数字电子技术（第2版）PPT完整全套教学课件

第1章数码与码制数字电子技术(第2版）ch01进位计数制.pptxch02逻辑函数及其化简.pptxch03逻辑门电路.pptxch04组合逻辑电路.pptxch05触发器.pptxch06时序逻辑电路.pptxch07脉冲波形的产生与整形.pptxch08半导体存储器.pptxch09基于可编程逻辑器件的现代数字系统设计.pptxch10转换器及应用.pptxch11数字系统综合设计.pptx全套可编辑PPT课件数字电路所处理的各种数字信号都是以数码形式给出的。不同的数码既可表示不同数量的大小，又可表示不同的事物或事物的不同状态。用数码表示数量大小时，一位数码往往不够用，因而经常需要使用多位数码。多位数码中，每一位的构成方法和从低到高位的进位规则称为进位计数制，简称数制。我们日常生活中有许多不同的数制，如最早釆用、也是使用最广泛的十进制，即“逢十进一”；钟表计时釆用的是60进制，如60秒为1分钟，60分钟为1小时；12个月为一年这种情况，则釆用的是12进制；也有釆用二进制的，像两只筷子为一双，中国古代的八卦等，都是釆用二进制来表示的。当两个数码分别表示两个数量大小时，可以进行数量间的算术运算。数字电路中的算术运算，最终都是以二进制运算的方式进行的，所以在这一章中，我们将比较详细地介绍在数字电路中是采用什么方式完成二进制算术运算的。当用不同数码表示不同事物或事物的不同状态时，这些数码就不再具有表示数量大小的含义，它们只是不同事物的代号而已。我们将这些数码称之为代码。例如，我习惯给班上每一位同学编一个号码作为学号。显然，这些号码仅仅表示不同的学生而已，没有数量大小的含义。而为了便于记忆和查找，在编辑代码时总要遵循一定的规则，这些规则就称为码制。01进位计数制PARTONE十进制数的表示十进制是日常生活中最常使用的进位计数制。在十进制中，每一位有0〜9十个数码，所计数的基数为10。它的计数规律是“逢十进一”。每位数累计不能超过10，计满10就应向高位进l。例如，512.32这个数，它的最左边第一位为百位，第二位为十位，第三位为个位，小数点后面第一位为十分位，第二位为百分位。这里百、十、个、十分之一和百分之一都是10的7次幕，它取决于系数所在的位置，称之为“权二十进制数512.32从左至右各位的权分别是102，101，100，10-1，10-2因此，将512.32按权展开的形式如下：512.32=5×102+1×101+2×100+3×10-1+2×10-2等式左边的表示方法称之为位置记数法，等式右边则是其按权展开式。-般说来，对于任意一个十进制数S，可用位置记数法表示为

(S)10=(an-1an-2…a1a0a-1a-2…a-m)10

(1.1.1)十进制数的表示也可用按权展开式表示为式中，ai为0〜9这10个数码中的任意一个；n为整数部分的位数；为小数部分的位数。二进制数的表示数字系统中最常使用的进位计数制是二进制。在二进制中，每一位只有0或1两个数码，所以计数的基数为2。二进制的计数规则是每位计满2就向高位进一，即“逢二进一”。例如，(1001)，就是一个二进制数，不同位置的数码表示的值不同，各位的权值是以2为底的连续整数幕，从右向左递增。对于任意一个二进制数S，用位置计数法表示为用按权展开式表示为式中，ai为数码0或1；n为整数部分的位数；m为小数部分的位数。八进制数和十六制数的表示八进制数的基数是8，采用的数码是0〜7这8个数。计数规则是“逢八进一”，各位的权值是以8为底的连续整数幕。例如，数(47.6)8就表示一个八进制数。十六进制数的基数为16，分别用0〜9，A(10)，B(ll)，C(12)，D(13)，E(14)，F(15)表示。十六进制的计数规则是“逢十六进一”，各位的权值是以16为底的连续整数蓦。例如，数(54AF.8B)16就是一个十六进制数。与二进制数一样，任意一个八进制数和十六进制数均可用位置计数法的形式和按权展开式的形式表示。为了便于区分各种不同的进制，通常在数字的右下角标注10、2、8、16，或用字母D(Decimal)、B(Binary)、O(Octal)、H(Hexadecimal)替代。一般来说，对于任意的数S，都能表示成以r为基数的r进制数。数S的表示方法也有两种形式，即位置记数法和按权展开式。用位置记数法表示为八进制数和十六制数的表示用按权展开式表示为式中，ai为数码。0〜r-1数码中的一个；r为该进位制的基数；n为整数部分的位数；m为小数部分的位数。r进制的计数规则是“逢r进一"。不同数制的各种数码见表1.1.1,该表列岀了当r为10、2、8、16时，各种进位计数制中开始的16个自然数。八进制数和十六制数的表示二进制数的算术运算当用两个二进制数码表示两个数量大小时，它们之间可以进行数值运算，这种运算就称为算术运算，算术运算的结果是得到一个数量(算术)值。二进制数的运算规则是：(1）加法规则

0＋0=0

0＋0=1

1＋0=11＋1=0(同时向相邻高位进1)(2）减法规则

0-0=0

0一1=1(同时向相邻高位借1)

1-0=1

1-1=0(3）乘法规则

0×0=0

0×1=0

1×0=0

1×1=1(4）除法规则

0÷1=0

1÷1=1二进制数的算术运算下面举几个二进制数运算的例子。例1.1.1对1001+1011进行加法运算。解：由此可见，二进制数的加法运算和十进制数的加法运算相似，但釆用“逢二进一”的法则，即每位数累计到2时，本位就记为0，且向相邻高位进1。二进制数的算术运算例1.1.2对10100-1110进行减法运算。解：在二进制数的减法中釆用了“借一当二”的原则，减法运算从低位起按位进行，在遇到0减1时，就要向相邻咼位借1，也就是从相邻高位减去1。二进制数的算术运算例1.1.3

对1011X1001进行乘法运算。解：从二进制数的乘法运算过程中可以看出，二进制数的乘法运算和十进制数的乘法运算相似，只不过对乘积部分进行累加时要按“逢二进一”的原则来运算。二进制数的算术运算例1.1.4

对10100101-1001进行除法运算。解：从二进制数的除法运算过程中可以看出，二进制数的除法运算与十进制数的除法运算相类似，但釆用二进制数的除法运算规则。02数制转换PARTTWO二进制数和十进制数之间的转换在计算机和其他数字系统中，最常使用的是二进制数，而人们日常习惯于使用十进制数，所以，在数据处理过程中首先要把十进制数转换成计算机能加工和处理的二进制数，经计算机加工处理后，再将二进制数的计算结果转换成人们习惯的十进制数。这里就存在一个不同数制的相互转换问题。二进制数转换成等值的十进制数称之为二一十转换。转换时只需将二进制数写成按权展开式，并将展开式中各乘积项的积算岀来，然后各项相加，即可得到与该二进制数等值的十进制数，例如：将十进制数转换成等值的二进制数称之为十一二转换。转换时，需要将待转换的十进制数分成整数部分和小数部分，并分别转换成二进制数，然后再将两部分加起来。第一步先讨论整数部分的转换。假如有十进制整数(S)10，其等值的二进制数为(anan-1…a0)2，若将二进制数按权展开，则有二进制数和十进制数之间的转换上式表明，若将(S)10除以2，则得到的商为

，余数则为a0若再将得到的商依次除以2，所得的余数分别是a1，a2，…，an。所以，将一个十进制整数转换成二进制数时，十进制数的整数部分釆用“除2取余”法进行转换，即把十进制整数除以2，取出余数1或0作为相应二进制数的最低位，把得到的商再除以2，再取余数1或0作为二进制数的次低位，依次类推，继续上述过程，直至商为0，最后所得余数为最高位。例如，要将十进制整数157转换为二进制整数，就要把它写成如下形式：上式两边同乘以2得到

