第十二章概率与统计

高考数学

(天津专用)§12.4统计A组自主命题·天津卷题组五年高考1.(2014天津理,9,5分)某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向,拟采用分层

抽样的方法,从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一年

级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4∶5∶5∶6,则应从一年级本科生中抽取

名学生.答案60解析300×

=300×

=60(名).2.(2012天津理,9,5分)某地区有小学150所,中学75所,大学25所.现采用分层抽样的方法从这些

学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取

所学校,中学中抽取

所学校.答案18;9解析应从小学中抽取

×30=18所.应从中学中抽取

×30=9所.3.(2011天津理,9,5分)一支田径队有男运动员48人,女运动员36人,若用分层抽样的方法从该队

的全体运动员中抽取一个容量为21的样本,则抽取男运动员的人数为

.答案12解析由题意得所求人数为48×

=12.4.(2010天津理,11,4分)甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图,中间一列

的数字表示零件个数的十位数,两边的数字表示零件个数的个位数.则这10天甲、乙两人日加

工零件的平均数分别为

和

.甲

乙

981971

0132021424

1153020

答案24;23解析

=

×(19+18+20+21+23+22+20+31+31+35)=24,

=

×(19+17+11+21+24+22+24+30+32+30)=23.评析

本题考查了用茎叶图表示数据的方法,属容易题.B组统一命题、省(区、市)卷题组考点一随机抽样1.(2019课标Ⅱ理,5,5分)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分,评定该选手的成绩

时,从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分,得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评

分相比,不变的数字特征是

()A.中位数

B.平均数

C.方差

D.极差答案

A本题考查样本数字特征的基本概念;以演讲比赛的评分为背景考查学生的数据处

理能力;充分考查了数据分析的核心素养.根据中位数特征可知,去掉最高分和最低分后,只有中位数一定不会变化.故选A.易错警示学生对中位数、平均数、方差、极差的概念理解不清,从而导致出错.2.(2015北京文,4,5分)某校老年、中年和青年教师的人数见下表.采用分层抽样的方法调查教

师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本中的老年教师人数为

()A.90

B.100

C.180

D.300类别人数老年教师900中年教师1800青年教师1600合计4300答案

C本题考查分层抽样,根据样本中的青年教师有320人,且青年教师与老年教师人数的

比为1600∶900=16∶9,可以得到样本中的老年教师的人数为

×320=180,故选C.3.(2018课标Ⅲ文改编,14,5分)某公司有大量客户,且不同年龄段客户对其服务的评价有较大差

异.为了解客户的评价,该公司准备进行抽样调查,可供选择的抽样方法有简单随机抽样和分层

抽样,则比较合适的抽样方法是

.答案分层抽样解析本题考查抽样方法.因为不同年龄段客户对其服务的评价有较大差异,所以根据两种抽样方法的特点可知比较合

适的抽样方法是分层抽样.4.(2017江苏,3,5分)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,

100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应

从丙种型号的产品中抽取

件.答案18解析本题考查分层抽样法及用样本估计总体.从丙种型号的产品中抽取的件数为60×

=18.考点二用样本估计总体1.(2019课标Ⅲ理,3,5分)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学

瑰宝,并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了

100位学生,其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位,阅读过《红楼梦》的学生

共有80位,阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位,则该校阅读过《西游记》

的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

()A.0.5

B.0.6

C.0.7

D.0.8答案

C

本题主要考查用样本估计总体;考查学生对实际问题的处理能力和数据分析能力;

考查了数据分析的核心素养.在样本中,仅阅读过《西游记》的学生人数为90-80=10,又由既阅读过《西游记》又阅读过

《红楼梦》的学生人数为60,得阅读过《西游记》的学生人数为10+60=70,所以在样本中,阅

读过《西游记》的学生人数所占的比例为

=0.7,即为该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值.解题关键在样本中,由阅读过《西游记》或阅读过《红楼梦》的学生人数为90,阅读过《红

楼梦》的学生有80位,可得仅阅读过《西游记》的学生有10位是解决本题的关键.2.(2018课标Ⅰ理,3,5分)某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.

