圆锥曲线焦点三角形问题解题技巧梳理

#/7圆锥曲线焦点三角形问题解题技巧梳理一．技巧内容椭圆双曲线图形珥栩圈上前任尋一点）Fi&周长2a+2cpf」・|pF22b22b21+cose1—cos9SAPF1F2S=b2tan0APF1F22s==b2APFF012tan2离心率e=血©+卩)(0<e<1)sina+sinPe=_sin(a+P)_(e>1)|sina-sinP|sin0We<1二．技巧推导过程i.椭圆中的|pF|pf|吒吋=|pFJ2+|pF2|2-2|pF」|pF2|cos0=(|PF|+|PF|)2-2|PF|PF|-2|PF||PF|cos0=(|PF|+|PF|)2-2|PF||PF|(1+cos0)4c2=4a2一2PFPF|(1+cos0)門Ipf門Ipf2|=4b22(1+cos0)2b21+cos0椭圆中焦点三角形的面积公式SAPF椭圆中焦点三角形的面积公式SAPF1F2=2|PF|PFIsin02b2.o12b2•0070sin0=2smcos=b2tan—21+cos021+2cos20-12222椭圆中的离心率FF1o+PF22PF2+PF2i(1)e=-=?a2a_sin0_sin(a+卩椭圆中的离心率FF1o+PF22PF2+PF2i(1)e=-=?a2a_sin0_sin(a+卩)sina+sin卩sina+sin卩-2|PF||PF|cos0⑵|f—F2|2==(lPFJ+lPF2l)2-2|PFJIPF21-21pF\Ipf2|cos0=(|PF|+|PF|)2-2Ip^IPF|(1+cos0)PFI)2—2(J-2」)2(1+cos0)=(|PF|+|PF|)2[1-1(1+cos0)]122=(|PF|+|PF|)2(2-cos0)(当且仅当|PF|=|PF取=,即P在短轴端点处)>(|PF|+4c2>4a2(—一cos0)艮卩>—一cos0=—一—(1一2sin20)=sin20a222222、.0e>sin24.双曲线中的P^lPFlFF212|PF|2+|PF|2-2|PF||PF|cos0=(Ipf」-Ipf2I)2+2|pfJ|pfJ-2|PFJ|pf2|cos0=(|PF|-|PF1)2+2|PF||PF|(1-cos0)4c2=4a2+2|PF||PFI(1-cos0)...|PF||PF|=空=竺-122(1-cos0)1-cos05.双曲线中焦点三角形的面积公式S:1APF1F2-=2珂笙斷0=2•盘2b2•sin0=—2b20・2sin0cos0=21-(1-2sin21)2b22—0tan_

26.双曲线中的离心率c2ce=aFFl1212a|pFJ-|pF」sin0sina-sin卩||sisin(a+卩)sina-sinP|技巧1焦点三角形的周长【例1】已知点fi,f2分别是椭圆25+罟=1的左、右焦点，点p在此椭圆上，则ApFif2的周长等于()A．20【举一反三】B．16A．20【举一反三】B．16C．18D．14x2y2x2y23若椭圆一+二=1(其中a>b>0)的离心率为7,两焦点分别为F,a2b251F,M为椭圆上一点，且AFFM12的周长为16,则椭圆C的方程为()A．x2y2+=1A．x2y2+=11625B．x2y2+=1259C．x2y2+=1925D．x2y2+=12516x2y2定义：椭圆上一点与两焦点构成的三角形为椭圆的焦点三角形，已知椭圆C:-+二=1(a>b>0)的a2b2焦距为4頁，焦点三角形的周长为4逅+12，则椭圆C的方程是.技巧2焦点三角形的面积【例2-1】已知椭圆C:乂+啟=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F、行，p为椭圆上一点，且PF丄PF，a2b21212若ApF!F,的面积为9,则b=.【例2-2】已知F1、f2为双曲线c:宁-y2=1的左、右焦点，点p在c上，ZF]PF2=6°°，则△PF1F2的面积为【举一反三】1.已知件、f2为双曲线C：x2-y2=1的左、右焦点，点P在C上，ZF1Pf2=600,则|PF1•PF2\=()TOC\o"1-5"\h\zA．2B．4c．6D．82若椭圆—+住=1上一点P与椭圆的两个焦点F、耳的连线互相垂直，贝9"琴,的面积为()36161212A.36B.16C.20D.24X22兀设P为双曲线—-y2=1(a>0)的上一点，/FPF=,(F、F为左、右焦点)，贝PF,a21231212的面积等于()

