【ch02】量子力学测量问题

高等量子力学量子力学测量问题第二章普通高等教育“十三五”规划教材天津工业大学学位与研究生教育改革项目资助01量子测量基本概念数学公式与物理可观测量之间是通过测量联系起来的。量子一般测量可由一组算符{Mm}描

述，这些算符作用在被测系统状态空间上，其中指标m(m=0,1,2…)表示实验中可能的测量结果

的标号。若在测量前，量子系统的状态是,则测量结果m发生的可能性由给出，且测量后系统的状态为测量算符满足完备性方程0101量子一般测量式中，I为单位算符。完备性方程表达了概率之和为1的事实，即式(2.4)对所有

都成立，等价于完备性方程。关于测量的一个简单而重要的例子是单量子比特在计算基

下的测量。设两个测量算符为

,可证假设被测状态是

,则测得“0”的概率由式(2.1)可得于是01量子一般测量类似地，测得“1”的概率为测后的状态分别为由于a/|a|和b/|b|的模均为1,所以测量后的状态实际上就是(0)和1,且可知

是算符M₀和M,的本征态；一般来说，如果被测系统初始纯态

不是算符{Mm}的本征态，测量将变换这个纯态为一个混合态。更一般情况下，如果被测系统初始处在密度矩阵p描述的混合态，那么通过把p表示为一个纯态系综

可以知道，测量将变换每一个纯态为01量子一般测量01量子一般测量因此，测量对混合态p的效果是如果对系统进行两次连续测量，例如测量算符分别为Mm和L,则结果等价于单次测量，测量算符定义

。02投影测量对于量子计算和量子信息的许多应用，人们往往关心的是冯·诺依曼正交投影测量，简称投影测量。投影测量由可观测量M描述，M是被观测系统态空间的一个厄密算符。可观测量有如下谱分解：式中，Ⅱ;是M的本征空间中具有本征值m,的投影算符(或称投影子)。测量的可能结果对应于可观测量的本征值m₁。设在状态

上进行测量，得到结果m;的概率为测量后的状态为02投影测量由如下的解释可以看出投影测量是一般测量的特例。假设一般测量的测量算符除了满足完备性关系式(2.3)之外，同时也满足Mm是正交投影算符的条件，即Mm是厄密的，并且

,则此时的一般测量就成为了投影测量。实际上可以证明(此处略去),投影测量加上幺正操作等价于一般测量。投影测量有很多优异的性质。尤其是，投影测量容易计算可观测量的平均值。由定义可知，可观测量的平均值为02投影测量由此得到与可观测量M相联系的标准偏差为标准偏差是测量M观测值分散程度的一个度量，由它还可以给出海森伯不确定原理的表述。针对“孤立”量子体系的量子测量都是投影测量。为了更清楚起见，我们来看投影测量的另一种表述。设

是力学量算符F的本征态，相应的本征值为fm。对于任意给定的波函数|y),总可以展开成本征态

的相于叠加：

。量子力学原理告诉我们，对处于|v)态的量子体系测量力学量F,得到的结果是不确定的。它可能是F的本征值fm(m=0,1,2…)中的任意一个，相应的概率为

。如果在单一的量子测量中得到结果fm,则在紧接着的第二次测量中，应当重复得到确定结果fm。这时，可以断定体系的波函数

必将坍缩到它的一个分支

上，即02投影测量式中，

为投影算符，并且

的密度算符为投影测量后的密度算符成为式中，

。容易验证，

。以上描述的投影测量，实际上即是初等量子力学中提到过的测量假设。应当强调的是，冯·诺依曼投影测量是理想测量。所谓理想测量，即是仪器态相互正交，并与系统态一一对应，因此测量之后由总系统坍缩到终态后的相应仪器态可以确定地给出被测系统的性质。进一步，如果量子系统初始状态为p,则测量后状态成为02投影测量02投影测量其中，

