【ch07】形式散射理论

高等量子力学劳动教育总论第七章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助01跃迁矩阵(T矩阵)跃迁矩阵(T矩阵)设体系的哈密顿量为按微扰论的方法将H的本征函数

的本征函数展开，有其中H₀可以只含动能项，也可以包含某些相互作用，但H₀的本征值E₀及本征函数

是已知的。将式(7.2)代入薛定谔方程式(1.26)并利用

的正交归一性后得出式中并且其波函数的归一化条件为以s计入射波的状态，初始条件是跃迁矩阵(T矩阵)设体系的哈密顿用微扰论的方法求解式(7.4),由于U(r)不含t,满足初始条件式(7.7)和式(7.8)的解为量为在式(7.9)的积分中，

是个本性奇点，积分发散。为了计算这个积分，这里介绍一种在理论物理中常用的方法。在式(7.9)的被积函数中加上一个因子

是正数，并将积分改写为完成式(7.10)的积分后，先令

,

再令α→0,以保证积分收敛。这种处理方式在<1/a时成立。另外，同时还将式(7.9)中已知的矩阵元

换成未知的矩阵元

。事实上，可以认为式(7.9)是个关于方程式(7.4)的解的一个基本假定，并据此定义矩阵元

,式(7.10)仅仅是用一个未知的T。来表示式(7.4)的解。完成式(7.10)的积分并令

后得当r≠s时按照上述方式定义的矩阵T称为跃迁矩阵。式(7.12)表示，一旦求出T矩阵，就可以给出跃迁概率。跃迁矩阵(T矩阵)由式(7.12)得到，从s态到r态的跃迁速率为利用δ函数的公式在α→0的极限下，式(7.13)给出式(7.15)中的δ函数保证跃迁过程中能量守恒。如果末态的能量准连续，再近似地将T矩阵看成是微扰矩阵，式(7.15)其实就是在初等量子力学中提到的费米黄金规则。02李普曼-许温格方程在引入T矩阵时我们曾经指出，式(7.10)可以认为是对于方程式(7.4)的解的一个基本假定。为保证式(7.10)确实是式(7.4)的解，将式(7.10)代入式(7.4)并令αt→0,得为了把形式散射理论和通常的散射理论联系起来，定义一个正频散射态,令它和微扰矩阵

的不同在于，

不同于H₀的本征态

,它是个待定的波函数。将式(7.17)代入式(7.16),得在式(7.18)中，右端第二项分母中的

,当α→0时，实际上只是指明了积分回路应该包含的奇点和积分路径。式(7.18)对所有

均成立，因此有李普曼-许温格方程式(7.20)称为李普曼-许温格(Lippmann-Schwinger)方程。这是散射理论的基本方程式。利用这个方程求出

后，由式(7.17)即可求出T矩阵。这个方程和格林函数法求解时给出的结果十分相似。为了和格林函数法做一个比较，用算符

作用于式(7.20)两边并令α→0后得可见，

其实就是H=H₀+U的本征态，E,是相应的本征值。在

时，U→0,H和Ho有相同的本征值，这正是弹性散射的结果。引入

,令表示能量表象中的格林函数，则可将式(7.20)写为式(7.23)表示，非齐次方程式(7.21)的通解等于相应的齐次方程的通解加上非齐次方程的特解。这和用格林函数法求解散射问题的结果完全相同。事实上，式(7.23)是在无微扰的能量表象中写出的。在H₀只含动能算符时，H。表象就是动量表象。

在动量表象中的矩阵元用坐标为独立变量写出来，有李普曼-许温格方程利用

及可以立刻得出因子

是因为现在的格林函数由式(7.23)决定，式中的势场是U(r)。同样的方法可用于讨论负频散射态和驻波解。结果是：对于负频散射态，超前格林函数为相应的李普曼-许温格方程为李普曼-许温格方程对于驻波解，格林函数为由T矩阵可以直接求出微分散射截面。利用公式及式(7.15),可得从入射动量为

的状态散射到立体角dΩ的态的跃迁速率为

是散射态粒子的动量，因子

是因为现在采用箱归一化，按从求和变积分的变换式完成式(7.34)的积分，得李普曼-许温格方程式(7.35)中，

,在入射粒子流中单位积内找到一个粒子的概率是

是一个粒子单位时间内入射到垂直于入射流的单位面积上的概率。因此微分散射截面为散射振幅为李普曼-许温格方程03戴逊方程散射态的基本问题是求解李普曼-许温格方程。求得

后，就可得出T矩阵和微分散射截面。为了更便于求出

,先将李普曼-许温格方程式(7.20)写成另外的形式。以

乘式(7.20)的两端，并在方程的右端加一项

,再减一项

,后得这里特别注意式(7.20)和式(7.40)之间的区别。在式(7.20)中，分母是Ho,态是

,这是H的本征态。在式(7.40)中，分母是H,态是

,这是H,的本征态。将式(7.40)代入式(7.17),得当然，也可以用式(7.20)将

写成另外的形式：戴逊方程写成算符的形式后，即式(7.43)称为戴逊(Dyson)方程。它既可以用算符的形式写出，也可以用态的形式给出。由式(7.20),进行反复迭代后有波函数的戴逊方程式(7.44)是玻恩级数，它一直可以做到任意级。它的一级近似就是玻恩一级近似。事实上，由式(7.20),当入射波为平面波时，在箱归一化下，有代入式(7.38)后，得这正是玻恩近似(参见闫学群《量子力学》)。利用形式解式(7.40),可以证明，散射态满足正交归一条件。由式(7.40)及厄密性得戴逊方程同理，还可证明另外，还要指出，所有正频散射态