，从结果可以看岀，将小数乘以2所得乘积的整数部分即a-1。同理，将乘积的小数部分再乘以2又可得

，即可得乘积的整数部分a-2。依次类推，将每次乘以2后所得的乘积的小数部分再乘以2，直至小数部分为0，便可求出二进制小数的每一位。例1.2.1 将(0.8125)10转换为二进制小数。解：所以(0.8125)10=(0.1101)2。二进制数和十进制数之间的转换第二步讨论小数部分的转换。若(S)10是一个十进制小数

，则有八进制数、十六进制数与二进制数的转换由于二进制数简单、容易实现，所以它是数字系统中、特别是计算机中广泛采用的一种数制。但如用二进制表示一个十进制数时，需用4位二进制数才能表示1位十进制数，所用的位数比用十进制数表示的位数多得多，因此读写很不方便，所以在实际工作中人们常釆用八进制或十六进制来替代二进制。八进制数的基数是8(8=23)，十六进制数的基数为16(16=24)由于二进制数、八进制数和十六进制数之间具有2的整指数倍的关系，因而可十分方便地直接进行转换。八进制数、十六进制数与二进制数的转换将二进制整数转换成八进制或十六进制整数的方法是：从右边第一位起，分别向左按3位(转换成八进制)或4位(转换成十六进制)分组，最后不满3位或4位的，则需加0。将每组以对应的八进制数或十六进制数代替，即为等值的八进制数和十六进制数。例如：将八进制数或十六进制数转换成二进制数时，可按上述方法的相反过程进行，即将每一位八进制数或十六进制数分别转换成3(或4)位二进制数，再按高位到低位组合起来。03带符号数的代码表示PARTTHREE真值与机器数上述讨论的过程中都没有考虑二进制数的符号，一般认为其为正数，但在算术运算过程中，总会出现负数。实际上不带符号的数是数的绝对值，在绝对值前加上表示正负的符号(+/-)就成了带符号数。它可由两部分组成：一部分表示数的符号，另一部分表示数的数值。由于数的符号是一个具有正、负两种值的离散信息，所以它可以用1位二进制数来表示。通常是以0表示正数，以1表示负数。对于一个n位二进制数，如果数的第一位为符号位，那么余下的n-1位就表示数的数值部分。一般，直接用正号“+”和负号“-”来表示符号的二进制数，称为符号数的真值。数的真值形式是一种原始形式，无法直接用在数字计算机中。但是，当将符号数值化之后，便可以在计算机中使用它了。因此在计算机中使用的符号数便称为机器数。如二进制正数+1011在机器中可表示为01011，二进制负数-1011在机器中可表示为11011。机器数有3种常用的表示形式，即原码、反码和补码。原码原码又被称为“符号一数值表示”。当用原码形式表示正数和负数时，第1位是符号位。对于正数，符号位表示为0,对于负数，符号位表示为1,其余各位表示数值部分。假如两个带符号的二进制数分别为S和£，其真值形式为S1＝＋11001

S2＝－01011则S1和S2的原码表示形式为[S1]原＝＋11001 [S2]原＝－01011根据上述原码形成规则，一个n位整数S(包括一位符号位)的原码一般表达式为原码对于定点小数而言，一般将小数点定在最高位的左边，此时，数值小于1。定点小数原码一般表达式为由原码的一般表达式可以得出：(1)当S为正数时，[S]原和S的区别只是增加一位用0表示的符号位。由于在数的左边增加一位。对该数的数值并无影响，所以[S]原就是S本身。(2)当S为负数时，[S]原和S的区别是增加了一位用1表示的符号位。(3)在原码表示中，有两种不同形式的0，即反码反码又被称为“对1的补数”。当用反码表示时，左边第1位即为符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数。对于正数，反码和原码相同。而对于负数，反码的数值是将原码数值按位求反，即原码的某位为1，则反码的相应位便为0，或者原码的某位为0，反码的相应位便为1。所以，反码数值的形成与它的符号位有关。反码又被称为“对1的补数”。当用反码表示时，左边第1位即为符号位，符号位为0代表正数，符号位为1代表负数。对于正数，反码和原码相同。而对于负数，反码的数值是将原码数值按位求反，即原码的某位为1，则反码的相应位便为0，或者原码的某位为0，反码的相应位便为1。所以，反码数值的形成与它的符号位有关。假如两个带符号的二进制数分别为S1和S2，其真值形式为

S1=+11001

S2=一01011则S1和S2的反码表示形式为

[S]反=011001

[S]反=110100根据上述的反码形成规则，一个n位的整数S(包括一位符号位)的反码一般表达式为反码同样，对于定点小数，如果小数部分的位数为物，则它的反码一般表达式为从反码的一般表达式可以看出：(1)正数S的反码［S］反与原码［S］原相同。(2)对于负数S，其反码［S］反的符号位为1，数值部分是将原码数值按位求反。(3)在反码表达式中，0的表示有两种不同的形式，即补码补码又被称为“对2的补数”。在补码表示方法中，正数的表示与原码和反码的表示是一样的，而负数的表示却不相同。对于负数，将原码转变成补码的规则是：符号位不变，仍为1，数值部分变反加1，即逐位变反，在最低位加1。如两个带符号的二进制数分别为S1和S2，其真值表达式为

S1=+11OO1

S2=-01011则S和S2的补码表示形式为根据上述补码形成规则，一个n位的整数S(包括一位符号位)的补码一般表达式为补码同样，对于定点小数，补码的一般表达式可写成由补码的一般表达式可以看出：(1)正数S的补码[S]补、反码[S]反和原码[S]原是相同的。(2)对于负数，补码[S]补的符号位为1，其数值部分为反码的数值末位加1。(3)在补码表示法中，0的表示形式是唯一的。即机器数的运算前面介绍了带符号数的3种表示法，由于形成规则不同，加、减运算的规律也不相同。下面分别加以介绍。1.原码运算原码中的符号位仅用来表示数的正、负，不参加运算。进行运算的只是数值部分。原码运算时，应首先比较两个数的符号，若两数的符号相同，则可将两个数的数值相加，最后在结果前附上相应的符号；若两个数的符号不同，则需比较两个数的数值大小，然后将数值较大的数减去数值较小的数，并将数值较大的数的符号作为最后结果的符号。下面举例说明。例1.3.1

己知S1=0.1001，S2=-0.0101，求[S2+S1]原和[S2-S1]原。解：由于S1和S2的符号不同，并且S的绝对值大于&的绝对值，因此要进行S1减S2的运算，其结果为正。机器数的运算运算结果为原码，即故其真值为又由于S1和-S2的符号相同，因此，实际上要进行S加S的运算，其结果为负。运算结果为原码，即

故其真值为机器数的运算2.反码运算由反码的定义可以得到反码加、减运算规则如下：反码的加、减运算规则表明：两数和的反码等于两数的反码之和，而两数差的反码也可以用加法来实现。运算时，符号位和数值位一样参加运算，如果符号位产生进位，则需将此进位加到和数的最低位，称之为“循环进位”。运算结果的符号位为0时，说明是正数的反码，与原码相同；运算结果的符号位为1时，说明是负数的反码，应再对运算结果求反码，才得到原码。下面举例说明。机器数的运算例1.3.2

已知S1=0.1001，S2=一0.0101，求[S2+S1]反和[S2-S1]原。解：由于符号位产生了进位，因此要进行“循环进位”，即由于其符号位为0，则其真值为$2+S=0.0100。