是获得标记为m的测量结果的概率。这种类型的投影测量称作选择性投影测量。与选择性投影测量相对应的是非选择性投影测量，即式中求和针对所有可能的测量结果。最后我们指出，幺正变换、非选择性投影测量及取迹等操作，可以统一写为其中，E₁称为Kraus算符，不必须是厄密的。03局域测量POVM大系统相互正交的本征态在子系统所属子空间中的对应态未必仍然相互正交。因此在子系统中，量子测量将投影出一组非正交态，而不是一组正交态。从大系统的角度来看，子系统是个开放系统。对于开放量子系统来说，态可能是混的；演化可能是非幺正的、不可逆的。这种情况下量子测量造成的投影分解是非正交的分解，称作正算符取值测量(PositiveOperater-ValuedMeasure,POVM)。假设由算符Mm,描述的测量在系统状态

上完成。测量结果标记为m的概率为03局域测量POVM若定义一个有限的厄密算符{Em},E,是正算符(即对于任意态

,有

,并且满足完备性关系

,对每个Em对应的厄密算符

满足

,则

。这里Em称为测量的POVM元，完备集{Em}称为一个POVM。实际上投影测量也是POVM的一个特例。这是因为，如果以

表示投影测量算符，则有

,并且

。这种情况下，POVM元和测量算符相同，即

。为了具体了解POVM,下面来看POVM的一个应用示例。考虑在基矢

上的一个简单例子。设有3个POVM算符03局域测量POVM其中，

。容易证明上述算符满足完备性条件。也容易证明三个算符是正的(一般情况必须满足u≤2/3),因此，我们定义了3个测量算符(在二元基上)有效的POVM集。下面看POVM怎样应用。设

被制备为

。测量之前我们只知道系统在这两个态，但不知道具体在哪一个态。两个态

和POVM测量概率如表2.1所示。03局域测量POVM首先，表2.1指出，此测量在下列两种情况中未能传递任何信息：(1)当输入为

态时用E₁测量；(2)当输入为

态时用E₂测量。这是因为，每种情况测量算符分别投影输入态到其正交态，即

,导致测量概率为0,表明这些测量没有可能的结果。其次，表2.1中在下列情况下有有限的概率u/2:(1)当输入为

态时用E₁测量；(2)当输入为

态时用E₂测量。事实上，如果我们碰巧测量B,则系统不可能处在

态，因为E₁是

上的投影子。这

样我们可以确定系统一定处在

态。同样，如果我们碰巧测量E₂,则系统不可能处在

态，因

为E₂是

|-)上的投影子。这种情况下，我们给出肯定的结论，系统一定处于

态。然而我们得到

这个肯定信息仅为u/2的概率，这就意味着有有限的概率1-u/2,两个测量都没有给出任何信息。

如果我们使用E₃测量，表2.1中显示测量在所有情况下(

)都起作用，但是概率均为1-u/2,由定义可知，

E3

既不是

态也不是

态投影子。因此，E₃测量肯定的结果只告诉我们

系统态既不是

|1)也不是

|-),但这是我们已知知道的，因此这个测量没有给出任何信息，用E₃测

量系统态什么也得不到。03局域测量POVM03局域测量POVMPOVM是针对封闭系统的冯·诺依曼正交投影理论向开放系统的推广，是完全测量向非完全测量的推广。简单地说，大系统进行正交测量时，在子系统上实现的测量称为广义测量，又称局域测量，实现的投影是一组POVM。从大系统的角度来看，子系统是个开放系统，对其进行的观测是片面的、局部的。另外，从研究的观点来看，人们对系统测量后的状态本身往往不太关注，而更关注的是系统得到不同观测结果的概率，POVM正是适合这一需要的测量。04理想量子测量04理想的完全量子测量过程包含三个阶段：纠缠分解、波包坍缩、初态制备。具体如下：第一，(向测量仪器输入的)被测态

用(如所测力学量F)本征函数系展开，并和测量仪器的可区分态因相互作用而纠缠；第二，波包坍缩，即

以展开式系数模方为概率向(F的)本征态之一随机坍缩；第三，坍缩后的态作为初态在新环境的哈密顿量下开始新一轮演化，所以又说测量制备了初态。作为一个例子，我们可以参照前面介绍的投影测量(见2.1.2节),假设厄密算符F具有分立性的本征值谱{fn},系统初始处于状态p。设投影算符为