为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收

入构成比例,得到如下饼图:

则下面结论中不正确的是

()A.新农村建设后,种植收入减少B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半答案

A设建设前经济收入为a,则建设后经济收入为2a,由题图可知根据上表可知B、C、D中的结论均正确,结论A不正确,故选A.

种植收入第三产业收入养殖收入其他收入建设前经济收入0.6a0.06a0.3a0.04a建设后经济收入0.74a0.56a0.6a0.1a3.(2017课标Ⅲ文,3,5分)某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量,收集并整理了

2014年1月至2016年12月期间月接待游客量(单位:万人)的数据,绘制了下面的折线图.

根据该折线图,下列结论错误的是

()A.月接待游客量逐月增加B.年接待游客量逐年增加C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D.各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月,波动性更小,变化比较平稳答案

A观察2014年的折线图,发现从8月至9月,以及10月开始的三个月接待游客量都是

减少的,故A选项是错误的.4.(2017课标Ⅰ文,2,5分)为评估一种农作物的种植效果,选了n块地作试验田.这n块地的亩产量

(单位:kg)分别为x1,x2,…,xn,下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

()A.x1,x2,…,xn的平均数

B.x1,x2,…,xn的标准差C.x1,x2,…,xn的最大值

D.x1,x2,…,xn的中位数答案

B本题考查样本的数字特征.统计问题中,体现数据的稳定程度的指标为数据的方差或标准差.故选B.方法总结样本的平均数体现的是样本数据的平均水平,样本的方差和标准差体现的是样本

数据的稳定性.5.(2016山东文,3,5分)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位:小时),制成了如图所示的

频率分布直方图,其中自习时间的范围是[17.5,30],样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,2

5),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图,这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是(

)

A.56

B.60

C.120

D.140答案

D由频率分布直方图知200名学生每周的自习时间不少于22.5小时的频率为1-(0.02+

0.10)×2.5=0.7,则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为200×0.7=140,故

选D.6.(2015课标Ⅱ文,3,5分)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)

柱形图,以下结论中不正确的是()

A.逐年比较,2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关答案

D由柱形图可知:A、B、C均正确,2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势,所

以排放量与年份负相关,∴D不正确.7.(2019课标Ⅱ文,14,5分)我国高铁发展迅速,技术先进.经统计,在经停某站的高铁列车中,有10

个车次的正点率为0.97,有20个车次的正点率为0.98,有10个车次的正点率为0.99,则经停该站

高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为

.答案0.98解析考查用频率估计概率和运算求解能力;考查的核心素养为数学抽象和数学运算.设经停该站高铁列车所有车次中正点率为0.97的事件为A,正点率为0.98的事件为B,正点率为

0.99的事件为C,则用频率估计概率有P(A)=

=

,P(B)=

=

,P(C)=

=

,所以经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为0.97×

+0.98×

+0.99×

=0.98.8.(2019江苏,5,5分)已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是

.答案

解析本题主要考查样本的数字特征,考查学生数据处理能力,考查的核心素养是数据分析、

数学运算.∵

=

=8,∴s2=

×[(6-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(10-8)2]=

.解题关键

数据x1,x2,…,xn的平均数为

=

,方差为s2=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(xn-

)2],准确记忆公式是解题关键.9.(2018江苏,3,5分)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打

出的分数的平均数为

.答案90解析本题考查茎叶图、平均数.由茎叶图,知5位裁判打出的分数分别为89,89,90,91,91,则这5位裁判打出的分数的平均数为

×(89+89+90+91+91)=90.10.(2016江苏,4,5分)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5,则该组数据的方差是

.答案0.1解析

=

=5.1,则该组数据的方差s2=

=0.1.11.(2019课标Ⅲ理,17,12分)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度,进行如下试验:将2

00只小鼠随机分成A,B两组,每组100只,其中A组小鼠给服甲离子溶液,B组小鼠给服乙离子溶

液.每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同.经过一段时间后用某种科学方法测算出残

留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图:

记C为事件:“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”,根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a,b的值;(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表).解析本题主要考查频率分布直方图的含义,以及用频率分布直方图估计样本的数字特征,通

过实际问题的应用考查学生的运算求解能力,考查了数学运算的核心素养,体现了应用意识.(1)由已知得0.70=a+0.20+0.15,故a=0.35.b=1-0.05-0.15-0.70=0.10.(2)甲离子残留百分比的平均值的估计值为2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05.乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00.方法总结由频率分布直方图估计样本的数字特征:(xi表示第i个小矩形底边中点的横坐标,Si表示第i个小矩形的面积)①平均数

=x1S1+x2S2+…+xiSi+…+xnSn;②方差s2=(x1-

)2S1+(x2-

)2S2+…+(xn-

)2Sn;③中位数:从左到右(或从右到左)小矩形面积之和等于0.5时的横坐标;④众数:最高小矩形底边中点的横坐标.12.(2018课标Ⅰ文,19,12分)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位:m3)和使

用了节水龙头50天的日用水量数据,得到频数分布表如下:未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)[0.6,0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量[0,0.1)[0.1,0.2)[0.2,0.3)[0.3,0.4)[0.4,0.5)[0.5,0.6)频数151310165(1)作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图;

(2)估计该家庭使用节水龙头后,日用水量小于0.35m3的概率;(3)估计该家庭使用节水龙头后,一年能节省多少水.(一年按365天计算,同一组中的数据以这组

数据所在区间中点的值作代表)解析(1)

(2)根据以上数据,该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m3的频率为0.2×0.1+1×0.1+2.

6×0.1+2×0.05=0.48,因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为

=

×(0.05×1+0.15×3+0.25×2+0.35×4+0.45×9+0.55×26+0.65×5)=0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为

=

×(0.05×1+0.15×5+0.25×13+0.35×10+0.45×16+0.55×5)=0.35.估计使用节水龙头后,一年可节省水(0.48-0.35)×365=47.45(m3).易错警示利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时,应注意:(1)最高的小长方形下底边中点的横坐标即是众数;(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的;(3)平均数是频率分布直方图的“重心”,等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘小长

方形下底边中点的横坐标之和.13.(2017北京文,17,13分)某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使

用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,4

0),…,[80,90],并整理得到如下频率分布直方图:

(1)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率;(2)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数;(3)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计

总体中男生和女生人数的比例.解析(1)根据频率分布直方图可知,样本中分数不小于70的频率为(0.02+0.04)×10=0.6,所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4.所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=0.9,分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×

=20.(3)由题意可知,样本中分数不小于70的学生人数为(0.02+0.04)×10×100=60,所以样本中分数不小于70的男生人数为60×

=30.所以样本中的男生人数为30×2=60,女生人数为100-60=40,男生和女生人数的比例为60∶40=

3∶2.所以根据分层抽样原理,总体中男生和女生人数的比例估计为3∶2.14.(2015福建文,18,12分)全网传播的融合指数是衡量电视媒体在中国网民中影响力的综合指

标.根据相关报道提供的全网传播2015年某全国性大型活动的“省级卫视新闻台”融合指数

的数据,对名列前20名的“省级卫视新闻台”的融合指数进行分组统计,结果如表所示.组号分组频数1[4,5)22[5,6)83[6,7)74[7,8]3(1)现从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家进行调研,求至少有1

家的融合指数在[7,8]内的概率;(2)根据分组统计表求这20家“省级卫视新闻台”的融合指数的平均数.解析(1)融合指数在[7,8]内的“省级卫视新闻台”记为A1,A2,A3;融合指数在[4,5)内的“省级

卫视新闻台”记为B1,B2.从融合指数在[4,5)和[7,8]内的“省级卫视新闻台”中随机抽取2家的

所有基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},

共10个.其中,至少有1家融合指数在[7,8]内的基本事件是{A1,A2},{A1,A3},{A2,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,B