又由于符号位产生了进位，因此要进行“循环进位”，即由于其符号位为1，则其真值为&-Si=-0.1110。机器数的运算3.补码运算补码运算同反码运算一样，两数差的补码可以用两数补码的加法来实现。补码加、减运算规则如下：运算时，符号位和数值位一样参加运算，如果符号位产生了进位，则此进位可“略去”。运算结果符号位为0时，说明是正数的补码，与原码相同。运算结果符号位为1，说明是负数的补码，应对结果再求补码才得原码。下面举例说明。机器数的运算机器数的运算机器数的运算从上述的讨论可以看出，原码、反码和补码各有优缺点。原码表示法简单方便，但原码减法必须做真正的减法，不能用加法来代替，因此实现原码运算所需的逻辑电路比较复杂。反码和补码的优点是只需用加法逻辑电路便可实现。并且用补码进行减法运算很方便，它只需进行一次算术相加。而用反码进行减法运算，若符号位产生进位就需进行两次算术相加。而且反码还有一个缺点，就是具有两个零值，这容易在计算过程中产生歧义。04数码和字符的代码表示PARTFOUR十进制数的二进制编码简称为二一十进制码或BCD码，所谓BCD码是指用若干位二进制数来表示1位十进制数。十进制数有0〜9共10个数码，所以表示1位十进制数，至少需要4位二进制数。但4位二进制数可以产生24=16种组合，用4位二进制数表示1位十进制数，有6种组合是多余的。十进制数的二进制编码可以有许多种方法，即有许多种不同的编码方案。表1.4.1列举了目前常用的几种编码方案。十进制数的二进制编码十进制数的二进制编码下面分别介绍几种常用编码。高长调：5级差以上的对比，令人感觉刺激、对比强烈，视觉感快速明了，反差大，形象清晰度高，有积极、活泼、刺激、明快的感觉。高中调：3〜5级差的对比，视觉感明快、活泼，中强度对比，效果明亮。高短调：3级差以内的对比，视觉感优雅，形象对比小，给人优雅、高贵、柔软、朦胧的感觉，在设计中常作为女性色彩。1.8421码8421码是最基本、最常用的一种编码方案。在这种编码方式中，每一位二进制代码都代表一个固定的数值，把每一位的1代表的十进制数加起来，得到的结果就是它所代表的十进制数码。由于代码中从左到右每一位的1分别表示8、4、2、1，所以把这种代码称为8421码。在8421码中每一位1代表的十进制数称为这一位的权。由于8421码中的每一位的权是固定不变的，它属于恒权代码。恒权码的按权展开式如下：因而，代码1001表示十进制数9。2.余3码余3码是一种特殊的8421码，它是由8421码加3后形成的，所以称为余3码。例如，十进制数7在8421码中是0111，在余3码中就成为1010。余3码的各位无固定的权。余3码是一种“对9的自补”代码。它的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码，即对应码位中，当其中一个为0时，另一个就为1。用余3码能很方便地求得某数“对9的补数”，即把该数的余3码自身按位取反，就得到该数“对9的补数”的余3码。如十进制数4的余3码代码为0111，其“对9的补数”是5，则5的余3码代码为1000。当两个余3码表示的数相加时，由于每个余3码都余3，其和就余6。因此，在用余3码做十进制加法时，若两数之和为10，正好等于二进制数的16，于是便向高位自动产生进位信号。如十进制数4和6的余3码分别是0111和1001，当两数相加时，即向高位产生进位信号。十进制数的二进制编码十进制数的二进制编码高长调：5级差以上的对比，令人感觉刺激、对比强烈，视觉感快速明了，反差大，形象清晰度高，有积极、活泼、刺激、明快的感觉。高中调：3〜5级差的对比，视觉感明快、活泼，中强度对比，效果明亮。高短调：3级差以内的对比，视觉感优雅，形象对比小，给人优雅、高贵、柔软、朦胧的感觉，在设计中常作为女性色彩。3.2421码2421码也是一种恒权码，它的0和9、1和8、2和7、3和6、4和5互为反码，这一点和余3码相似。只要将2421码自身按位求反，就能方便地得到其“对9的补数”的2421码。2421码用4位二进制数表示1位十进制数，其权为

W3=2，W2=4，W1=2，W0=1例如，2421码的0100，其按权展开式为

0x2+lx4+0x2+0xl=4因而，代码0100表示十进制数4。而其“对9的补数”是5，根据反码的定义，其代码为lOllo2421码的这一特性在计算机中对十进制数进行运算时很有用处。4.余3循环码余3循环码是一种变权码，每一位的1在不同代码中并不代表固定的数值。它的主要特点是相应的两个代码之间仅有一位的状态不同。因此，按余3循环码连接计数器时，每次状态翻转过程中只有一个触发器翻转，因此译码时不会引发竞争一冒险现象。在数字通信中，代码在形成和传送过程中，都可能发生错误，例如1001变成了1000；也会因处理该代码的逻辑电路有故障而出现了错误的结果，例如正确的结果是1110，但由于电路故障而输出的是HOOo与原始信息不同的代码称为误码。为了使代码在形成和传送中不易出错，或者出现误码时便于发现，甚至能查出错误的位置，因此产生了被称为可靠性编码的方法。1.格雷码(Gray)格雷码又称循环码，它有多种编码形式，但它们有一个共同的特点，就是任意两个相邻的代码之间，它们的格雷码仅有一位不同，其余各位均相同。表1.4.2列出了一种格雷码。可靠性编码在数字系统中，经常要求代码按一定顺序变化，例如按自然规律计数。如果两个相邻的十进制数5和6，它们的二进制代码分别为0101和0110，贝U当用二进制进行加法计数时，十进制数从5变到6，其相应的二进制代码从0101变到0110，二进制代码0101的最低两位都要改变。若两位的变化不是同时发生的（在实际电路中，没有绝对的同时改变），那么，在计数过程中就可能短暂地出现其他代码（0111或0100），尽管这种误码出现时间是短暂的，但在高速运算时却是不允许的，因为这可能导致电路状态错误或输出错误，而采用格雷码就可避免这种错误。格雷码是一种无权码，它与二进制数之间的转换关系如下：设二进制数为B=BnBn-1…B1B0，其对应的格雷码为G=GnGn-1…G1G0，则Gn=BnGi=Bi+1㊉Bii=0,1，2，…，n-1其中，㊉是异或逻辑运算。如果参与异或运算的两个变量的逻辑值不同，则其运算的结果为1。可靠性编码例1.4.1