则测量本征值为fn

的概率为测量后系统所处状态为特别地，如果初始系统的状态为纯态

,则投影测量后的系统状态为其中，

。可以看到，测量后的状态仍为纯态。在实际测量中，由于测量仪器分辨率有限等原因，理想测量的条件很难被满足，因此测量结果往往是近似的。在这种情况下，以操作(operation)和响应(effect)概念为基础的一般化测量理论将起重要作用考虑某种测量方案，在此方案下可以获得可能的结果m∈M。将M看作经典样品空间，并且m是它的基本事件。基于下列概念的量子测量理论，可以被看作冯·诺依曼投影假设的一个自然的一般化。(1)测量结果m代表一个经典随机数，且有概率分布其中，Fm是正算符，称作响应，并满足归一化条件：05操作和响应其中，M是m的集合，为简单起见我们假设集合m是分立的，于是p(m)满足归一化条件：(2)对于选择性测量(selectivemeasurement),测量结果为m的那些系统的子系统的密度矩阵其中，

为正的超算符，称作操作。该算符映射正算符为正算符，且由式(2.21)与式(2.17)一起，可得密度矩阵

的归一化，即(3)对于非选择性测量(non-selectivemeasurement)可得密度矩阵05操作和响应由式(2.21)和式(2.18)归一化得显然，理想量子测量的冯·诺依曼测量方案是上述一般情况的特例。作为这个例子的一个自然的一般化考虑，可选操作为并且对应的响应为其中，

为希尔伯特空间满足如下归一化条件的线性算符：(4)下面看所谓量子操作的表示定理。操作φm的解析表示在实际应用中很有用处，这个表示由Kraus定理给出。05操作和响应操作的表示定理：存在可数的算符Ωmk的集合，以致而响应满足式中，I为单位算符。这是操作和响应的最一般形式，证明从略。(5)用上述理论可以描述近似测量，即测量仪器对某些可观测量的测量分辨率是有限的。假设可观测量R有分立的、非简并的本征值谱，即如果本征值m在空间上不是太接近，用分辨率足够高的仪器即可充分区别不同的本征值。但是，如果仪器的分辨率不够高，则无法区分邻近的本征值。在这种情况下，我们引入条件概率分布

。它表示，已知在

态(具有本征值

)测量得到结果为m的概率，条件概率分布可以用于描述仪器的有限分辨率、环境的扰动和测量前仪器精确状态的可能的不确定性。05操作和响应假设仪器总能得到确定的结果，则有测量结果为Rm的概率分布为上式归一化为响应算符定义为这时概率分布重新写为正如前面已经证明的，式(2.34)是正定算符，并且满足归一化条件式(2.18)。05操作和响应为了得到合适的操作，由式(2.25)、式(2.21)和式(2.26)得到其中，Um是幺正算符(未确定),并且有因此，我们有操作表示由初态p到结果为Rm为条件的子系统状态的转换，形式上可以分为两步：上述第二步代表密度矩阵的幺正变换，这个过程中熵保持常数，没有信息在量子系统中被获得，算符Um的精确形式由测量仪器的详细情况决定。以上分析表明，人们不可能由测量结果的概率分布决定操作的精确形式。由上可见，Um描述了量子系统被测量仪器的扰动。05操作和响应式(2.39)第一步描述了在测量中获得信息的过程：一般地，它分离初始系综成为各种子系统。Fm唯一地由R的谱族和条件概率分布

