空间向量及其运算(课时)

第三章空间向量与立体几何31空间向量及其运算311空间向量及其加减运算问题提出1在平面中，什么叫向量？既有大小又有方向的量叫做向量2两个平面向量相加、相减的几何运算法则是什么？平行四边形法则和三角形法则3如图，一块质量为500g的均匀正三角形钢板，在它的顶点处分别受力F1、F2、F3，每个力与同它相邻的三角形的两边之间的夹角都是60°，且|F1|＝|F2|＝|F3|若分析这三个力至少为多大时，才能提起这块钢板，以及这块钢板在这些力的作用下如何运动，需要有空间向量的知识才能解决F2F1F3教材自学教材内容：P84～P851空间向量，向量的长度或模，零向量，单位向量，相反向量，相等向量分别是什么概念？2如何求作两个空间向量的和向量与差向量？3向量加法运算满足哪些运算律？1空间向量，向量的长度或模，零向量，单位向量，相反向量，相等向量分别是什么概念？空间向量：空间中具有大小和方向的量；向量的长度或模：向量的大小；零向量：模为0的向量；单位向量：模为1的向量；相反向量：模相等且方向相反的向量；相等向量：模相等且方向相同的向量2如何求作两个空间向量的和向量与差向量先平移到同一个平面内，再利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量aba＋baba－b3向量加法运算满足哪些运算律？交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋b＋c＝a＋b＋c拓展探究，b，c不共面，如何求作它们的和向量？2.如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，向量表示哪个向量？BACDB1A1C1D13如何证明向量加法运算满足结合律？，b，c不共面，如何求作它们的和向量？abca+b+c2.如图，在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱)ABCD－A1B1C1D1中，向量表示哪个向量？BACDB1A1C1D13如何证明向量加法运算满足结合律？OABCabc(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)＝

－A1B1C1D1中，化简下列各式：BACDB1A1C1D1知能检测小结作业1空间向量是平面向量的拓展，其相关概念、表示方法、和差运算法则和运算律等，与平面向量具有一致性空间向量与平面向量的区别在于表示两空间向量的有向线段不一定共面，而表示两平面向量的有向线段一定共面2零向量与单位向量只对其模有规定，向量的方向是任意的，相反向量与相等向量，对模和方向都有要求相反向量的和向量与相等向量的差向量都是零向量3任意两个空间向量可以通过平移使其共面，因此，两个空间向量的和差运算实质是平面向量的和差运算，多个空间向量的和差运算可以转化为若干个平面向量的和差运算来解决作业：《自主学习册》P86～P89第1课时312空间向量的数乘运算第二课时1空间向量共线的条件及应用重点、难点2空间向量共面的条件及应用重点、难点3向量的共线、共面与直线的位置关系．上一节课,我们把平面向量的加减和数乘运算扩展到了空间ab

abca+b+cBACDB1A1C1D1折线法则平行六面体法则OABPal①和②都称为空间直线的向量表示式，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一决定由此可判断空间任意三点是否共线探究点2共面向量共面向量:平行于同一个平面的向量,叫做共面向量注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量既可能共面，也可能不共面dbac那么什么情况下三个向量共面呢？空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数对,y使空间向量共面定理：或对空间任一点O,有③式称为空间平面ABC的向量表示式，空间中任意平面由空间一点及两个不共线向量惟一确定③oP与A,B,C共面