把二进制数0101和1001转换成格雷码。解：如果已知格雷码，也可将其转换成对应的二进制数，其转换关系如下：例1.4.2把格雷码1100和0111转换成二进制数。解：可靠性编码2.奇偶校验码奇偶校验码是一种能检验出二进制信息在传送过程中出现错误的代码。这种代码由两部分组成：一部分是奇偶校验位，它使整个代码中1的个数按预先的规定成为奇数或偶数，另一部分是信息位，它是需要传送的信息本身。当信息位和校验位中1的总个数为奇数时，称为奇校验，而1的总个数为偶数时，称为偶校验。表1.4.3所示是由1位奇偶校验位（首位）及4位信息位构成的5位奇偶校验码。可靠性编码这种编码的特点是：使每一个代码中含有1的个数总是奇（偶）数个。这样，一旦某一代码在传送过程中出现了误码使1的个数不是奇（偶）数个时，就会被发现。计算机处理的数据不仅有数码，还有字母、标点符号、运算符号及其他特殊符号。这些符号都必须用二进制代码来表示，计算机才能进行处理。通常，把用于表示各种字符的二进制代码称为字符代码。目前，国际上釆用的ASCII码（美国标准信息交换码）是一种常用的字符代码，使用时加第8位作奇偶校验位。部分字符的ASCII码如表1.4.4所示。字符代码谢谢观看第2章逻辑函数及其化简数字电子技术(第2版）描述客观事物逻辑关系的数学方法被称为逻辑代数，由英国数学家乔治-布尔（GeorgeBoole）在1854年首先提出，所以又被称为布尔代数。直到1938年，克劳德•香农（ClaudeE.Shannon）在开关电路中找到了它的应用，并很快成为开关电路分析与设计的重要工具，所以逻辑代数又被称为开关代数。与普通代数相比，逻辑代数要简单得多，逻辑代数中变量的取值不是0就是1,没有第三种可能，且这里的1和0并不表示数值的大小，而是代表两种不同的逻辑状态，如用1和0表示一件事情的真与假，一个开关的开通与断开，一盏电灯的亮与灭，电路输出电压的高电平与低电平等二值逻辑问题。在逻辑代数中，有不少公式和定理与普通代数形式上相似，但它的本质与含义却完全不同。随着数字电子技术的发展，逻辑代数成为开关电路和数字逻辑电路分析与设计的数学工具和理论基础。本章将从实用的角度简要介绍逻辑代数的基本概念、常用的基本公式和定理，讨论逻辑函数的表示形式及其描述方法，应用逻辑代数化简逻辑函数的方法等。01逻辑代数PARTONE逻辑变量与逻辑函数与普通代数一样，逻辑代数中的变量也用英文字母A,B,C,…等来表示，称为逻辑变量，逻辑变量的含义与普通代数情况完全不同，它们之间有着本质的区别。逻辑变量的取值只有两种可能：0或1,而且没有中间值，0和1并不表示数量的大小，而是表示两种对立的状态。按照逻辑学中的因果关系，某件事情的发生（结果）必然要具备其发生的条（原因），这里可以约定1表示条件具备或事件发生，0表示条件不具备或事件不发生；相反也可以约,定1表示条件不具备或事件不发生，0表示条件具备或事件发生。逻辑变量与逻辑函数如图2.1.1所示的电灯开关电路中，电灯是否点亮（结果）取决于开关是否接通（条件）。若定义Y=1表示灯点亮，Y=0表示灯熄灭；那么可以用A=1表示开关闭合，A=0表示开关断开。由于Y与A都是取值为1或为0的逻辑变量，并且开关的逻辑状态决定了图2.1.1电灯开关电路电灯的逻辑状态，因此Y是/的函数，其函数表达式可写为Y=州），逻辑变量刀的取值决定了逻辑函数Y的结果。一般来说，一个逻辑函数中应包含多个逻辑变量，逻辑函数可表示为Y=f(A，B,C,…），表达式由逻辑变量4列C,…和逻辑运算符等组成。逻辑运算符是逻辑运算关系中特定的符号，逻辑代数中最基本的逻辑运算有与、或、非3种，每种运算代表一种函数关系，这种函数关系可用逻辑符号写成逻辑表达式的形式来描述，亦可以用文字来描述，还可以用表格或图形的方式来描述。基本逻辑运算人们常用因果关系来描述客观事物条件与结果之间的关系。在逻辑代数中，最基本的逻辑关系有3种，即与逻辑关系、或逻辑关系、非逻辑关系。下面通过几个具体的例子来描述这3种基本的逻辑关系。1.与逻辑如图2.1.2所示，如8两个串联开关控制电灯开关1、3的状态组合有4种，这4种不同的状态组合与电灯点亮与熄灭之间的关系如表2.1.1所示。从表中可以看出，只有当开关,、8同时闭合时，电灯Y才会点亮；否则处于熄灭的状态。现在用1来表示条件具备或事件发生，即用1来表示开关闭合及电灯亮；用0来表示条件不具备或事件不发生，即用0来表示开关断开及电灯灭。因此表2.1.1所示的逻辑关系可以表示为表2-2所示的形式。这种把输入逻辑变量的所有取值组合及其相对应的输出结果列成的表格称之为真值表。从表2.1.1中可以得到如下的因果关系：只有当决定某一事件的条件（如开关闭合）全部具备时，这一事件（如电灯亮）才会发生。基本逻辑运算这种因果关系称之为与逻辑关系。根据表2.1.2所示输出逻辑变量（逻辑函数）及输入逻辑变量的关系，这种与逻辑关系可以写成如下的逻辑函数表达式式中，与3为输入逻辑变量，即自变量；/为输出逻辑变量，即因变量。式中的与运算符号“•”在不至于混淆的情况下，一般可以省略。与运算的意义为：只有当Z和8都为1时,函数值Y才为1。读者很容易推广到3个（或3个以上）输入变量的情况。基本逻辑运算由与逻辑关系的真值表可知与逻辑运算的运算规律为基本逻辑运算2.或逻辑将图2.1.2所示电路稍做改变，把两个串联开关改为两个并联开关控制电灯（灯），电路如图2.1.3所示。两个并联开关也有四种不同的状态组合，这些状态组合与灯亮、灯灭之间的关系如表2.1.3所示。同样用1表示条件具备或事件发生，0表示条件不具备或事件不发生，即1表示开关闭合、灯亮，0表示开关断开、灯灭，可以得到如表2.1.4所示的真值表。从其逻辑状态表中可以得到这样的因果关系：只有在决定某一事件（如电灯亮）的各种条件中，有一个或几个条件（如开关闭合）具备时，这一事件就会发生。这种因果关系称之为或逻辑关系。基本逻辑运算上述这种或逻辑关系可以写成如下的逻辑函数表达式Y=A+B （2.1.5）式中，“+”为或逻辑运算符号。或逻辑运算的意义为：/或3只要有一个为1,则函数值Y为1。由或逻辑关系的真值表可知或逻辑运算的运算规律为0+0=00+1=1+0=11+1=1简单地记为：“有1出1,全0出0”。由此推出一般形式：基本逻辑运算3.非逻辑如图2.1.4所示的非逻辑示例电路中，开关A闭合时，灯亮；开关A断开时，灯灭。若用1表示开关闭合及灯亮，0表示开关断开及灯灭，可得逻辑真值表如表2.1.5所示。从其逻辑真值表中得到的因果关系如下：决定某一事件发生的条件（如开关闭合）具备时，事件（如电灯亮）不发生；而当事件发生的条件不具备时，事件发生。这种因果关系称之为非逻辑关系。上述这种非逻辑关系可写成如下逻辑函数表达式Y=A （2.1.9）式（2.1.9）右边读作“A非”或“非A”。其中“-”为非逻辑的逻辑运算符号。非逻辑运算的意义为：逻辑函数值为输入逻辑变量的反。基本逻辑运算由非逻辑关系的真值表可知非逻辑的运算规律为由此推出其一般形式：在电子技术中实现与、或、非逻辑运算的单元电路分别称为与门、或门、非门，其逻辑符号如图2.1.5所示。图中左边的变量3、3代表电路的输入端，右边的变量/代表电路的输出端。一般情况下，变量取值为1时代表端口电压为高电平，变量取值为0时代表端口电压为低电平。复合逻辑运算实际数字系统中遇到的逻辑关系问题往往要比简单的与、或、非逻辑关系复杂得多，但是它们可以通过与、或、非的不同组合来实现，从而进行一些复合逻辑运算。常见的复合逻辑有：与非逻辑、或非逻辑、与或非逻辑、同或逻辑、异或逻辑等。1.与非逻辑与非逻辑实际上是与逻辑和非逻辑的复合，它首先将输入变量进行与运算，然后再进行非运算。对于一个二输入逻辑变量的与非逻辑来说，其逻辑函数表达式为与非逻辑的真值表如表2.1.6所示。复合逻辑运算2.或非逻辑或非逻辑实际上是或逻辑和非逻辑的组合，它首先将输入变量进行或运算,非运算。对于一个二输入逻辑变量的或非逻辑来说，其逻辑函数表达式为或非逻辑的真值表如表2.1.7所示。复合逻辑运算3.与或非逻辑与或非逻辑是由与逻辑、或逻辑、非逻辑组合而成的，它首先将输入逻辑变量进行与运算，然后再进行或运算，最终进行非运算。对于一个2-2输入逻辑变量的与或非逻辑来说,其逻辑函数表达式为与或非逻辑的真值表如表2.1.8所示。复合逻辑运算4.同或逻辑与异或逻辑同或逻辑与异或逻辑都是只有两个输入逻辑变量的函数。当两个输入逻辑变量取值相同时，输出逻辑函数值为1；两个输入逻辑变量取值不同时,输出逻辑函数值为0。这种逻辑关系称之为“同或”逻辑。其逻辑函数表达式为式中，“”为同或逻辑的运算符号。同或逻辑的真值表如表2.1.9所示。由同或逻辑的真值表可知同或运算的规律为复合逻辑运算简单地记为：“相同为1,相异为0”。由此推岀一般形式：与同或逻辑相反，当两个输入逻辑变量的取值相异时，输出逻辑函数值为1；两个输入逻辑变量取值相同时，输出逻辑函数值为Oo这种逻辑关系称之为异或逻辑关系。其逻辑函数表达式为复合逻辑运算式中，“㊉”为异或逻辑的运算符号。异或逻辑的真值表如表2.1.10所示。复合逻辑运算由异或逻辑的真值表可知异或运算的规律为简单地记为：“相同为0,相异为1”。由此推出一般形式：