1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},共9个.所以所求的概率P=

.(2)这20家“省级卫视新闻台”的融合指数平均数等于4.5×

+5.5×

+6.5×

+7.5×

=6.05.评析

本题主要考查古典概型、频数分布表、平均数等基础知识,考查数据处理能力、运算

求解能力、应用意识等.C组教师专用题组考点一随机抽样1.(2014重庆文,3,5分)某中学有高中生3500人,初中生1500人.为了解学生的学习情况,用分层

抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n的样本,已知从高中生中抽取70人,则n为

()A.100

B.150

C.200

D.250答案

A由分层抽样的特点可知

=

,解得n=100.2.(2015福建文,13,4分)某校高一年级有900名学生,其中女生400名.按男女比例用分层抽样的

方法,从该年级学生中抽取一个容量为45的样本,则应抽取的男生人数为

.答案25解析男生人数为900-400=500.设应抽取男生x人,则由

=

得x=25.即应抽取男生25人.3.(2014上海文,5)某校高一、高二、高三分别有学生1600名、1200名、800名,为了解该校高

中学生的牙齿的健康状况,按各年级的学生数进行分层抽样,若高三抽取20名学生,则高一,高

二共抽取的学生数为

.解析∵高一、高二、高三分别有学生1600名,1200名,800名,∴若高三抽取20名学生,设共需抽取的学生数为x,则

=

,解得x=90,则高一、高二共需抽取的学生数为90-20=70,故答案为70.评析

本题主要考查分层抽样的应用,比较基础.考点二用样本估计总体1.(2014陕西,9,5分)某公司10位员工的月工资(单位:元)为x1,x2,…,x10,其均值和方差分别为 和s2,若从下月起每位员工的月工资增加100元,则这10位员工下月工资的均值和方差分别为 (

)A. ,s2

B. +100,s2C. ,s2

D. +100,s2答案

D设增加工资后10位员工下月工资的均值为

',方差为s'2,则

'=

[(x1+100)+(x2+100)+…+(x10+100)]=

(x1+x2+…+x10)+100=

+100;方差s'2=

[(x1+100-

')2+(x2+100-

')2+…+(x10+100-

')2]=

[(x1-

)2+(x2-

)2+…+(x10-

)2]=s2.故选D.2.(2015广东文,12,5分)已知样本数据x1,x2,…,xn的均值

=5,则样本数据2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值为

.答案11解析依题意有

=

=5,则2x1+1,2x2+1,…,2xn+1的均值为

=2

+1=11.3.(2015江苏,2)已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为

.答案6解析数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为

=6.4.(2016北京文,17,13分)某市居民用水拟实行阶梯水价.每人月用水量中不超过w立方米的部分

按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10000位居民,

获得了他们某月的用水量数据,整理得到频率分布直方图如图:

(1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少

定为多少?(2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替.当w=3时,估计该市居民该月的人均水

费.解析(1)由用水量的频率分布直方图知,该市居民该月用水量在区间[0.5,1],(1,1.5],(1.5,2],(2,2.5],(2.5,3]内的频率依次为0.1,0.15,0.2,0.2

5,0.15.所以该月用水量不超过3立方米的居民占85%,用水量不超过2立方米的居民占45%.依题意,可得w至少定为3.(2)由用水量的频率分布直方图及题意,得居民该月用水费用的数据分组与频率分布表:组号12345678分组[2,4](4,6](6,8](8,10](10,12](12,17](17,22](22,27]频率0.10.150.20.250.150.050.050.05该市居民该月的人均水费估计为4×0.1+6×0.15+8×0.2+10×0.25+12×0.15+17×0.05+22×0.05+27×0.05=10.5(元).思路分析第(1)问,需要计算该市居民月用水量在各区间内的频率,根据样本的频率分布直方

图即可获解.第(2)问,由月用水量的频率分布直方图和w=3可得居民该月用水费用的数据分组与频率分布

表,由此可估计该市居民该月的人均水费.难点突破第(2)问本质上是考查加权平均数的概念,这个权重就是频率,所以结合第(1)问和

加权平均数的概念,就可以算出人均水费.评析

本题考查了频率分布直方图及用样本估计总体,属于中档题.5.(2016四川,16,12分)我国是世界上严重缺水的国家,某市为了制订合理的节水方案,对居民用

水情况进行了调查.通过抽样,获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位:吨),将数据按照

[0,0.5),[0.5,1),…,[4,4.5]分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中a的值;(2)设该市有30万居民,估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数,说明理由;(3)估计居民月均用水量的中位数.