OBAHGFECD知能检测1.在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、CD的中点，求证：向量与、共面.ABCDEF2.在三棱锥O－ABC中，点M是△ABC的重心，求证：OABCM312空间向量的数乘运算问题提出1如何求作两个空间向量的和向量与差向量先平移到同一个平面内，再利用平行四边形法则或三角形法则求作其和向量与差向量2在空间中，求作三个不共面向量的和向量有什么法则？折线法则，平行六面体法则abca+b+cBACDB1A1C1D1折线法则平行六面体法则3空间向量与平面向量的概念是一样的，都是指具有大小和方向的量空间向量的基本概念和加减运算，都是平面向量的推广在平面向量中有向量的数乘运算，推广到空间，就能建立空间向量的数乘运算理论体系教材自学教材内容：P86～P891空间向量的数乘运算有哪些内涵？2共线向量平行向量与共面向量分别是什么概念？，bb≠0平行的充要条件是什么？，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是什么？，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是什么？内的充要条件是什么？1空间向量的数乘运算有哪些内涵？概念：实数λ与向量a的乘积λa称为向量的数乘运算大小：|λa|＝|λ|·|a|，即λa的模是a的模的 |λ|倍；方向：λ＞0时λa与a同向，λ＜0时λa与a 反向，λ＝0时λa＝0运算律：λa＋b＝λa＋λb分配律； λμa＝λμa结合律2共线向量平行向量与共面向量分别是什么概念？共线向量平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合共面向量：平行于同一个平面的向量，bb≠0平行的充要条件是什么？

