数学人教A版选修2-3课堂探究2.1离散型随机变量及其分布列（第2课时）

课堂探究探究一离散型随机变量的分布列求离散型随机变量的分布列的步骤：(1)找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1,2，…)；(2)求出随机变量ξ的每个取值的概率P(ξ＝xi)＝pi；(3)列出表格．【典型例题1】从装有6个白球，4个黑球和2个黄球的箱中随机地取出两个球，规定每取出1个黑球赢2元，而每取出1个白球输1元，取出黄球无输赢．(1)以X表示赢得的钱数，随机变量X可以取哪些值？求X的分布列．(2)求出赢钱的概率，即X＞0时的概率．解：(1)从箱中取两个球的情形有以下6种：{2白球}，{1白球1黄球}，{1白球1黑球}，{2黄球}，{1黑球1黄球}，{2黑球}．当取到2白球时，随机变量X＝－2；当取到1白球1黄球时，随机变量X＝－1；当取到1白球1黑球时，随机变量X＝1；当取到2黄球时，随机变量X＝0；当取到1黑球1黄球时，随机变量X＝2；当取到2黑球时，随机变量X＝4.所以随机变量X的可能取值为－2，－1,0,1,2,4.P(X＝－2)＝eq\f(C\o\al(2,6),C\o\al(2,12))＝eq\f(5,22)，P(X＝－1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,2),C\o\al(2,12))＝eq\f(2,11)，P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,66)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(1,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(4,11)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(1,2),C\o\al(2,12))＝eq\f(4,33)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(2,4),C\o\al(2,12))＝eq\f(1,11).所以X的分布列如下：X－2－10124Peq\f(5,22)eq\f(2,11)eq\f(1,66)eq\f(4,11)eq\f(4,33)eq\f(1,11)(2)P(X＞0)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝4)＝eq\f(4,11)＋eq\f(4,33)＋eq\f(1,11)＝eq\f(19,33).∴赢钱的概率为eq\f(19,33).规律总结求离散型随机变量的分布列的关键有两点：(1)随机变量的取值；(2)随机变量每一个取值的概率．探究二离散型随机变量分布列的性质及应用(1)离散型随机变量的特征是能一一列出，且每个值各代表一个试验结果，所以研究离散型随机变量时，关键是随机变量能取哪些值．(2)在求概率pi时，充分运用分布列的性质，既可减少运算量，又可验证所求的分布列是否正确．【典型例题2】设随机变量X的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)．(1)求常数a的值；(2)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))；(3)求Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10))).思路分析：已知随机变量X的分布列，根据分布列的性质确定a的值及相应区间的概率．解：由题意，得随机变量X的分布列为Xeq\f(1,5)eq\f(2,5)eq\f(3,5)eq\f(4,5)eq\f(5,5)Pa2a3a4a5a(1)由分布列的性质得a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，解得a＝eq\f(1,15).(2)Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(4,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(5,5)))＝eq\f(3,15)＋eq\f(4,15)＋eq\f(5,15)＝eq\f(4,5)，或Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≥\f(3,5)))＝1－Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X≤\f(2,5)))＝1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f(2,15)))＝eq\f(4,5).(3)∵eq\f(1,10)＜X＜eq\f(7,10)，∴X＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f(3,5).∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<X<\f(7,10)))＝Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(1,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(X＝\f(3,5)))＝eq\f(1,15)＋eq\f(2,15)＋eq\f(3,15)＝eq\f(2,5).规律总结利用离散型随机变量分布列的性质可以求随机变量在某个范围内取值的概率，此时只需根据随机变量的取值范围确定随机变量可取哪几个值，再利用分布列即可得到它的概率，注意分布列中随机变量取不同值时所表示的随机事件彼此互斥，因此利用概率的加法公式即可求出其概率．探究三两点分布的应用两点分布的几个特点：(1)两点分布中只有两个对应结果，且两个结果是对立的．(2)两点分布又称为0－1分布，应用十分广泛．(3)由对应事件的概率求法可知：P(x＝0)＋P(x＝1)＝1.【典型例题3】一个袋中有形状、大小完全相同的3个白球和4个红球．(1)从中任意摸出1球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，即X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，摸出白球，,1，摸出红球.))求X的分布列；(2)从中任意摸出两个球，用“X＝0”表示两个球全是白球，用“X＝1”表示两个球不全是白球，求X的分布列．思路分析：两问中X只有两个可能取值，且为0,1，属于两点分布，应用概率知识求出X＝0的概率，然后根据两点分布的特点求出X＝1的概率，最后列表即可．解：(1)由题意知P(X＝0)＝eq\f(3,7)，P(X＝1)＝eq\f(4,7).∴X的分布列如下表：X01Peq\f(3,7)eq\f(4,7)(2)由题意知P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,7))＝eq\f(1,7)，P(X＝1)＝1－P(X＝0)＝eq\f(6,7).∴X的分布列如下表：X01Peq\f(1,7)eq\f(6,7)规律总结(1)如果一个随机试验只有两个可能的结果，那么就可以用两点分布来研究，为此只需定义一个随机变量，使其中一个结果对应1，另一个结果对应0便可以了．(2)两点分布的应用非常广泛，如抽取的彩票是否中奖，买回的一件产品是否为正品，新生婴儿的性别，投篮是否命中等等，都可以用两点分布列来研究．探究四超几何分布及应用超几何分布是一种很重要的分布，其理论基础是古典概型，主要运用于抽查产品、摸不同类别的小球等概率模型，其中的随机变量相应是正品(或次品)的件数、某种小球的个数．【典型例题4】某高二数学兴趣小组有7位同学，其中有4位同学参加过高一数学“南方杯”竞赛．若从该小组中任选3位同学参加高二数学“南方杯”竞赛，求这3位同学中参加过高一数学“南方杯”竞赛的同学数ξ的分布列及P(ξ＜2)．思路分析：该问题与抽取产品在本质上是一致的，从而可用超几何分布解决．解：由题意可知，ξP(ξ＝0)＝eq\f(C\o\al(0,4)C\o\al(3,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(1,35)，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4)C\o\al(2,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(12,35)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(18,35)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,3),C\o\al(3,7))＝eq\f(4,35).所以随机变量ξ的分布列为ξ0123Peq\f(1,35)eq\f(12,35)eq\f(18,35)eq\f(4,35)P(ξ＜2)＝P(ξ＝0)＋P(ξ＝1)＝eq\f(1,35)＋eq\f(12,35)＝eq\f(13,35).规律总结解决此类问题，先分析随机变量是否满足超几何分布，若满足超几何分布，则建立超几何分布列的组合关系式，求出随机变量取相应值的概率；否则利用概率公式和计数原理求随机变量取相应值的概率．在解题中不应拘泥于某一特定的类型．探究五易错辨析易错点随机变量的取值错误【典型例题5】盒中装有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的(用过的球即为旧的)，从盒中任取3个使用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，求X的分布列．错解：由题意知X服从超几何分布，且X的取值为0,1,2,3，所以分布列为：X0123Peq\f(84,220)eq\f(108,220)eq\f(27,220)eq\f(1,220)错因分析：本题关键有两点：一是认清X的取值，题目中说的是盒中旧球个数为X，所以取值应为3,4,5,6，而不是0,1,2,3；二是正确利用公式求解概率，以免出现计算错误．正解：从盒中任取3个，这3个可能全是旧的，2个旧的1个新的，1个旧的2个新的或全是新的，所以用完放回盒中，盒中旧球个数可能是3个，4个，5个，6个，即X可以取3,4,5,6.P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3),C\o\al(3,12))＝eq\f(1,220)；P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,9)C