解析(1)由频率分布直方图,可知:月均用水量在[0,0.5)的频率为0.08×0.5=0.04.同理,在[0.5,1),[1.5,2),[2,2.5),[3,3.5),[3.5,4),[4,4.5]等组的频率分别为0.08,0.21,0.25,0.06,0.04,0.0

2.由1-(0.04+0.08+0.21+0.25+0.06+0.04+0.02)=0.5×a+0.5×a,解得a=0.30.(2)由(1),100位居民月均用水量不低于3吨的频率为0.06+0.04+0.02=0.12,由以上样本的频率分布,可以估计30万居民中月均用水量不低于3吨的人数为300000×0.12=3

6000.(3)设中位数为x吨.因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21+0.25=0.73>0.5,而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.21=0.48<0.5,所以2≤x<2.5.由0.50×(x-2)=0.5-0.48,解得x=2.04.故可估计居民月均用水量的中位数为2.04吨.思路分析(1)通过各组频率之和为1,求出a的值.(2)利用样本的频率来估计总体的数字特征.评析

本题考查了样本数据的数字特征,及利用样本的数字特征估计总体的数字特征,同时考

查了学生的运算能力.考点一随机抽样三年模拟A组2017—2019年高考模拟·考点基础题组1.(2017天津耀华中学第二次月考,2)某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品,数量分别

为600件、400件、300件,用分层抽样方法抽取容量为n的样本,若从丙车间抽取6件,则n的值为

()A.18

B.20

C.24

D.26答案

D由分层抽样的特征得

=

,解得n=26,故选D.评析

本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例关系式是解决本题的关键,比较基础.2.(2019天津武清期中)某校高一年级有600个学生,高二年级有550个学生,高三年级有650个学

生,为调查学生的视力情况,用分层抽样的方法抽取一个样本,若在高二、高三共抽取了48个学

生,则应在高一年级抽取

个学生.答案24解析设应在高一年级抽取n个学生,则有

=

,解得n=24,∴应在高一年级抽取24个学生.3.(2018天津南开中学模拟)随机抽取100名年龄在[10,20),[20,30),…,[50,60)年龄段的市民进行

问卷调查,由此得到样本的频率分布直方图如图所示,从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样

的方法随机抽取8人,则在[50,60)年龄段抽取的人数为

.

答案2解析根据题中的频率分布直方图得样本中不小于40岁的人的频率是0.015×10+0.005×10=0.

2,∴不小于40岁的人的频数是100×0.2=20.从不小于40岁的人中按年龄段分层抽样的方法随机抽取8人,在[50,60)年龄段抽取的人数为8×

=8×

=2.评析

本题考查了频率分布直方图的应用问题,也考查了分层抽样方法的应用问题,是基础题.考点二用样本估计总体1.(2019天津部分区一模理)我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收

粮,有人送来米1536石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得256粒内夹谷18粒,则这批米内夹谷

约为

()A.108石

B.169石

C.237石

D.338石答案

A由题意可知,这批米内夹谷约为1536×

=108(石).故选A.2.(2019天津河西期末理)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测

试中的成绩(单位:分),已知甲组数据的中位数为15,乙组数据的平均数为16.8,则x,y的值分别为

.

答案5,8解析∵甲组数据的中位数为15,∴x=5;∵乙组数据的平均数为16.8,∴

=16.8,解得y=8.∴x,y的值分别为5,8.评析

本题考查了利用茎叶图求数据的中位数与平均数的问题,是基础题.3.(2018天津南开模拟,9)某中学为了解学生的数学学习情况,在3000名学生中随机抽取200名,

并统计这200名学生的某次数学考试成绩,得到样本的频率分布直方图(如图),根据频率分布直

方图,推测这3000名学生在该次数学考试中成绩低于60分的学生人数是

.