a//b(b≠0)存在实数λ，使a＝λb.，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是什么？存在实数t，使＋ta.，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是什么？存在惟一的有序实数对，y，使p＝a＋yb内的充要条件是什么？存在有序实数对(x，y)，使.或对空间任一点O，.拓展探究1.对空间任一点O，若，则点P、A、B共线的充要条件是什么？＋y＋＝1＋y＝12.设向量，，不共面，若 ，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？2.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为上底面中心，设，求x，y的值.EABCA1B1C1D1D小结作业1向量平行、共面与直线平行、共面是不同的概念，共线向量通过平移可以移到同一条直线上，共面向量通过平移可以移到同一个平面上2空间向量共线定理与平面向量共线定理是一致的，空间向量共面定理是平面向量基本定理的拓展，是判断空间向量是否共面的理论依据3利用空间向量共线定理和共面定理，可以解决立体几何中的共点、共线、共面和平行等问题，这是一种向量方法作业：《自主学习册》P90～P93第2课时313空间向量的数量积运算问题提出，bb≠0平行的充要条件是什么？存在实数λ，使a＝λb，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是什么？存在惟一的有序实数对，y，使p＝a＋yb3.若，则点P、A、B共线的充要条件是什么？＋y＝14.若，则点P在平面ABC内的充要条件是什么？＋y＋＝15空间任意两个向量总是共面的，任何两个平面向量都有数量积，因此，空间任意两个向量也有数量积运算教材自学教材内容：P90～P92，b的夹角是什么概念，b的数量积是如何定义的？特别地，a·a等于什么？3数量积满足哪些运算律？4例2和例3的证明运用了什么方法？在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB为a与b的夹角，记作〈a，b〉.规定0≤〈a，b〉≤πa·b＝|a||b|cos〈a，b〉,特别地a·a＝|a|2（1）λa·b＝λa·b＝a·λb；（2）a·b＝b·a（交换律）；（3）a·b＋c＝a·b＋a·c（分配律）向量法拓展探究，b，〈a，b〉与〈－a，b〉的大小关系如何？互补，b，a·b＝0的充要条件是什么？a＝0或b＝0或a⊥b·b＝a·c，能得出b＝c吗？由a·b＝1，能得出a＝1÷b吗？前者能得出a⊥b－c，向量没有除法都不能4a·b·c与a·b·c相等吗？不相等，数量积不满足结合律知能检测中，已知AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC．DABC中，AD＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠CAD＝45°，∠BAD＝60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值3如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAD＝90°，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求对角线AC1的长BACDB1A1C1D1小结作业1由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间向量的数量积运算与平面向量的数量积运算的理论体系完全一样2数量积的运算性质与实数的运算性质不全相同，应用时须严加区分3用向量替代直线，对于空间线线垂直问题，可以转化为向量的数量积为零来处理，同时，利用向量的数量积还可以计算夹角和距离作业：《自主学习册》P94～P96第3课时314空间向量的正交分解及其坐标表示问题提出1平面向量基本定理是什么？如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e22平面向量的坐标表示的基本原理是什么？在平面直角坐标系中，分别取与轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底，若a＝i＋yj，则把有序数对，y叫做向量a的坐标，记作a＝，y3根据平面向量基本定理，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示，我们设想将这个原理类推到空间，并建立空间向量基本定理及其坐标表示教材自学教材内容：P92～P941空间向量基本定理是什么？2单位正交基底是什么含义？中，怎样理解向量的坐标表示？1空间向量基本定理是什么？若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{，y，}，使得p＝a＋yb＋c{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量三个基向量是两两互相垂直的单位向量2单位正交基底是什么含义？中，怎样理解向量的坐标表示？设e1，e2，e3为有公共起点O的单位正交基底，分别以e1，e2，e3的方向为轴、y轴、轴的正方向建立空间直角坐标系Oy，设p＝e1＋ye2＋e3，则p＝，y，xyzOe2e1e3pp若向量p＝(x，y，z)，作p，则点P的坐标为(x，y，z).拓展探究1如何证明空间向量基本定理？MOABCP2在空间直角坐标系中，设向量p＝e1＋ye2＋e3，其中，y，的几何意义是什么？向量p分别在轴、y轴、轴上的正投影，b，c是空间不共面的三个向量，则a＋yb＋c＝0的充要条件是什么？＝y＝＝0知能检测1.在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是CD1，C1D1的中点，用基底分别表示向量和.BACDB1A1C1D1MN2.如图，在空间直角坐标系中，OA＝OD＝3，OC＝6，四边形OABC为平行四边形，E为△BCD的重心，求向量的坐标.OABCDExyz－2，4，13已知{i，j，}是空间的一个基底，设向量a＝2i－j＋，b＝i＋3j－2，c＝－2i＋j－3，d＝3i＋2j＋5，若d＝a＋yb＋c，求实数，y，的值＝－2，y＝1，＝－3小结作业1空间向量基本定理表明，空间任意一个向量都可以用三个不共面的向量线性表示，并且基向量的系数是惟一的，它是平面向量基本定理的推广，也是空间向量的合成与分解原理2空间任意三个不共面的向量都能构成一个基底，一个基底中的三个基向量不要求起点相同3把空间向量放到空间直角坐标系中进行研究，向量可以用坐标表示，从而使空间向量的几何运算转化为坐标运算作业：《自主学习册》P97～P100第4课时315空间向量运算的坐标表示问题提出1空间向量基本定理是什么？若三个向量a，b，c不共面，则对空间任一向量p，存在有序实数组{，y，}，使得p＝a＋yb＋c2在空间直角坐标系中，确定向量p的坐标的基本原理是什么？设{e1，e2，e3}是与坐标轴同向的单位正交基底，若p＝e1＋ye2＋e3，则p＝，y，3空间向量可以用坐标表示，从而空间向量的运算和向量的关系也可以用坐标表示，其相关结论可以公式化给出教材自学教材内容：P95～P97设向量a＝1，y1，1，b＝2，y2，2＋b，a－b，λa的坐标分别是什么？2a·b，|a|，cos〈a，b〉分别如何计算？，a⊥b的充要条件分别是什么？1，y1，1，点B2，y2，2，则A、B两点间的距离如何计算？设向量a＝1，y1，1，b＝2，y2，2＋b，a－b，λa的坐标分别是什么？a＋b＝1＋2，y1＋y2，1＋2a－b＝1－2，y1－y2，1－2λa＝λ1，λy1，λ12a·b，|a|，cos〈a，b〉分别如何计算？a·b＝12＋y1y2＋12|a|＝cos〈a，b〉＝，a⊥b的充要条件分别是什么？1，y1，1，点B2，y2，2，则A、B两点间的距离如何计算？

a//bx1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R)a⊥bx1x2＋y1y2＋z1z2＝0拓展探究＝1，y1，1，b＝2，y2，2如何证明a＋b＝1＋2，y1＋y2，1＋2？设i，j，为单位正交基底，则a＝1i＋y1j＋1，b＝2i＋y2j＋2，a＋b＝1＋2i＋y1＋y2j＋1＋22.已知点A(x1，y1，z1)，点B(x2，y2，z2)，若，则点P的坐标是什么？学习目标：1、通过类比平面向量能说出空间向量的坐标运算，并进行简