立体几何中的向量方法(课时)

32立体几何中的向量方法第一课时向量方法的基本原理问题提出1立体几何研究的主要问题有共点，共线，共面，平行，垂直，夹角，距离等，这些问题都与空间向量有着密切的内在联系，从而可以用向量方法解决立体几何问题2立体几何研究的基本对象是点、直线、平面以及由它们组成的空间图形为了用空间向量解决立体几何问题，首先必须把点、直线、平面的位置用向量表示出来，然后再建立相应的解题原理3上一节所学习的内容是空间向量的基础知识，如何利用这些基础知识解决立体几何中的实际问题，是本节学习的主体内容教材自学教材内容：P102～P1041空间点、线、面的位置用向量分别如何表示？2如何用直线的方向向量和平面的法向量，表示空间直线、平面间的平行与垂直关系？1空间点、线、面的位置用向量分别如何表示？（1）点的向量表示：取定点O作为基点，则空间中任意一点P的位置可以用向量表示(点P的位置向量).（2）直线的向量表示：①若直线l过点A，其方向向量为a，则l＝{P|ta，t∈R}；②若直线l过两点A，B，则l＝{P|，t∈R}alAP（3）平面的向量表示：①若平面α过点O，a，b为平面α内两个不共线向量，则α＝{P|＝xa＋yb，x，y∈R}②若平面α过点O，l⊥α，a为直线l的方向向量(平面α的法向量)，则α＝{P|·a＝0}aOPα2如何用直线的方向向量和平面的法向量，表示空间直线、平面间的平行与垂直关系？设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则（1）l//ma//ba＝kb；（2）l//αa⊥ua·u＝0；（3）α∥βu//vu＝kv；（4）l⊥ma⊥ba·b＝0；（5）l⊥αa//ua＝ku；（6）α⊥βu⊥vu·v＝0.拓展探究2如何用向量法求空间两直线，直线与平面，平面与平面的夹角？1如何用向量法求点到平面的距离？设平面α的法向量为u，点A在平面α内，则点P到平面α的距离OAαduP设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则（1）直线l和m所成的角：（2）直线l和平面α所成的角：（3）平面α和平面β所成的角：aOAαBuθvOAαBuθPβ例1如图所示,长方体的棱长为2，E为AA1中点直线AC1的一个方向向量坐标为___________平面ABCD的一个法向量坐标为___________平面BDE1的一个法向量的坐标典例展示E因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系用向量方法解决立体问题2空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1,l2的方向向量分别为n1,n2l1∥l2n1∥n2⇔_______l1⊥l2n1⊥n2⇔________直线l的方向向量为n,平面α的法向量为ml∥αn⊥m⇔_______l⊥αn∥m⇔______平面α,β的法向量分别为n,mα∥βn∥m⇔______α⊥βn⊥m⇔_______n1=λn2n1·n2=0n·m=0n=λmn=λmn·m=0平行垂直平行四、题目练习1、根据方向向量确定两直线的位置关系设分别是不重合的两直线l1,l2的方向向量,根据下列条件,判断l1,l2的位置关系.设是平面的法向量，是直线的方向向量,根据下列条件,判断直线和平面的位置关系垂直平行2、根据直线的方向向量和平面的法向量确定线面的位置关系设分别是不重合的两个平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系垂直平行相交3、根据平面的法向量确定两平面的位置关系例1如图所示,长方体的棱长为2，E为AA1中点直线A1C的一个方向向量坐标为___________平面ABCD的一个法向量坐标为___________平面BDE的一个法向量的坐标典例展示E求证：（1）A1C∥平面BDE（2）A1C⊥平面BDC1（3）平面BDE⊥平面BDC1例2四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，求证：PA//平面EDBABCDPEXYZG解1立体几何法证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG在中，E，G分别为PC，AC的中点ABCDPEXYZG解