复合逻辑运算图2.1.6给出了常见复合逻辑的逻辑符号。逻辑函数与真值表在实际逻辑问题中，前面介绍的基本运算和复合运算很少单独出现，它们往往是构成各种复杂逻辑运算的基本单元。逻辑代数中的函数与普通代数中函数定义相类似，一个多变量输入的逻辑函数Y=f{A,B,C,…)，函数表达式由逻辑变量A,B,C,…和运算符号“+”“-”“·”，等来构成，但概念上与普通代数的函数有本质的区别，主要表现为：(1)逻辑函数自身和逻辑变量的取值只有0和1两种可能。(2)逻辑函数与变量之间的关系完全由与、或、非3种基本运算确定。从数字电路的角度，逻辑函数可定义如下：设逻辑电路的输入逻辑变量为A,B,C,…，逻辑电路的输出Y,当A，B,C,…的值确定后，则Y的值就被唯二地确定下来，那么Y被称为4,b,c,…的逻辑函数。例如：Y=A（B+C）（B+C）就是一个逻辑函数表达式，其中，A,B表示逻辑变量Z与3的反变量，表述了一个逻辑电路输出端Y与其输入逻辑变量S,B,。之间的关系。逻辑函数与真值表1.逻辑函数的真值表逻辑函数表达式是用来表示输出量与输入量之间逻辑关系的一种方法，在数字逻辑电路中用真值表来描述逻辑函数更能直观地表示输出量和输入量之间的逻辑关系。用真值表描述逻辑函数的方法是一种表格表示法，由于一个逻辑变量只有0和1两种可能的取值，故n个逻辑变量一共有2n种可能的组合。任何逻辑函数总与若干个逻辑变量相关，有限的变量个数使得变量取值组合的总数必然是有限的，从而能够用穷举的方法来描述逻辑函数的功能。为了清晰，常用的方法是对一个函数求岀所有输入变量取值下的函数值，用表格的形式记录下来，这种表格就称为真值表。换言之，真值表是一种由逻辑变量的所有可能取值组合及其对应的逻辑函数值所构成的表格。逻辑函数与真值表真值表由两部分组成，左边一栏列出变量的所有取值组合，为了不发生遗漏，通常各变量取值组合按二进制数码顺序列出；右边一栏为逻辑函数的倬。例如：一个三输入变量的逻辑函数为,其真值表如表2.1.11所示。真值表是一种十分有用的逻辑工具，在逻辑性问题分析与设计中，会经常用这一工具。逻辑函数与真值表2.真值表的逻辑表达式真值表的最大特点是可直观表示输出量和输入量之间的逻辑关系，在数字逻辑电路中经常应用真值表来分析电路的逻辑功能。但用表格的形式描述逻辑函数有很明显的局限性，因而经常要把真值表描述的逻辑功能写成逻辑函数表达式的形式。由真值表写出逻辑函数表达式实际上是由逻辑函数列写真值表的一个逆过程。表2.1.11所示真值表与逻辑函数表达式Y=BC+ABC+ABC的关系分析如下。逻辑函数表达式可改写为逻辑函数与真值表同理，在A、B、C的取值为111、11O、101时，分别使ABC=1,ABC=1和ABC=l,使逻辑函数值为Y=1。因此，由真值表写出逻辑函数表达式时，首先把每个输出逻辑变量/=1相对应的一组输入变量（A、B、C、…）的组合状态以与项的形式表示，其中取值为1的用原变量形式表示，取值为0的用反变量形式表示；然后将所有使7=1的与项进行逻辑或，便得到了输出Y的逻辑函数表达式，由于逻辑函数表达式F中包含了所有使F=1的输入组合，因此该表达式是完备的。逻辑函数与真值表例2.1.1列出下述逻辑问题的真值表，并写出描述该逻辑问题的逻辑函数表达式。有A、B、C3个输入信号，当3个输入信号出现奇数个1时，输出Y为1；其余情况下，输出Y为0。解：根据题意，当3个输入信号岀现奇数个1时，输出为1,其余情况输出为0,得到8种不同取值组合的输出，真值表如表2.1.12所示。逻辑函数与真值表从真值表中可见，使输出K=1的输入变量取值组合为A8C=001、010、100、111这四种，当A=0,B=0,C=1时，必然使得ABC=1；当A=0,B=l,C=0时，必然使得ABC=1；当A=1,B=0,C=0时，必然使得*无=1；当丄=B=C=1时，必然使得ABC=1,因此输出F的逻辑函数应当等于这四个与项逻辑之和，即Y=ABC+ABC+ABC+ABC综上所述，一个逻辑函数表达式与表示该逻辑函数的真值表之间是可以相互转换的。逻辑函数的相等逻辑函数和普通代数中的函数一样存在相等的问题。假设有两个逻辑函数均为变量A1,A2,A3,…，An的逻辑函数，如果对应于变量A2,A2,A3,…，4的任意一组取值，Y与G的值都相等，则称P和。是等值的，或者说Y和G是相等的，记作Y=G。判断两个逻辑函数是否相等，通常有两种方法。一种方法是列出输入变量所有可能的取值组合，并按逻辑运算法则计算出各种输入取值下两个逻辑函数的相应值，然后进行比较。另一种方法是用逻辑代数的定律及规则进行证明。02逻辑代数的定律及规则PARTTWO和普通代数一样，逻辑代数作为一个完整的代数体系，它具有一系列用于运算的定律及规则。有不少定律在形式上和普通代数完全一致，但其含义却有本质的区别，有些定律是逻辑代数所特有的，在普通代数中没有对应的关系。本节将介绍逻辑代数的基本定律、规则和常用的公式。逻辑代数的基本定律(1)重叠律(2)交换律(3)结合律逻辑代数的基本定律(4)分配律(5)吸收律(6)反演律(摩根定律)逻辑代数的基本定律(7)调换律逻辑代数的基本定律逻辑代数的基本规律可以用图形符号来表示,如式(2.2.20)和式(2.2.21)所示的反演律用图形符号表示如图2.2.1所示。逻辑代数的三个规则1.代入规则在任意逻辑代数的等式中，如果将等式两边所有出现变量4的位置都代以一个逻辑函数Y，则原等式仍然成立。因为任何一个逻辑函数匕它与一个逻辑变量一样，只有0和1两种取值，所以代入规则是正确的。有了代入规则便可以扩展一些基本的定律和等式的应用范围，只要将己知等式或定律中的某-变量用一个任意的逻辑函数代入，便能得到一个新的等式。如反演律：。但是在运用代入规则时应注意，等式中所有出现被替代变量的地方都应该代以同一逻辑函数，否则等式不成立。逻辑代数的三个规则2.反演规则已知逻辑函数Y的表达式，求反函数戸的表达式的规则，称为反演规则。对于任意一个逻辑函数表达式匕若将其表达式中所有出现“•”（注意，在逻辑函数表达式中不致混淆的地方，“•”常被省略）的地方换以“+”；所有出现“+”的地方换以“•”；所有的常量0换成常量1,常量1换成常量枷所有的原变量换成反变量，所有的反变量换成原变量，这样所得到的新的函数表达式就是Y，称之为原函数Y的反函数，或补函数。必须指岀，在运用反演规则时应注意以下几点：•变换时应保持原函数运算顺序不变；•变换运算符号的优先顺序，遵循“先进行括号里的运算变换，再进行逻辑乘的运算变换，最后进行逻辑加的运算变换”；•不属于单个变量上的非号应保留不变。例2.2.1已知解：由反演规则可得例2.2.2已知解：由反演规则可得 逻辑代数的三个规则3.对偶规则若两个逻辑表达式Y和G相等，则它们的对偶式尸和也必定相等，这就是对偶规则。对偶式是这样定义的：对于任意一个逻辑函数表达式若将其表达式中所有出现“•”（注意，在逻辑函数表达式中不致混淆的地方，“•”常被省略）的地方换以“+”；所有出现“+”的地方换以“•”；所有的常量0换成常量1,常量1换成常量0,而其中的变量与原表达式中运算的优先顺序保持不变，这样变换后得到一个新的表达式，称为原表达式/的对偶式Y´。与运用反演规则求反函数相比，声求对偶式时应注意三点：•Y的对偶式Y´与Y的反演式Y´是不同的；•运用对偶规则时，不需将反变量与原变量置换；•遵循同样运算变换的优先顺序。逻辑代数的三个规则例2.2.3已知