决定。由于R与F有相同的谱族，因此有对易式[R,Fm]=0,像我们后面将看到的，第一步是量子非破坏性测量的充分条件。在无限分辨率情况下，有

,因此，响应约化为R的理想测量，即Fm=|wm>(vm|。相应地，操作取冯·诺依曼投影假设给定的形式，即一般来说投影伴随着一个幺正变换。05操作和响应02间接量子测量从实际操作角度，量子测量可分为直接测量和间接测量。我们把被测对象直接与经典测量仪器作用的测量称作直接测量。直接测量的一个典型例子是：通过照相乳胶或威尔逊云室中的路径来测量微观粒子的位置。一般这种测量误差远远大于不确定关系所要求的结果。而要想获得“好”的测量结果，则可以使用间接测量。这种重要的测量方法可以在一般化量子测量理论的框架下得到。它可以看成由三个部分组成。第一部分是被测的量子系统，即信息被摘取的系统，因此这个系统叫作量子客体(quantunobject),处于希尔伯特空间H。中；第二部分是处于希尔伯特空间Hp的量子探测体(quatumprobe),它是与量子客体相互作用的某种量子系统，假设探测体在相互作用之前被制备在状态Pp,随后的相互作用使被测系统与探测体的关联建立起来；第三部分是经典仪器，通过它完成在探测体上的测量，这个测量在被测系统与探测体相互作用结束之后进行。这个方法的目的是利用对探测体的测量获得被测体状态信息，此信息可以由被测系统与探测体相互作用建立起来的关联的约化获得。因此，我们可以提出理想测量的如下三个基本要求。010203间接量子测量(1)当t=0,即探测体和被测系统相互作用之前，探测体制备在量子态Pp,同时量子客体制备在po态。(2)使用仪器测量之前，量子客体和探测体在t=0时开始相互作用，在t=t>0时结束作用。(3)此方法的第三步是，一个经典仪器及在探测体上的测量可以用冯·诺依曼投影假设的理想测量描述。下面我们在这种理想测量方案下推导响应和操作的解析表达式。假设初始时刻(t=0),整个系统在总希尔伯特空间由密度矩阵

描述，整个系统的哈密顿量为其中，H₀和Hp分别表示客体和探测体的自由演化，

表示它们的相互作用。假设相互作用在时间间隔[0,

]之外消失，在相互作用间隔内，系统按照薛定谔方程规律演化，相互作用幺正演化算符为(

),则其中，T定义了时间次序。设初始系统状态为

时，t=x时刻之后系统状态成为间接量子测量下面假设在r时间，用经典仪器测量探测体的一个非简并、分立谱的可观测量为这里注意到R是作用在希尔伯特空间Hp的量子探测体的厄密算符，测量结果为

的测量概率p(m)为其中，求迹是针对总希尔伯特空间H进行的，对于空间Ho和Hp的部分迹分别被定义为Tr₀和Trp。因此，p(m)的表达式可以重新写为其中，响应由下式给出：容易证明，Fm是作用于量子客体的希尔伯特空间H。的一个正算符，并且满足归一化条件，即有间接量子测量测量后量子客体的状态为引入探测体密度矩阵的谱分解由于作用在量子客体上的操作可以表示为其中因此利用这些操作可以把响应表示为可以看到，以上操作和响应的形式完全与式(2.28)和式(2.29)一致。如果探测体初始处于纯态

,则有间接量子测量它正比于探测体从状态到被测的可观测量R的本征态的转化的振幅。注意，Q是量子客体所在希尔伯特空间的算符，描述由在探测体上测量结果为rm诱导的客体状态的改变。现在我们将上面的结果推广到可观测量R为连续谱的情况。考虑一个具体实例，假设取R为动量算符p在一个特定方向上的算符，即设经典测量仪器测量探测粒子动量的某个分量。我们打算利用间接测量方法测量量子客体的非简并、分立的可观测量为此，我们将动量

的共轭量，也就是坐标算符

(满足

)与A耦合，即考虑相互作用哈密顿量其中，假设g(t)在[0,

]之外消失。为简单起见，进一步假设相互作用时间

很小，且由H₀+Hp产生的自由演化在此时间内可以忽略，那么，么正时间演化算符可以简单地取为其中间接量子测量式(2.57)定义了耦合强度。假设量子探测器初始态为

,则对于测量结果p,算符Ωp,为上式矩阵元等于

,其中

是探测体在动量表象的初始波函数。因此有由此可见动量测量的概率密度f(p)可表示为上述两个方程可以用来描述近似测量可观测量

。为了看清这点，我们必须回答下列问题：通过测量

可以获得量子客体可观测量

的什么信息?假设某时刻

是下列平均值附近的尖锐的波包间接量子测量由式(2.59)可以看到，对

的测量将量子客体的态投影到了

的本征态

上，且对应的本征值

,满足p+Ga,≈p

。精确的数值由探测器波函数在动量表象中的宽度决定。因此，我们定义一个a值由测量结果p通过总公式p+Ga=p得到，即那么，a的概率密度为其中我们看到，对探测粒子动量