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EGABCDPEXYZ解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1证明：设平面EDB的法向量为知能检测1证明：如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与这个平面平行lmαaua·u＝0－A1B1C1D1中，E、F分别是AC、A1D上的点，且EF⊥AC，EF⊥A1D，求证：EF//BD1A1B1C1ABCD1DEFzxya小结作业1直线的方向向量和平面的法向量都不是惟一的，其方向有两种可能，其模可以为任意正数，对平面α内的任一向量p，若a·p＝0，则l⊥α3用向量方法研究与平面有关的问题时，一般利用平面的法向量进行运算作业：《自主学习册》P105～P107第6课时32立体几何中的向量方法第二课时向量方法的实际应用问题提出1用向量法求空间角有哪些基本原理：设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则（1）直线l和m所成的角：（2）直线l和平面α所成的角：（3）平面α和平面β所成的角：2用向量法求空间距离有哪些基本原理：（1）若＝a1＋a2＋…＋an，则＝(a1＋a2＋…＋an)2（2）若点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，则（3）设平面α的法向量为u，点A在平面α内，则点P到平面α的距离3用空间向量表示点、直线和平面，其意义在于空间点、线、面的位置关系和数量关系，可以通过向量运算来解决，从而为立体几何提供了一种高效的解题方法——向量法教材自学教材内容：P105～P1061利用向量法解决立体几何问题的“三步曲”有什么含义？几何问题向量化→向量问题数量化→数量结果几何化2例1的本质是求空间两点间的距离，解法中利用了哪个向量原理？若＝a1＋a2＋…＋an，则＝(a1＋a2＋…＋an)23例2的解法中利用了哪个向量原理？运用了什么数学思想？原理同上；方程思想拓展探究1的长与棱长有什么关系？2例1中设六面体的棱长都为1，则上、下两底面之间的距离如何计算？－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此之间的夹角都为θ，对角线AC1的长为a，则平行六面体的棱长如何计算？－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长都等于a，且它们彼此之间的夹角都为θ，则二面角A1―AB―C的余弦值如何计算？知能检测例如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝1，∠BAC＝90°（1）求点C1到平面AB1C的距离；（2）求二面角A1－B1C－A的大小ABCA1B1C1xyz60°小结作业1用向量法求二面角大小有两种算法，一种是求二面角的两个面内分别与棱垂直的两直线的方向向量的夹角，另一种是求二面角的两个面的法向量的夹角向量的夹角与二面角的平面角相等或互补2平面的法向量就是平面的垂线的方向向量，若不能在图形中直接找到平面的垂线，则可用待定系数法求法向量的坐标3数量积运算是向量法的核心内容，解题时应根据图形特征与题设条件，选择几何法或坐标法计算作业：《自主学习册》P108～P111第7课时32立体几何中的向量方法第三课时向量方法的实际应用问题提出1用向量法解决立体几何问题的核心思想是转化，其解题“三步曲”可概述为哪“三化”？几何问题向量化→向量问题数量化→数量结果几何化2空间距离有多种形态，其中两点距是基础，用向量法求空间距离的实质是什么？求向量的模3空间角有三种形态，即线线角，线面角和二面角，其中相交直线的夹角是基础，用向量法求二面角大小有哪两种算法？（1）求垂棱线的方向向量的夹角；（2）求两个面的法向量的夹角4物理中的力，速度，位移等也是向量，运用向量方法可以解决物理中的矢量问题教材自学教材内容：P107～P1101在例3中，向量法的解题目标是什么？求三个向量的和向量的模2在例4第（3）问中，求点F的坐标运用了哪些数学思想方法？方程思想，待定系数法3解决立体几何问题有两种方法，即几何法和向量法，二者各有什么特点？几何法：以几何原理为依据，逻辑推理为工具解决问题向量法：以向量原理为依据，向量运算为工具解决问题拓展探究1不建立坐标系，如何求例3中三个力的合力？DABCOEP