D.A.、]3a2D.技巧3焦点三角形的离心率FF2，P是C上的点，PF2F2，【例3-1】设椭圆C:FF2，P是C上的点，PF2F2，ZPF1F2=30，则C的离心率为（）A.邑B.1C丄632【例3-2】已知FF2分别是椭圆一+1=1（a〉b〉0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使12a2b2ZF!PF2=90，则椭圆的离心率e的取值范围为（）A.(0,B.,1)C.(0,D.,1)A.(0,B.,1)C.(0,D.,1)举一反三】1•已知点P在以F，f2为左，右焦点的椭圆C:舟+啟=l（b〉0）上，在△肇F中，若上PF’F严，122b2b21212ZPFF2l卩，则ZPFF2l卩，则sin(a+卩)sina+sin卩A.2.记F，F为椭圆C:+y2=1的两个焦点，若C上存在点M满足MF1-MF2=0，则实数m取值范12m12围是（)A.足〔52,+QB.]2，1]u[2,+QC.卜,2卜(1,2]D.g,1ju(1,2]巩固练习x2y21.已知F,F是椭圆=1的两焦点，过点F的直线交椭圆于A,B两点.在△AFB中，若有两边1216921之和是10,则第三边的长度为（）

A．6B．5C．4D．32.设椭圆C：—+啟二1（a〉0,b〉0）的左右焦点分别为Fa2bA．6B．5C．4D．32.设椭圆C：—+啟二1（a〉0,b〉0）的左右焦点分别为Fa2b21F2，离心率为弓卩是°上一点，且F1P丄F2P■若△PF1F2的面积为4,则a=（）A．1B．2C．4D．83•椭圆—+=l（a>b>°）的左、右焦点分别为F，a2b21F2椭圆上的点M满足：ZFMF=60°，且12m已知对任意正实数mn，p，q,有如下结论成立：若一n-，则有一二-qnqmpm+p-声成立，现已知椭圆估+备二1上存在一点P，F1，F2为其焦点，在△?F2中,ZPFF=15。,12zpf2f=75。，则椭圆的离心率为（5•已知椭圆C：49+24=1的左’右焦点分别为F1，F2，若C上的点A到F2的距离为6，则小空的面积为（）A．48B．25C．24D．12A．48B．25C．24D．12x2y26•已知F，F2分别是椭圆乂+二=1（a>b>0）的左、右焦点，若椭圆上存在点P，使得丐-丐=°，12a2b2则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．,1)B・(0,爭A．,1)B・(0,爭C．1722’2D．7•设椭圆兰+学二1（a>b>0）的两焦点为F,F，若椭圆上存在点P，使AFPF=120。，则椭圆的a2b21212离心率e的最小值为（）1A.28•已知点F，F分别是椭圆C和双曲线C的公共焦点，e，e分别是C和C的离心率，点P为C和C的一1212121个公共点，且ZFPF二甲，若e2丿，则e的取值范围是（1232B．D．（逅2运）B．D．9•设F],f2是双曲线x2-24二1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3=4\pf2\，则的面积等于（）C．24D.48C．24D.4810•设10•设F、f2分别为双曲线乂-二二1（a>0,b>0）的左、右焦点,双曲线上存在一点P使得PF+PF4A3=3b，9門・IPFJ二-ab,5BPF+PF4A3=3b，9門・IPFJ二-ab,5B3则该双曲线的离心率为（C.D.x2y211*已知点卩是双曲线g-T二1上一点，Jf2分别为双曲线的左右焦点，若pf2的外接圆半径为4，且/件PF2为锐角，则|PF1〔・|PF=A.15B.16C.18D.2012・设F1,F2分别是双曲线X2专=1的左右焦点•若点P在双曲线上，且丐-丐=0，则宵+码等12D.2^10D.2^10A.2\；213•已知双曲线E:乂-琴二1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为F，F，点m在双曲线E的右a2b212支上，若平MF2e+，牛，则MF-MF的取值范围是（）12L4312A.[T2b2,2b2b.〔2b2,2（V2+1）b2]C.[（V2-1）b2,b2D.卩2,（血+1）b2]14•已知双曲线C的焦点为耳,f2，点P为双曲线上一点，若\PF21=2|PFj,上P.f2二60。，则双曲线的离心率为（）A.J3B・2C・D・1+'132TOC\o"1-5"\h\zx2y2115•已知F,F是双曲线E：-一1的左，右焦点，点M在E上,MF与x轴垂直，sinZMFF二；,12a2b21213则E的离心率为（）A.^2B.2C・*3D・216•已知F，J是双曲线E：乂-啟=1（a>0,b>0）的左、右焦点，点M在E上，MF与x轴垂直，12a2b21sinZMFF=1，则双曲线E的离心率为（）21