的直接测量，将获得对量子客体可观测量

的一个近似测量结果，式(2.63)表示

的这个近似测量的条件概率密度。显然，

是归一化的，即间接量子测量且满足其中，Var(p)定义了探测粒子在初始态

的p的方差。按照式(2.65),a的期望值与

的平均值相等，即另外，方程式(2.66)可导致如下关系：式(2.68)表明，探测粒子的动量不确定性越小并且量子客体和探测粒子的耦合越强，可观测量的测量结果就越精确。获得a值相应的操作由如下算符给出间接量子测量测量结果的密度矩阵为在理想情况下，探测粒子初始动量取确定值po,则有

,因此式(2.71)表明，a只取分立值，相应的概率为且测量的密度矩阵为表明了对

的理想量子测量结果。间接量子测量03量子非破坏性测量01标准量子极限下面我们具体分析一个自由粒子的测量过程。考虑在时间t内测量一个质量为m的自由粒子

的位置。假设初始t=0时刻，测得粒子位置的误差为(Axc)1,由海森伯不确定关系可知动量受到

的扰动为经过时间

后，动量扰动将使粒子位置附加一个不确定性此式将叠加于第二个测量误差(Axc)₂之上。从两个位置的测量结果，实验者可获得粒子的动量为因此，位置测量的三个误差给出动量的均方差为量子非破坏性测量要想得到动量的最大精度，

不可任意小，因为由式(2.75)可以看出，这将使

任意大。利用式(2.77),由

取极值可以得到，最佳选择是

。因此，动量的最佳精度为用相同的方法容易得到测量粒子位置乎均值x=(x1+x2)/2的最小误差为其中，

叫作标准量子极限(StandardQuantumLimit,SQL)。标准量子极限可以逾越吗?答案是肯定的。在得到这个极限时用了不确定关系，但是二者是不相同的。标准量子极限的具体数值依赖于量子态，与如何测量有关，而不确定关系是底线。那么，在遵守不确定性原理的前提下如何使测量精度超越标准量子极限呢?目前有两种思路；一种是以牺牲共轭量一方为代价，去求得另一方的超精度测量，这即是压缩态的思想；另一种就是量子非破坏性测量(QuantumNon-DemolitionMeasurement,QND测量)。量子非破坏性测量可观测量A的QND实验是对A的多次精确而又不改变被测状态的测量。例如，本征值的测量即为QND测量。广义上说，原则上对一个量子系统进行给定的量子测量，总会对应存在一些动力学变量，它们不受此给定测量的扰动，在此测量中保持不变。这些动力学变量便是这种测量的QND变量。但在做此测量时，不能同时又从被测态取出与QND变量不对易的其他力学量的数值，否则必定因此而干扰被测量的态。例如，自由物体的速度测量是QND测量(或称此时速度是QND变量),而位置测量则不是。假设对可观测量A在量子态p完成一个理想的、非选择性测量，众所周知，如果A与p对易，那么经过测量，系统的状态不变。事实上，如果02QND测量表示A的谱分解，

为A的本征值，

为对应于

的投影算符，则测量后的非选择性密度矩阵p'为QND测量其中计算用到了完备性关系及p对易于投影算符π,这一事实。下面考虑一般性测量方法，我们将用到操作

和算符Ωm。对可观测量A,如果测量过程中其概率分布不变，即A的本征值的分布在初始和最终是相同的，这个方法将定义一个量子非破坏性测量(QND)。这里假设一般性测量是非选择性的。QND测量仪器对高精度量子测量的设计是很重要的。利用式(2.25),可以将上面的定义表达为下述的数学形式：对于上式的一个例子是关于A的理想测量，Ωm由投影算符

给出，式(2.80)明显满足。利用归一化条件式(2.27),式(2.80)化为因为上式被假设对所有p成立，所以我们得出结论：QND测量的充分条件为因此，对于可观测量A,如果由测量导致的描述量子系统变化的算符Qm与A对易，则这个测量就是QND测量。QND测量对于理想测量，式(2.82)总能被满足，即A的理想测量总是QND测量。我们也可以立即从式(2.69)中看到，前面间接测量的例子满足QND条件。这是由于，事实上相互作用哈密顿量HI(1)与被测量对易，使得

在A表象是对角的，因此，A在测量过程中是运动常数。下面来分析一般情况下的间接测量。设探测粒子处于纯态φ,将式(2.53)代入式(2.82),则有式(2.83)对所有m成立。因为