答案600解析根据频率分布直方图得,在该次数学考试中成绩小于60分的频率是(0.002+0.006+0.012)

×10=0.20,所以估计在该次数学考试中成绩低于60分的学生人数为3000×0.20=600.4.(2018天津和平质量检测一,16)某校从参加高三区级模拟考试的学生中随机抽取60名,将其

数学成绩(均为整数)分成6段[80,90),[90,100),…,[130,140)后得到相应的频率分布直方图如图,

根据图中的信息,回答下列问题.(1)求分数在[100,110)内的人数;(2)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计本次考试的平均分;(3)用分层抽样的方法在分数[80,100)内的学生中抽取一个容量为6的样本,将该样本看成一个

总体,从中任取2人,求至多有1人分数在[90,100)内的概率.解析(1)根据题中的频率分布直方图知,分数在[100,110)内的频率为0.025×10=0.25,则所求的人数为60×0.25=15.(2)用同一组数据区间的中点值作为代表,得本次考试的平均分

=85×0.15+95×0.30+105×0.25+115×0.15+125×0.10+135×0.05=104.(3)用分层抽样的方法在分数[80,100)内的学生中抽取一个容量为6的样本,则在分数[80,90)内应抽取6×

=2人,记为A、B,在分数[90,100)内应抽取4人,记为c、d、e、f,从这6人中任取2人,基本事件为AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf、cd、ce、cf、de、df、ef,共15种,至多有1人分数在[90,100)内的基本事件是AB、Ac、Ad、Ae、Af、Bc、Bd、Be、Bf,共9种,故所求的概率P=

=

.B组2017—2019年高考模拟·专题综合题组时间:60分钟分值:90分一、填空题(每小题5分,共40分)1.(2019天津河北二模)交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情

况,对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为N,其中甲社

区有驾驶员96人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43,则这四

个社区驾驶员的总人数N为

.答案808解析由题意得,

=

,解得N=808.∴这四个社区驾驶员的总人数为808.2.(2018天津新华中学高考模拟)一所中学有高一、高二、高三共三个年级的学生1600名,其

中高三学生有400名.如果通过分层抽样的方法从全体高中学生中抽取一个容量为80人的样

本,那么应当从高三年级的学生中抽取的人数是

.答案20解析设应当从高三年级的学生中抽取的人数是x,则由分层抽样的定义可得

=

,解得x=20.评析

本题主要考查分层抽样,属于基础题.3.(2018天津南开二模)一个总体分为A,B两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的

样本.已知B层中每个个体被抽到的概率都为

,则总体中的个体数为

.答案160解析设总体中的个体数为n.在分层抽样中每个个体被抽到的概率相同,∴

=

,解得n=160,即总体中的个体数为160.4.(2018天津耀华中学二模)某校共有高一、高二、高三学生1290人,其中高一学生480人,高二

学生比高三学生多30人,为了解该校学生的身体健康情况,现采用分层抽样方法进行调查,在抽

取的样本中高一学生有96人,则该样本中的高三学生人数为

.答案78解析∵高二学生比高三学生多30人,∴设高三学生有x人,则x+x+30+480=1290,解得x=390,故高二学生有420人,高三学生有390人,∵在抽取的样本中高一学生有96人,∴该样本中的高三学生人数为

×390=78.5.(2018天津河西三模)某校有高级教师26人,中级教师104人,其他教师若干人.为了了解该校教

师的工资收入情况,按分层抽样从该校的所有教师中抽取56人进行调查,已知从其他教师中共

抽取了16人,则该校共有教师

人.答案182解析设该校其他教师有x人,则

=

,∴x=52,故全校教师共有26+104+52=182人.6.(2018天津模拟)某学校随机抽取部分新生调查其上学所需时间(单位:分钟),并将所得数据绘

制成频率分布直方图(如图),其中,上学所需时间的范围是[0,100],样本数据分组为[0,20),[20,4

0),[40,60),[60,80),[80,100],则(1)图中的x=

;(2)若上学所需时间不少于1小时的学生可申请在学校住宿,则该校600名新生中估计有

名学生可以申请住宿.

