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文档简介

AD~AFAD*AC_AD~AFAD*AC_BD*DCaB ~CFADAF调和点列研究图形在射影变换下不变性的一个几何学分支。射影几何学产生的最初动力，来自为了帮助绘画而对透视进行的研究。在17世纪，G.德扎格和B.帕斯卡建立了射影几何学中著名的定理。后来在19世纪，又经过J.V.彭赛列、J•施泰纳、K.G.C.von施陶特、A.F.麦比乌斯、A•凯莱等几何学家的工作，使射影几何学得到蓬勃的发展，达到鼎盛的时期。定义：直线上依次四点A、B、C、D满足兰=丝，则称A、B、C、DBCDC四点构成调和点列。其中A、C和B、D称为调和共轭。性质仁如图，A为圆0外一点，AB、AC为圆0的切线，ADEF截圆0与D、F,交BC与点E则A、D、E、F四点调和ADAF证明：A、D、E、F四点调和o-=旋吊DESa BD*CD*sinZBDCBDCDFESa BF*FC*sinZBFCBFFCBFC故①成立。得证！C推广：如图，椭圆外一点A关于椭圆的两条切线的切点所在的直线为BC（此直线也叫极线），过A的任意一条直线ADEF截椭圆

C于D、F,交BC与E则A、D、E、F成调和点列证明：暂略性质2:A、B、C、D调和o—+」—=-^―ABCDABCDab而112112be+ 一 o+—-o一—证明：ABADACaa+b+ca+b a(a+b)(a+b)(a+b+c)be aa+b+c—== aa+b+ebe即证。推论：已知A、B、C、D四点调和，O为A、C中点，则OA2=OB-OD.反过来也成立，若A、B、C、D四点共线，O为A、C中点，且OA2=OB-OD，则A、B、C、D四点调和。性质3:若A、B、C、D成调和点列，且平面上有点M满足AM丄MC则必有MC平分ZBMD,MA外角平分ZBMD.这是调和点列应用中相当重要的一个性质。

证明：反证法。反设MC不平分ZBMD，作MC'平分角ZBMD交BD与C',MA'外角平分角ZBMD交DB延长线与A'，则MC'丄MA'BC'BC'_BMC'D~~MDBA'_BMAD_MDA'DC'D由A、BC、D成调和点列知C_AD注意到竺>BCoC'DCDBC'>BDBCBD成立BA'ADBA<oADBA'<BDBABD成立与

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