是探测体在希尔伯特空间Hp的一个基矢，因此有式(2.84)可以通过制备合适的探测体的态

而达到。实际上这并不容易做到，它需要对易子消失，从而导致下列QND充分条件：按照方程式(2.85),海森伯绘景下的算符在t=r之后回到了初始值，即

做到这一点最容易的方法是使A对易于总哈密顿量QND测量即如果A在量子客体的自由演化下是运动常数，一般QND测量的充分条件是这个条件也称为反作用逃逸条件，因为它保证了量子客体和探测系统的相互作用不干扰被测量。最后需要说明，经过一些推理可以表明，前面讨论的近似测量是QND的充分条件由

给出。这意味着用这种方法，被近似测量的可观测量必须对易于幺正算符Um(见(式2.39))。因此，一般来说，这些幺正变换扰动的是被测量的概率分布。自由粒子的QND变量为动量和能量；谐振子为平方和振幅、能量和相位(测量能量的最好办法是放弃对相角的测量，它不是运动积分)。再比如，Kerr效应就是存在QND变量的另一个例子。Kerr效应可以允许我们去测量信号光场的光子数而不扰动这个数。值得注意，QND远不是对任何态的任何物理量测量都能做得到的。这里有一个针对合适的系统、选择合适的力学量及选择合适的测量方案的问题。通常选择A为系统的运动积分，并放弃与之不对易的力学量的取值，以免影响被测状态，污染测量。这就是为什么说QND是一种精确测量，测量仪器不会对被测结果(原有的先验不确定性之外)添加扰动或变化的原因。此外，QND测量技术允许多次重复并且有大大高于SQL的精度。QND测量04非选择性连续测量01量子Zeno效应量子Zeno效应是纯量子测量效应。理论和实验都已经表明，频繁的测量能阻止不稳定量子

系统的衰变或跃迁。极端而言，连续进行的量子测量将使不稳定的量子系统稳定地保持在其初态

上，这种不稳定初态的存活概率在连续测量下将成为百分之百，这就是量子Zeno效应。这种在

古代哲学中提到的“飞矢不动”的佯谬，在量子系统中真的可以实现。在对量子系统进行连续测量时，测量设备一般以两种不同的方式反作用于量子系统。其一，

它可以影响被测量的可观测值的期望值的演化。这被称为“动力学反作用”,这种影响是可以预

测的。其二，测量设备以随机的方式扰动这个可观测量，增加它们的不确定性，从而造成对期

望值的随机偏离。第一种情况可以通过构造合适的测量设备来加以避免；而第二种作用是基本

的、无法去除的。一般情况下的量子Zeno效应分析比较复杂，我们下面先就封闭系统，利用投影测量给出此

效应的理论推导。考虑可观测量A,假设它的本征值谱是分立和非简并的，即有01量子Zeno效应01量子Zeno效应对A做一系列瞬时的、投影测量，并且每两次测量的时间间隔均为0。当θ→0时，就说对

可观测量A的测量是连续的。两次测量期间态矢量的演化遵循薛定谔方程(h=1):其中，H为系统的哈密顿量，它使系统以确定的概率在不同本征态之间自由演化，某一时刻的测量将使系统有可能以一定的概率处于任意某个本征态上。然而下面我们将看到，连续测量改变了人们这个长期的看法。现在假设系统初始处于A的本征值an对应的本征态

上，即对于足够小的t,由薛定谔方程有01量子Zeno效应01量子Zeno效应在时刻t=0时对A做理想的投影测量，在这个测量中获得本征值an

的概率为其中式(2.95)为处于状态

上的能量不确定性。

为时刻

之后系统仍然处于初始态

上的概率。因此，在时间

，即k次测量之后这个概率为当

固定并且k很大时，即0=

/k→0时，由式(2.96)可以推得上述结果表明，如果在这个系统上对可观测量A做连续和理想测量，则系统保持在初始状态

上的概率为1,即连续测量阻止系统离开初态，使系统停留在初始状态，也即在连续测量下系统不衰变。或者说，在量子测量所造成的量子态坍缩中，时间也坍缩了、停滞了。这个结果虽然看起来有些奇异，但是近些年来的实验已经证实了它的存在。这是一个纯量子力学效应，因为频繁测量从不可能阻止经典系统离开相空间区域。前面给出的Zeno效应是在理想、连续测量的情况下得出的。为了研究非理想测量情况下是否存在Zeno效应，我们考察下列模型在间接、连续监视下的情况。与前面做法相似，将时间分成间隔为θ相等的时间段，量子客体在间隔内遵循薛定谔方程演化。每个时间间隔开始，我们对A进行间接测量。假设所有测量量子粒子是独立的，并且处于相同的初始态