,求Y´。解：有些逻辑函数表达式的对偶式就是原函数表达式本身，即Y=Y'。这时，称函数Y为自对偶函数。例如，函数是一个自对偶函数。因为根据对偶规则，当已证明某两个室达式相等时，便可知它们的对偶式也相等。例如，已知,

由对偶规则可知等式两端的对偶式也相等，必有很明显，应用对偶规则可使定理(律)、公式的证明减少一半。逻辑代数的三个规则逻辑代数的常用公式逻辑代数的常用(基本)公式如表2.2.2所示。从常用公式中可以看出，公式1〜7与公式1'〜7,是互为对偶式的，因此只要证明其中的一组公式就可以了，另外一组可以通过对偶规则得到，记忆方便。其正确性可以通过列真值表的方法得以证明。03逻辑函数的化简PARTTHREE逻辑函数的标准形式逻辑函数表达式有与或表达式和或与表达式两种基本形式。所谓与或表达式是指一个逻辑表达式中包含着若干个与项，每个与项中有一仑或多©以原变量或反变量形式出现的变量名，所有这些与项相或就表示一个逻辑函数。如ABC.AC.B等均为与项，用这些与项就可以构成逻辑函数的与或表达式，即这个表达式有3个与项，有时我们也将与项称之为“乘积”项。于是，上述表达式可看成是由3个“乘积”项通过求“和”形成的，这样的表达式又称为“积之和”表达式。所谓或与表达式是指一个逻辑表达式中包含着若干个或项，每个或项中有任意个以原变量或反变量形式出现的变量，所有这些或项相与就表示一个逻辑函数。如

等均为或项，用这些或项就可以构成或与表达式，即逻辑函数的标准形式1.最小项标准式最小项标准式也称为与或标准式。对于一个任意的逻辑函数表达式，例如：其表达式并不是唯一的。根据上面介绍的分配律及基本公式等概念，可以将表达式写成与或表达式利用公式A+A=l,式(2.3.2)又可以变换为逻辑函数的标准形式式(2.3.3)所表示的与或表达式称为最小项标准式，式(2.3.3)中的与项称为3个变量A、B、C的最小项。可以看出，所谓的最小项是一种与项，这种与项包含了所有的输入变量。每个输入变量或以原变量或以反变量的形式出现在与项中，且在每竺逃理尹现匚冬3个输入变量A、B、C最多可组成8个最小项：变量的其他不同的组合，如否、AC.万0等都不满足最小项的条件,所以均不是最小项。为了叙述和书写方便，通常用総表示最小项。如果最小项(即与项)中的原变量记为1,反变量记为0,且当变量顺序确定后，1和0按顺序排列成一个二进制数，则与这二进制数相对应的十进制数就是最小项的下标i。表2.3.1列出了A、B、C3个变量函数可能存在的全部最小項。因此，式(2.3.1)表示的逻辑函数可写成逻辑函数的标准形式若借用数学中常用的符号“Σ”表示累计的逻辑“加”，则逻辑函数可写成如下形式：其中，符号“Σ”表示各项求或，后面括号内的数字表示函数的各最小项。等式左边括号内的字母为所有的变量名和它们的排列顺序，变量的顺序是很重要的，一旦确定后，就不能随意改变，否则会造成表达式的错误。逻辑函数的标准形式上述例子说明，一个任意的逻辑函数均可表示为若干最小项之“和”。逻辑函数的与或标准式就是函数的最小项标准式。当逻辑函数用最小项标准式表示时，就能方便地列出逻辑函数及其反函数的真值表，上述例子的真值表如表2.3.2所示。逻辑函数的标准形式由表2.3.2所示真值表很容易写出其反函数的表达式可以看出，对于A、B、C这3个变量来说，可以形成23=8个最小项。并且，若这些最小项不包含在Y{A,B,C)的与或标准式中，则必然包含在Y(A、B、C)的与或标准式中。这个结论可以推广到n个输入变量A1，A2，A3，…，An的情况，n个输入变量有2n个输入组合，即有2n个最小项。对于n个输入变量的逻辑函数Y根据逻辑代数基本定律，有而所以有式(2.3.8)表明：n个输入变量所有最小项的“和”恒等于1。逻辑函数的标准形式2.最大项标准式最大项标准式也称为或与标准式。对于一个任意的逻辑函数表达式，例如：其表达式并不是唯一的。根据上面介绍的分配律及基本公式等概念，可以将表达式写成或与表达式利用公式A·A=0,式(2.3.10)又可改写为逻辑函数的标准形式式(2.3.11)所表示的表达式称为最大项标准式，式(2.3.11)中的或项称为3个变量A、B、C的最大项。可以看出，所谓的最大项是一种或项，这种或项包含了所有的输入变量。每个输入变量或以原变量或以反变量的形式出现在或项中，且在每个或项中仅出现一次。为了叙述和书写方便，通常用肱，.表示最大项。如果最大项(即或项)中的原变量记为0,反变量记为1,且当变量顺序确定后，1和0按顺序排列成一个二进制数，则与这二进制数相对应的十进制数就是最大项的下标i。表2.3.1列出了A、B、C这3个变量函数可能存在的全部最大项。因此，式(2.3.11)表示的逻辑函数可写成 若借数学中常用的符号“

”表示累计的逻辑“乘”，则式(2.3.12)可写成如下形式：其中，符号“口”表示各项求与，后面括号内的数字表示函数的各最大项。等式左边括号内的字母表示所有的变量名和它们的排列顺序，变量的顺序是很重要的，一旦确定后，就不能随意改变，否则会造成表达式的错误。上述例子说明，一个任意的逻辑函数均可表示为若干最大项之“乘积”。逻辑函数的或与标准式就是函数的最大项标准式。逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式当逻辑函数用最大项标准式表示时，对于组成函数的所有最大项，只要有一项最大项为0,该函数的值就为0,否则就为1。这样，我们就能方便地列出逻辑函数及其反函数的真值表，式(2.3.13)所表示的逻辑函数的真值表如表2.3.3所示。逻辑函数的标准形式高长调：5级差以上的对比，令人感觉刺激、对比强烈，视觉感快速明了，反差大，形象清晰度高，有积极、活泼、刺激、明快的感觉。高中调：3〜5级差的对比，视觉感明快、活泼，中强度对比，效果明亮。高短调：3级差以内的对比，视觉感优雅，形象对比小，给人优雅、高贵、柔软、朦胧的感觉，在设计中常作为女性色彩。由表2.3.3所示真值表很容易写出其反函数的表达式可以看出，对于A、B、C这3个变量来说，可以成23=8个最大顼。并且，若这些最大项不包含在Y(A,B,C)的或与标准式中，则必然包含在Y(A,B,C)的或与标准式中。逻辑函数的标准形式式(2.3.16)表明：n个输入变量所有最大项的“积”恒等于0。根据上述对最小项和最大项的讨论，在同一个逻辑问题中，下标相同的最小项和最大项之间存在着互补的关系，即有逻辑函数的标准形式高长调：5级差以上的对比，令人感觉刺激、对比强烈，视觉感快速明了，反差大，形象清晰度高，有积极、活泼、刺激、明快的感觉。高中调：3〜5级差的对比，视觉感明快、活泼，中强度对比，效果明亮。高短调：3级差以内的对比，视觉感优雅，形象对比小，给人优雅、高贵、柔软、朦胧的感觉，在设计中常作为女性色彩。3.逻辑函数表达式的转换任意一个逻辑函数，其表达式的形式可以多种多样，但是各种形式的表达式是可以转换的。并且，不论其表达式处于何种形式，总可以转换成最小项标准式和最大项标准式的形式。求一个逻辑函数表达式的标准形式有两种方法，一种是代数转换法，另一种是真值表转换法。(1)代数转换法所谓代数转换法，就是利用逻辑代数的公式、定律和规则，将逻辑函数表达式从一种形式变换为另一种形式。下面通过例子说明之。逻辑函数的标准形式逻辑函数的标准形式由例题可归纳求逻辑函数最大项标准式的步骤：①将逻辑函数表达式转换成一般的或与表达式。②利用,将或与表达式中不是最大项的或项展开成最大项，写出逻辑函数的最大项标准式。根据上述两个例题的结果式(2.3.18)和式(2.3.19),对于同一个逻辑函数最小项标准式中的编号与最大项标准式中的编号具有“互补”关系。因此，只要求出了逻辑函数两种标准式中的任意一种，另一种标准式可按其编号的“互补”规律得出。上述逻辑函数的真值表如表2.3.4所示。由真值表可知，逻辑函数*的值为1对应的最小项出现在最小项标准式中，逻辑函数Y的值为0对应的最大项出现在最大项标准式中。由此可见，利用逻辑函数的真值表可方便地写出逻辑函数的两种标准式。逻辑函数的标准形式由此可见，利用逻辑函数的真值表可方便地写出逻辑函数的两种标准式。逻辑函数的标准形式（2）真值表转换法真值表转换法就是首先列出逻辑函数的真值表，利用真值表与最小项和最大项的关系，直接写出逻辑函数的两种标准式。当代数转换法非常复杂时，真值表转换法就显得十分方便。例2.3.3将逻辑函数表达式

