抛物线的简单几何性质课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第3

章圆锥曲线的方程3.3.2抛物线的简单几何性质1.掌握抛物线的几何性质．(重点)2.掌握直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题．(重点)3.能利用方程及数形结合思想解决焦点弦、弦中点等问题．(难点)学习目标一、回顾与探究抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.即:当|MF|=d时(d为M到l的距离)点M的轨迹是抛物线

定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线抛物线的标准方程：建立如图所示的平面直角坐标系，可得抛物线的一种形式的标准方程y2=2px(p>0).抛物线的四种不同标准方程图像

标准方程焦点坐标准线方程一、回顾与探究由抛物线y2=2px(p>0)如何研究抛物线y2=2px(p>0)的几何性质?1.范围：二、抛物线的几何性质2.对称性：若点(x,y)在抛物线上,即满足y2=2px，则(-y)2=2px,即点(x,-y)也在抛物线上,故抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称.而点(x,-y)与点（x,y）关于x轴对称,定义：抛物线与它的轴的交点叫做抛物线的顶点.∴y2=2px(p>0)中，令y=0，则x=0.即抛物线y2=2px(p>0)的顶点(0,0).3.顶点：二、抛物线的几何性质4.离心率：由定义知,抛物线y2=2px(p>0)的离心率为e=1.连接抛物线任意一点与焦点的线段叫做抛物线的焦半径.焦半径公式：5.焦半径：二、抛物线的几何性质6.焦点弦：过抛物线的焦点的弦，叫做抛物线的焦点弦.焦点弦公式：利用抛物线的顶点、通径的两个端点可较准确画出反映抛物线基本特征的草图.|AB|=2p2p越大，抛物线张口越大7.通径：二、抛物线的几何性质判断下列命题是否正确：×

×

√

√

√

方程图形范围对称性顶点焦半径焦点弦

通径y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2pylFyxOlFyxOlFyxOx≥0,y∈Rx≤0,y∈Rx∈R,y≥0x∈R,y≤0lFyxO关于x轴对称关于y轴对称

(0,0)抛物线的简单几何性质二、抛物线的几何性质二、抛物线的几何性质直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相交、相切和相离．设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)位置关系判定方法：方程法联立：列式：消元：k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.交于1点交于2点切于1点0个公共点三、题型与方法题型一

抛物线性质的应用把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准二次项是x还是y，一次项的系数是正还是负．(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴．(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.三、题型与方法题型一

抛物线性质的应用[跟踪训练]1已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；[跟踪训练]1已知抛物线y2＝8x.(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长．三、题型与方法题型一

抛物线性质的应用三、题型与方法题型二直线与抛物线的位置关系例2.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．三、题型与方法题型二直线与抛物线的位置关系例2.已知直线l：y＝kx＋1，抛物线C：y2＝4x，当k为何值时，l与C：只有一个公共点；有两个公共点；没有公共点．直线与抛物线交点问题的解题思路(1)判断直线与抛物线的交点个数步骤：“联立、消元、列式”，利用判别式判断方程解的个数．(2)直线与抛物线有一个公共点时有两种情形：①直线与抛物线的对称轴重合或平行；

②直线与抛物线相切．三、题型与方法题型二直线与抛物线的位置关系[跟踪训练]2若抛物线y2＝4x与直线y＝x－4相交于不同的两点A，B，求证OA⊥OB.三、题型与方法题型三

中点弦及弦长公式

例3.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，

求焦点弦AB的长．

解法1：抛物线的焦点F(1,0),直线AB：y=x-1三、题型与方法题型三

中点弦及弦长公式

例3.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，

求焦点弦AB的长．三、题型与方法题型三

中点弦及弦长公式

例3.斜率为1的直线经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，

求焦点弦AB的长．三、题型与方法题型三

中点弦及弦长公式弦长计算的基本方法：（1）求交点坐标，利用距离公式求解（适合交点坐标易于计算的类型，如直线过原点，直线过抛物线上一定点等）（2）交点坐标“设而不求”：“联立、消元、列式”结合韦达定理，判别式及弦长公式求解；此法为常用方法，特别适合含参数的弦长问题。（3）焦半径公式、焦点弦长公式：适合直线过抛物线的焦点时弦长的计算。中点弦问题：（1）中点弦问题求解方法：“设而不求”、“点差法”；优先考虑使用“点差法”。（2）抛物线“斜率为k的平行弦的中点的轨迹是含于抛物线内平行于抛物线的对称轴的一条射线”。三、题型与方法题型三

中点弦及弦长公式[跟踪训练]3过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．三、题型与方法题型三

中点弦及弦长公式[跟踪训练]3过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用例4.求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用例4.求抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0的最小距离．三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用例5经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.思路：证明点D的纵坐标与点B的纵坐标相等即可.证明：如图，以抛物线的对称轴为x轴，顶点为原点，建立平面直角坐标系xoy,设抛物线的方程为y2=2px(p>0)①三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用例5经过抛物线焦点F的直线交抛物线于A,B两点，经过点A和抛物线顶点的直线交抛物线的准线于点D，求证：直线DB平行于抛物线的对称轴.当y02=p2时，易知结论成立。所以，直线DB平行于抛物线的对称轴．三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用例6.如图，已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点P(2,0)的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，直线AF，BF分别与抛物线交于点M，N.(1)求y1y2的值；解：（1）依题意，设AB的方程为x＝my＋2，代入y2＝4x，得y2－4my－8＝0，从而y1y2＝－8.证明:（2）设M(x3，y3)，N(x4，y4)，三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用证明:（2）设M(x3，y3)，N(x4，y4)，设直线AM的方程为x＝ny＋1，代入y2＝4x，消去x得y2－4ny－4＝0，所以y1y3＝－4，同理y2y4＝－4，三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用定值与定点问题的求解策略1.欲证某个量为定值,先将该量用某变量表示,通过变形化简若能消掉此变量,即证得结论,所得结果即为定值.2.寻求一条直线经过某个定点的常用方法:(1)通过方程判断;(2)对参数取几个特殊值探求定点,再证明此点在直线上;(3)利用曲线的性质(如对称性等),令其中一个变量为定值,再求出另一个变量为定值;(4)转化为三点共线的斜率相等或向量平行等.三、题型与方法题型四

抛物线的综合应用[跟踪训练]4如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．三、题型