。由式(2.58)可知，量子操作为02非理想测量下的Zeno效应式(2.98)包括了由H产生的相干演化，其中，

是积分耦合强度。因此在时间间隔θ内，客体密度矩阵的演化可以给出将式(2.98)的展开式代入式(2.99),并忽略②以上的高阶项，得到02非理想测量下的Zeno效应其中定义我们可以合理地假设

。这意味着漂移贡献

。消失，因此测量仪器不导致系统反作用在量子客体的动力学上。进一步假设存在，并且有限。因此，在连续极限(θ→0)下，由测量仪器导致的随机反作用保持有限。因此，在连续极限下，得到如下量子系统状态的运动方程：上述方程右侧明显具有量子动力学半群生成元形式。这个主方程的右边第二项(所谓耗散子)描述了由测量仪器诱导的量子系统上的反作用。我们看到，这个反作用的强度与A的测量精度有关，即假设

,利用不确定关系，有02非理想测量下的Zeno效应取极限θ→0,得到式中定义了σA代表对A测量不确定性的量度，式(2.105)告诉我们由测量诱导的反作用越强，对A的测量就越精确。因此，方程式(2.105)提供了一种对被测系统监测精度和测量结果涨落反作用的不确定关系。如果取A是无量纲的，则

有反比于时间的量纲，有式(2.107)称作Zeno时间。事实上，

正比于A测量精度。当

→0时，即对任意精确的A的测量，则回到了前面描述的量子Zeno效应。上面的理论可以用两能级系统给出具体说明。设自由量子客体哈密顿量为

,其中Ω描述所谓相干Rabi振荡。并设被测量取为A=σ₂,也就是将测量仪器设计为监测系统是否处于激发态

的形式。因此，相应的密度矩阵方程为02非理想测量下的Zeno效应由式(2.108),容易得到下列分量方程：下面设系统初始处于激发态能级，则密度算符为p(0)=|e)(e|,由此可知(σz(0)>=(σ,(0)>=0和(σ₂(0)>=1。所以，上述微分方程的解为其中特征频率为利用上述这些关系式，得到上能级的布居(占有率)为02非理想测量下的Zeno效应分析上述结果可以看出，由于

的实部总为正，对于长时间限，上能级的布居

接近1/2。这意味着，测量仪器的反作用驱动量子客体成为上、下能级具有相等占有率的定态。而对于阻尼情况

,特征频率较为复杂，此时特征频率表示为

,其中因此，我们有由式(2.116)可以看出

随频率v以指数的阻尼振荡。对于

,即Zeno时间远大于拉比频率的倒数，客体系统以接近非扰动频率v≈2振动多次。如果Zcno时间减小，则频率v变小；当

时，相干振荡消失。对于过阻尼情况

,系统将以单调的方式达到定态。因此，足够小的Zeno时间，非扰动运动的相干振荡完全被压抑，对于

的情况，可以得到近似解02非理想测量下的Zeno效应02非理想测量下的Zeno效应其中时间常数

为因此，上能级的衰减时间反比于Zeno时间

。这个极限对应于σ₂的无限精确测量及量子Zeno效应的发生，也就是上能级的寿命成为无限，即量子系统保持冻结在初态上。05量子测量中的纠缠和熵量子力学中的测量过程是通过测量仪器和被测量系统的纠缠实现的。当我们用仪器去测量一个量子力学系统的力学量A时，一个明显的事实是，必须使用测量仪器和被测系统发生某种相互作用，共同构成一个大的复合系统。这个复合系统经过一段时间演化，在仪器的可区分状态和被测系统A的本征态之间建立纠缠，从而当我们从仪器上读出某一仪器态时，也在被测系统中制备出A的一个本征态，这个态的本征值就是测量值。由于测量过程中使被测系统和测量仪器纠缠，这种纠缠破坏了被测系统作为A的本征态的相干叠加态，使被测系统由A本征态