表示成最小项标准式和最大项标准式。解：首先列出该逻辑函数的真值表如表2.3.5所示。由真值表2.3.5可知使逻辑函数F的值为1的情况有4种取值组合，这些组合对应的最小项必定出现在最小项标准式中。所以逻辑函数表达式的两种标准式如下逻辑函数的标准形式由于逻辑函数的真值表与逻辑函数的两种标准式存在一一对应的关系，而任何一个逻辑函数的真值表是唯一的，所以任何一个逻辑函数的两种标准式也是唯一的，这样就给我们分析和研究逻辑函数带来了很大的方便。逻辑函数的代数化简法1.逻辑同一个逻辑函数，其表达形式多种多样，但是表达式越简单，它所表示的逻辑关系也就越明确，实际应用中便能用越少的电子器件来实现它。因此对于比较复杂的逻辑表达式，往往要通过化简的方法来找出其最简的表达式。如下列两个逻辑函数表达式函数的最简形式列出它们的真值表后发现，其真值表完全相同，根据逻辑函数相等的定义，它们是同一个逻辑函数。但是很明显，匕要比K简单得多。同一个逻辑函数，其最简表达式的形式也是多种多样，如最简的与或表达式；最简的或与表达式；最简的与非与非表达式；最简的或非或非表达式；最简的与或非表达式等。在众多的最简表达式中大都可以通过最简的与或表达式或者最简的或与表达式转换得出，因此，一般只需研究最简的与或表达式和最简的或与表达式。逻辑函数的代数化简法一个最简的与或表达式应满足下述两个条件：①表达式中所含与项的数目应该最少。②在满足上述条件的前提下，每一个与项中所含变量的数目应该最少。同样，最简的或与表达式也必须满足两个条件：①表达式中所含或项的数目应该最少。②在满足上述条件的前提下，每一个或项中所含变量的数目应该最少。在数字逻辑电路中，在逻辑函数表达式满足上述最简条件的前提下，设计的逻辑电路结构最简单，从而使电路最经济。由于习惯上人们把最简与或表达式认为是逻辑函数的最简表达式，所以本书若无特别申明，最简表达式就是指最简与或表达式。逻辑函数的代数化简法2.逻辑函数的代数化简法所谓代数化简法就是利用逻辑代数中的公理、定律和基本公式等将一个逻辑函数表达式化简为最简形式，即消去逻辑函数中多余的与项和每个与项中多余的变量因子。代数化简法没有固定的步骤，只要熟练地运用逻辑代数中常用的公式、定律和规则，便能求出最简表达式。常用的方法有：合并项法、吸收法、消去法及配项法。逻辑函数的代数化简法(1)合并项法利用公式AB+AB^A将两项合并为一项，同时消去3和万这一对互补因子。其中，A和B既可以是变量，也可以是复孝以逻辑巧：逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法(4)配项法根据基本公式A+A=A可以在逻辑函数表达式中重复写入某一项，或将某一乘积项乘以

，从而将这一项展开为两项，再与其他的项重新进行合并，消去更多的项和变量，最终得到最简表达式。对于化简较为复杂的逻辑函数表达式，往往需要综合运用上述几种化简方法，才能得到最后的化简结果。逻辑函数的代数化简法逻辑函数的代数化简法用代数化简法求最简的或与表达式时，可以直接运用前述介绍化简与或表达式中提出的各种方法的对偶公式和定律来进行；也可以采用两次对偶法，首先对用或与表达式表示的函数F求出对偶式，得到与或表达式Y',按与或表达式的化简方法求出Y´的最简表达式，然后，对Y'再次求对偶，即可得到Y的最简或与表达式。代数化简法的优点是不受变量数目的约束，当对公式、定律和规则十分熟练时化简就比较方便。其缺点是没有一定的规律和固定的步骤，技巧性很强，而且在很多情况下难以判断化简结果是否最简。所以这种方法有很大的局限性。卡诺图是20世纪50年代美国工程师卡诺(M.Kamaugh)提出的，它是逻辑关系的一种图形表示法，形象且直观。卡诺图是数字逻辑设计中常用的一种数学工具。下面将介绍卡诺图的构成、性质及应用卡诺图化简逻辑函数的方法。卡诺图化简法1.卡诺图卡诺图实际上是真值表的一神变形，它与真值表具有一一对应的关系。真值表中的一行对应于卡诺图中的一个点（亦称一个单元），卡诺图的图形结构具有一定的规律，直接观察图形就可方便地进行逻辑运算。卡诺图化简法例如，某逻辑函数的真值表表示形式如表2.3.6所示，用卡诺图表示则如图2.3.1所示。可以看出真值表中的一行对应于卡诺图的一个方格单元，方格单元内所填的值为该行逻辑函数的值。将真值表变换为卡诺图一般可以分两步进行。（1）将输入变量分为两组。如果是3变量，则N为一组，BC为另一组；如果是4变量，则Z8为一组，CZ）为另一组。每组变量的取值组合必须按照循环码的规律排序。所谓循环码，指的是相邻两组变量的取值组合中，只能有一个变量的取值不同。如两变量输入时，取值组合有4种，列真值表时可以按照00,01,10,11的顺序排列，但在卡诺图中不能按照这种顺序，因为它不符合循环码相邻两组之间只有一个变量取值不同的规则，强调相邻性还包括头尾两组。因此按照循环码的规则正确排列两变量的取值组合时，应为。这样把输入

