求杆端力，绘弯矩图。代入（2）即得杆端弯矩，弯矩图见图7.13c。

小结形常数：杆端位移引起的杆端内力。载常数；荷载或温度作用下引起的杆端内力。位移法的解题步骤：（1）结构的独立结点位移（角位移、线位移）（2）结构拆成杆件，做杆件分析（形常数、载常数）（3）平衡方程，求解每一个转角有一个相应的结点力矩平衡方程，每一个独立结点线位移有一个相应的截面平衡方程，平衡方程的个数与基本未知量的个数相等，正好全部求解基本未知量。（4）回代，求杆端弯矩无侧移刚架与有侧移刚架的主要区别在于是否有结点先位移。作用于对称结构上的任意荷载，可以分为对称荷载和反对称荷载两部分分别计算。在对称荷载作用下：变形是对称的；弯矩图和轴力图是对称的；而剪力图是反对称的。在反对称荷载作用下：变形是反对称的；弯矩图和轴力图是反对称的；而剪力图是对称的。

练习一、单项选择题1.图1结构EI及杆长均为常数，（）A.MCB，MCA均上面受拉 B.MCB，MCA均下面受拉C.MCB上面受拉，MCA下面受拉 D.MCB下面受拉，MCA上面受拉图12.图2结构在荷载P作用下各支座弯矩关系为（）A.|MA|＞|Mc|E.|MA|=|Mc|C.|MA|<|Mc|D.|MA|=0图23.图3结构，EI=常数，欲使结点B的转角为零，比值Pl／P2为（）图3A.1.5B.2.0C.2.5D.3.04.图4结构，柱EI相同且为常数，横梁刚度无穷大，其中结点B有水平线位移为（）A.B.C.D.图45.图5结构中，nl，n2均为比例常数，当nl＞n2时，则（）A.MA>MBB.MA<MBC.MA=MBD.不定图5二、计算题1.位移法计算图6超静定结构。各杆EI＝常数，忽略杆件的轴向变形。（1）判断图示结构位移法的独立基本未知量。（2）写出杆端弯矩表达式。（3）列出位移法基本方程（不需求解）。图62.位移法计算图7超静定结构。各杆EI＝常数，忽略杆件的轴向变形。（1）判断图示结构位移法的独立基本未知量。（2）写出杆端弯矩表达式。（3）列出位移法基本方程（不需求解）。图7

练习答案一、单项选择题1.B；无需考虑荷载P的影响，因为原结构无侧移，在结点荷载下无弯矩。2.A；内力与刚度的相对值有