的集合构成完备系；所有负频散射态

的集合，也构成另一个完备系。上面已经给出了算符的戴逊方程式(7.43)和波函数的戴逊方程式(7.44)。还可以建立格林函数的戴逊方程。薛定谔方程的通解为戴逊方程

是相应的齐次方程的解，有以

作用于式(7.50)两端，由式(7.49)～式(7.51)可见，

满足的方程为定义势场V存在时的格林函数

为则将式(7.53)写成

,并利用无势场时的格林函数方程

,得出即式(7.55)是格林函数的戴逊方程。它用无相互作用的格林函数

表示有相互作用的格林函数

。戴逊方程04散射矩阵(S矩阵)为了使散射理论的公式具有更明显的对称性，在量子力学和量子场论中用得更多的是散射矩

阵，或称S矩阵。下面将看到：S矩阵和T矩阵一一对应，实质上是完全一样的，不过是换了一

种对称更明显的表述方式。由于

,是完备系，可以将

展开，有式(7.56)的右端不包含分立的束缚态，因为这些态都和

正交。由散射态的正交归一条件得矩阵S称为散射矩阵或简称S矩阵。由于H中属于两个不同能量本征值的本征函数正交，因此

在能量表象中必然是个对角矩阵。它总可以写为

时无奇性的待定矩阵。现在来求S矩阵和T矩阵的关系。利用δ函数公式可将式(7.58)表示为散射矩阵(S矩阵)将式(7.20)、式(7.60)和式(7.29)代入式(7.56),整理化简后得由于

线性无关，式(7.61)成立的条件是等式两端这两个因子前面的系数各自相等。由

的系数相等得式(7.63)给出了S矩阵和T矩阵的关系。若将入射波选为平面波，由式(7.63)和式(7.38)得式(7.64)表明，微分散射截面

成正比。另一方面，由

的系数相等得散射矩阵(S矩阵)用T矩阵的厄密性及式(7.61),可将式(7.65)写成S矩阵具有下述性质。1.幺正性S矩阵具有幺正性，满足为证实式(7.69),利用定义式(7.57)得式(7.69)的第二式可用同样方法证明。2.S矩阵和演化算符的关系为讨论S矩阵和波函数演化算符的关系，我们来重新考虑跃迁概率振幅的公式(7.10)。在式(7.10)中，令

,得散射矩阵(S矩阵)比较式(7.71)及式(7.63)得按定义，演化算符U满足

的物理意义是，它代表

时，初态为

,经相互作用及演化算符作用后，至

时跃迁到末态

,的概率振幅，即式(7.75)表示，S矩阵对应的算符等于体系从

开始，经散射后，演化到

的演化算符。算符S称为幺正散射算符。它的矩阵元

表示若体系在

时处在无微扰的本征态w。,则经过散射和相互作用后，在

时体系处在y,态的概率振幅。S矩阵与体系的性质、体系的哈密顿算符有关，因为演化算符U决定于体系的哈密顿算符H。3.S矩阵的转动不变性和分波法散射矩阵(S矩阵)对于揍力场，体系具有空间转动不变性。当对整个体系做一个空间转动时，初态动量和末态动量之间的夹角、散射振幅、微分散射截面不变，因此S矩阵具有空间转动不变性。由于在空间转动中，先转过角度θ1，再转过角度θ2与同时转过角度θ1+θ2的结果相同，因此，转动算符UR满足转动算符UR的一般形式为

是角动量，θ是转角。S矩阵的转动不变性可以表示为式(7.78)表示S矩阵只依赖于

之间的夹角，与

原来的方向无关。因此，S矩阵只能是能量和初、末态动量之间夹角的函数。对弹性散射，动量不变，S矩阵可写成式(7.79)中

是待定系数，它可以由S矩阵的幺正性决定。对于连续谱，幺正条件式(7.69)为散射矩阵(S矩阵)将式(7.79)代入式(7.80)得将式(7.81)与δ函数的表示式相比较，准确到一个位相因子，得将式(7.83)代入式(7.79)后，得到S矩阵的表达式为注意从箱归一化的式(7.64)过渡到连续谱的表达式(7.84)时，需乘上因子L³/(2π)³,即散射矩阵(S矩阵)比较式(7.84)和式(7.85),解出f(θ)后得这正是分波法的结果(参见闫学群《量子力学》)。由此得出结论：分波法的结果实际上是S矩阵具有幺正性和具有转动不变性的推论。4.S矩阵的幺正性和光学定理将S矩阵的表达式(7.63)代入幺正性表达式(7.69)后，得出将T矩阵和散射振幅的关系式(7.38)代入式(7.86),并注意将求和变成积分需乘上L³/(2π)³因子，有在