变量分两组并按循环码的规则排列后，将真值表转化成方格图的形式。卡诺图化简法（2）从方格图中可以看出，有多少个变量的取值组合，就对应有多少个方格单元，且每个方格单元实际上就相当于真值表中的一行，对应于逻辑函数的一个最小项。因此，为方便逻辑运算可以在每个方格单元中填入对应的最小顼的代号。如图2.3.2与图2.3.3所示为3变量和4变量卡诺图的形式。卡诺图化简法卡诺图化简法分析图2.3.2和图2.3.3中最小项分布规律可以看出，几何位置相邻的最小项在逻辑上也具有相邻性，任何两个相邻的最小项仅有一个变量不同，包括任意一行或一列头尾的最小项也仅有一个变量不同。因此,可以把卡诺图的上下、左右看成一个闭合图形。在变量数大于等于5以后，仅仅用几何图形在两维空间的相邻性来表示逻辑相邻性已经不够了。如图2.3.4所示的5变量最小项卡诺图中，除了几何位置相邻的最小项具有相邻性，以图中双竖线为轴线左右对称位置上的两个最小项也具有逻辑上的对称性。卡诺图化简法2.用卡诺图表示逻辑函数高长调：5级差以上的对比，令人感觉刺激、对比强烈，视觉感快速明了，反差大，形象清晰度高，有积极、活泼、刺激、明快的感觉。高中调：3〜5级差的对比，视觉感明快、活泼，中强度对比，效果明亮。高短调：3级差以内的对比，视觉感优雅，形象对比小，给人优雅、高贵、柔软、朦胧的感觉，在设计中常作为女性色彩。如果逻辑函数表达式是最小项之和的标准式，则只要在卡诺图上找出那些与给定逻辑函数包含的最小项相对应方格单元，然后在这些方格单元中填入1,其余方格单元中填入0,便得到了该逻辑函数的卡诺图。为了叙述方便，我们把填入1的方格单元叫1方格，填入0的方格单元叫0方格。如3变量逻辑函数编号为3、5、6、7的最小项出现在逻辑函数表达式中，卡诺图中相应编号的方格单元填入1,其余方格单元中填入0,便得到该逻辑电数卽卡诺图，如图2.3.5所示。卡诺图化简法3.卡诺图的性质由于卡诺图中变量的取值组合都是按照循环码的规则进行排列的，每两个相邻的组合只有一个書量取值不同，因此卡诺图中具有逻辑相邻性的最小项可以进行合并。根据公式AB+AB=A,如果一个变量分别以原变量与反变量的形式出现在两个与项中，且这两个与项的其余部分相同，那么这两个与项可以合并为一项。相邻的两个最小项，可以合并为一项并消去一个变量。合并后只剩下公共因子。卡诺图化简法卡诺图化简法相邻的4个最小项，可以合并为一项并消去两个变量。合并后只包含公共因子。图2.3.8所示为4个相邻项进行合并的例子。必须注意的是，4个1方格进行合并时，首尾相邻的1方格及4角相邻的1方格不要遗漏，如图2.3.9所示。卡诺图化简法卡诺图化简法根据上述最小项的性质，可以归纳出合并最小项的一般规则：在一个n输入变量的卡诺图中，若一个合并圈中存在2i个具有相邻性的最小项，则这些相邻的最小项可以合并为一项,并消去i个变量，只留下由（n-i）个没有发生0、1变化的变量所构成的乘积项。相邻的8个最小项，可以合并为一项并消去3个变量。合并后只包含公共因子。图2.3.10列出了8个相邻项进行合并的例子。必须注意不要遗漏首尾相邻的1方格。4.利用卡诺图化简逻辑函数为了更好地理解利用卡诺图化简逻辑函数的方法，首先简要介绍几个基本概念。卡诺图化简法卡诺图化简法利用卡诺图化简逻辑函数的步骤如下。第一步：将逻辑函数变换为最小项之和的形式。第二步：画岀表示该逻辑函数的卡诺图。第三步：找出可以合并的最小项并画出合并圈。第四步：写出最简的与或表达式。卡诺图化简法例2.3.12化简逻辑函数解：①由于逻辑函数已给出最小项之和的标准形式，故第一步可省略。②画出表示该逻辑函数的卡诺图，如图2.3.13(a)所示。③找出可以合并的最小项(1方格)，并画出合并圈，如图2.3.13(b)所示。④合并最小项，并把每个合并圈对应的与项加起来，得出最简与或表达式。卡诺图化简法可以看出，在利用卡诺图化简逻辑函数时，关键在于画合并圈。合并圈画得不同，逻辑函数的表达式也不相同。因此画合并圈时应注意以下几点：①首先要找岀孤立的1方格并画圈。②合并圈的范围越大越好，但必须包含2i(i=0,1,2,3,…)个1方格，这样能消去的变量就越多。③合并圈的个数越少越好，因为合并圈的个数与化简结果中乘积项的个数相对应，圈数越少意味着与或表达式中的与项越少。④每个合并圈中至少要包含一个其他合并圈中没有包含的1方格,这样才能保证这个合并圈不是多余的。卡诺图化简法⑤卡诺图中所有的1方格至少要被圈一次，不能有漏圈的1方格。这样，把每个合并圈相对应的与项“加”起来，就可得到最简的与或表达式。同理，只要合并圈改为针对卡诺图中的0方格进行，找出可合并的最大项，就可得到逻辑函数的最简或与表达式。合并最大项的规律与合并最小项的规律基本一致。不同之处在于，合并最大项时必须找出0方格的相邻性。每个合并圈可由2i(i=0,1,2,3,…)个。方格构成，每个合并圈对应于一个或项，该或项由圈内取值不变的变量相或来构成，其中取值为0的对应原变量，取值为1的对应反变量。然后将每个合并圈对应的或项进行相与，便可得到最简的或与表达式。卡诺图化简法卡诺图化简法④合并最大项，把每个合并圈对应的或项相乘，得到最简或与表达式5.具有无关项的逻辑函数及其化简(1)约束项、任意项及无关项在某些实际应用中，逻辑函数的输入变量取值不是任意的，如用3个输入逻辑变量A,B,C分别表示一台电动机的正转、反转、停止，A=1表示电动机正转，B=1表示电动机反转，C=1表示电动机停止。而实际应用中，电动机只能执行其中的一个命令，不可能允许两个以上的变量同时为1。故48C的取值只能为001,010,100当中的一种，不可能是000,011,101,110,111中的任何一种，也就是说对这3个输入变量的取值加上了限制条件。这种对输入变量所加的限制就称为约束。通常可以用约束条件来描述约束的内容。如上述所举实例，其约束条件可以表示为卡诺图化简法同时把这些恒等于0的最小项称为约束项。任意项是指逻辑函数在输入变量的某些取值组合时其输出值不确定，或者说输出可以为任意值(1或0),但是对电路的功能并不影响，若用最小项表示这些取值组合，那么这些最小项便称为任意项。一般来说，任意项与约束项又统称为无关项，在逻辑表达式中用刁表示，在卡诺图中用X表示，应用卡诺图化简逻辑函数时X既可以是1,也可以作为0来处理。(2)无关项在化简逻辑函数中的应用在化简具有无关项的逻辑函数时，无关项作为0方格还是作为1方格处理，前提是有利于逻辑函数的化简及得到最简结果。为了达到这个目的，应使加入的无关项能与逻辑函数表达式中尽可能多的最小项具有逻辑相邻性，同时使最小项合并圈的数目最少，而合并圈中包含的相邻最小项的数目最多。卡诺图化简法卡诺图化简法谢谢观看第3章逻辑门电路数字电子技术(第2版）01概述PARTONE实现基本逻辑运算和常用逻辑运算的单元电路通称为逻辑门电路，如实现“与”运算的电子电路称为与逻辑门，简称与门。常用的逻辑门电路有与门、或门、非门、与非门、或非门、与或非门、异或门等。逻辑门电路是设计数字电路系统的最小单元。根据制造工艺的不同，逻辑门电路有两大类，一类是以晶体管为主要元件的双极型逻辑门电路，常见的双极型门电路有：①TTL门电路——晶体管-晶体管逻辑门电路；②ECL门电路一射极耦合逻辑门电路；③HTL门电路——高阈值逻辑门电路；④I2L门电路——集成注入逻辑门电路。另一类是以MOS场效应管为主要元件的MOS型逻辑门电路，常见的MOS型门电路有：①PMOS门电路；②NMOS门电路；③CMOS门电路。另外，根据门电路输出端结构的不同，又可分为基本输出门电路，开路输出门电路（0C门、0D门），三态门电路（TS门）。基本输岀门电路可以完成基本的逻辑功能；开路输出门电路不仅可实现基本的逻辑功能，还能实现逻辑电平之间的转换，提高负载驱动能力；三态门电路可实现基本逻辑功能，并在输出的高、低两种电平的基础上增加了另一个状态——高阻状态，可用于数字系统中的总线连接。常用的逻辑门电路一般制作在集成电路芯片上，集成电路按集成密度的不同，可分为小规模集成电路（SSLSmallScaleIntegration）,中规模集成电路（MSI,MiddleScaleIntegration）,大规模集成电路（LSI,LargeScaleIntegration）和超大规模集成电路（VLSLVeryLargeScaleIntegration）。中小规模数字集成电路（SSI和MSI）器件，是工程应用中实现数字系统的基本器件。随着大规模（LSI）和超大规模集成电路（VLSI）的发展，可编程