答案(1)0.0125(2)72解析(1)由频率分布直方图知,20x=1-20×(0.025+0.0065+0.003+0.003),解得x=0.0125.(2)上学时间不少于1小时的学生的频率为(0.003+0.003)×20=0.12,因此估计有0.12×600=72名学生可以申请住宿.7.(2017天津和平期末)某校高中共有720人,其中理科生480人,文科生240人,现采用分层抽样的

方法从中抽取90名学生参加调研,则抽取理科生的人数为

.答案60解析由分层抽样的定义得抽取理科生的人数为

×90=60.8.(2017天津南开期末)甲和乙两个城市去年上半年每月的平均气温(单位:℃)用茎叶图记录如

下,根据茎叶图可知,两城市中平均温度较高的城市是

.

答案乙解析由茎叶图知,

=

×(9+13+17+17+18+22)=16,

=

×(12+14+17+20+24+27)=19,∴

<

,∴乙城市的平均气温较高.思路分析由茎叶图中的数据,计算两城市气温的平均值即可.评析

本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数的应用问题,是基础题.二、解答题(共50分)9.(2019天津十二重点中学二模)某社区有居民500人,为了迎接第十一个“全民健身日”的到

来,居委会从中随机抽取了50名居民,统计了他们本月参加户外运动时间(单位:小时)的数据,并

将数据进行整理,分为5组:[10,12),[12,14),[14,16),[16,18),[18,20],得到如图所示的频率分布直

方图.(1)试估计该社区所有居民中,本月户外运动时间不少于16小时的人数;(2)已知这50名居民中恰有2名女性的户外运动时间在[18,20],现从户外运动时间在[18,20]的居

民中随机抽取2人,求至少抽到1名女性的概率.

解析(1)由频率分布直方图可知户外运动不少于16小时的人数的频率为(0.10+0.06)×2=0.32,∵0.32×500=160人,∴本月户外运动时间不少于16小时的人数为160.

(3分)(2)户外运动时间在[18,20]的居民有50×0.06×2=6人,易知6人中有2名女性,4名男性,设四名男性分别表示为A,B,C,D,两名女性分别表示为E,F,

(4分)则从6名居民中随机抽取2人的所有可能结果为{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F},{B,C},{B,D},

{B,E},{B,F},{C,D},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F},共15种.

(9分)设事件M为“至少抽到1名女性”,则M中所含的结果为{A,E},{A,F},{B,E},{B,F},{C,E},{C,F},{D,E},{D,F},{E,F}共9种.

(12分)∴事件M发生的概率为P(M)=

=

.

(13分)10.(2018天津和平二模)在一次有1000名高中生参加的物理、化学、生物三科竞赛中,每人只

能参加其中的一科,各科参赛人数如下表:(1)在所有参赛的学生中,用分层抽样的方法抽取n人,已知从生物学科的参赛者中抽取了6人,

求n的值及从化学学科的参赛者中抽取的人数;(2)在物理学科的参赛者中,用分层抽样的方法抽取6人看作一个总体,从中任意选取2人,求2人

中必有女生的概率.

物理化学生物男生400200100女生2005050解析(1)用分层抽样抽取n人,从生物学科的参赛者中抽取了6人,则

=

,解得n=40,则从化学学科的参赛者中抽取的人数为40×

=10.(2)在物理学科的参赛者中,用分层抽样的方法抽取6人,其中4名男生分别记为A、B、C、D,2名女生分别记为e,f.从这6人中任选2人,基本事件为AB、AC、AD、Ae、Af、BC、BD、Be、Bf、CD、Ce、Cf、De、Df、ef共15种,这2人中必有女生的基本事件为Ae、Af、Be、Bf、Ce、Cf、De、Df、ef共9种,故所求的概率P=

=

.11.(2018天津北辰模拟)树立和践行“绿水青山就是金山银山,坚持人与自然和谐共生”的理

念越来越深入人心,已形成了全民自觉参与,造福百姓的良性循环.据此,某网站推出了关于生

态文明建设进展情况的调查,现从参与调查的人群中随机选出200人,并将