安徽省江南十校2022-2023学年高二下学期5月阶段联考数学试题（含解析）

江南十校2022-2023学年高二下学期5月阶段联考数学满分：150分考试时间：120分钟注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名､准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内.2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整､笔迹清晰.3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸､试题卷上的答题无效.4.保持答题卡卡面清洁，不要折叠､不要弄破､弄波，不准使用涂改液､修正带､刮纸刀.5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.过点且与直线平行的直线方程为（）A.B.C.D.2.已知随机变量，其正态曲线如图所示，若，则（）A.B.C.D.3.我国古代数学家提出的“中国剩余定理”又称“孙子定理”，它是世界数学史上光辉的一页，定理涉及的是整除问题.现有如下一个整除问题：将1至2023这2023个数中，能被3除余1且被5除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为（）A.133项B.134项C.135项D.136项4.圆与圆的位置关系是（）A.外离B.外切C.相交D.内切5.随机变量满足，且，则与的值分别为（）A.B.3，4C.4，3D.6.2023年亚运会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江杭州举行，杭州亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满活力的机器人，组合名为“江南忆”，出自唐朝诗人白居易的名句“江南忆，最忆是杭州”，融合了杭州的历史人文､自然生态和创新基因.现将编号为的6个吉祥物机器人赠送给3名亚运会志愿者留作纪念，若要求每名志愿者至少获得1个吉祥物且1号和2号吉祥物被赠送给同一名志愿者，则不同的赠送方法数为（）A.36B.72C.114D.1507.如图，三棱锥中，所成的角为，则（）A.B.C.D.8.函数在区间上的零点个数为（）A.1B.2C.3D.4二､多选题：共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.关于及其展开式，下列说法正确的是（）A.展开式中各项系数和为1B.展开式中第11项的二项式系数最大C.展开式中第16项为D.当时，除以3的余数是110.设双曲线，其离心率为，虚轴长为，则（）A.上任意一点到的距离之差的绝对值为定值B.双曲线与双曲线：共渐近线C.上的任意一点（不在轴上）与两顶点所成的直线的斜率之积为D.过点作直线交于两点，不可能是弦中点11.已知数列和满足：，记数列的前项和为，则下列结论正确的是（）A.B.数列是等差数列C.D.数列最小项是第2项12.集合（为正整数），集合是的非空子集，定义：中的最大元素与最小元素的差称为集合的长度，则（）A.当时，长度为2的集合的所有元素之和为10B.当时，含有元素1和53且长度为52的四元集合的个数为720C.当时，长度为51的所有集合的元素的个数之和为D.集合的所有子集的元素之和为三､填空题：共4小题，每小题5分，共20分.13.已知是平面的法向量，点在平面内，则点到平面的距离为__________.14.某大学有两个图书馆，学生小李周六随机选择一图书馆阅读，如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.4；如果周六去图书馆，那么周日去图书馆的概率为0.6.小李周日去图书馆的概率为__________.15.已知函数，若，则函数在处的瞬时变化率为__________，若时，恒成立，则实数的取值范围是__________.16.已知抛物线上的点到轴的距离比到焦点的距离小1，过的直线交抛物线于两点，若恒成立，则实数的取值范围是__________.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17.（10分）已知圆过三个点，过点引圆的切线，求：（1）圆的一般方程；（2）圆过点的切线方程.18.（12分）2022年新修订的《中华人民共和国体育法》于2023年1月1日正式施行，其中明确要求国家优先发展青少年和学校体育，推进体育强国和健康中国建设.某校为此积极开展羽毛球运动项目，学生甲和乙经过一段时间训练后进行了一场羽毛球友谊赛，比赛采用3局2胜制（即有一名运动员先胜2局获胜），已知甲每局获胜的的概率为，且双方约定：以取胜的运动员得3分，负者得1分；以取胜的运动员得2分，负者得1分.（1）求甲获胜的概率；（2）比赛结束后，求乙的积分的分布列和数学期望.19.（12分）如图1，平面图形是由矩形和等腰梯形组合而成，.将沿折起，得到图2，其中在上，且平面，连接.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.20.（12分）已知数列的前项和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，证明：.21.（12分）如图，点为椭圆的上顶点，圆，过坐标原点的直线交椭圆于，两点.（1）求直线的斜率之积；（2）设直线与圆交于两点，记直线的斜率分别为，探究是否存在实数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.22.（12分已知函数，其中.（1）求函数的最小值；（2）若有两个极值点，求实数的取值范围，并证明：江南十校2022-2023学年高二下学期5月阶段联考数学参考答案1.【答案】A【解析】直线的斜率为-2，所以所求直线的方程为，即，故选A.2.【答案】D【解析】由图可知，因为，所以，故选D.3.【答案】C【解析】能被3除余1且被5除余2的数就只能是被15除余7的数，故由题意，可得，故，由，得，又，故此数列共有135项，故选C.4.【答案】C【解析】两圆化为标准形式，可得与圆，可知半径，，于是，而故两圆相交，故选.5.【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，所以，故选A.6.【答案】D【解析】由题意1号和2号吉祥物被赠送给同一名志愿者，将1号和2号捆绑在一起，然后将5个吉祥物先分为3组，有两类：，再将分好的三组分配给3名志愿者，不同的方法数为，故选D.7.【答案】B【解析】所以，故选B.8.【答案】B【解析】对函数求导可得，，记的导函数为，则，因为在上，，所以，所以单调递增，注意到，所以必存在使得，于是在上单调递减，在上单调递增，又，所以在区间上必存在一个零点.综上，函数在区间上有两个零点.9.【答案】BD【解析】令，可得展开式中各项系数和为，故错误；因为20是偶数，所以展开式中中间项第11项的二项式系数最大，故B正确；展开式中的第16项为，故C错误；当时，，其中能被3整除，所以除以3的余数是1，故D正确.10.【答案】AB【解析】双曲线的离心率为，虚轴长为，所以，解得，所以双曲线，所以两焦点坐标分别为，由双曲线定义知，故A正确；双曲线的渐近线方程是，双曲线：的渐近线方程也是，故B正确；上的任意一点（不在轴上）设为，则，即，又两顶点为，所以斜率之积为，故C错误；易知点在双曲线的右侧，此区域内存在一条直线交于两点，使是弦中点，故D错误.11.【答案】ACD【解析】代入首项，易知，故A正确；由题意知，两式相减，可得，所以数列是等比数列，故B错误；由数列是等比数列，可得，所以，故C正确；，前4项分别为：，当时，的分子增加的速度比分母快，，所以最小项为第2项，故D正确.12.【答案】ACD【解析】当时，长度为2的集合为，所以和为10，故A正确；当时，含有元素1和53且长度为52的四元集合，则集合为，易知有种，故B错误；集合的长度为51，先考虑最小元素1，最大元素52的集合，分为以下几类：集合含有2个元素：，有种，集合含有3个元素：，有种，，依次类推，集合含有52个元素：，有种，所以满足要求的子集元素个数之和为，运用倒序相加法可得，所以，改变最小值元素与最大元素，同理可得，所有子集的元素的个数之和都是，所以长度为51的所有集合的元素的个数之和为，故C正确；元集合的子集个数为，以元素1为例，其中一半的子集中出现1，另外一半的集合中不出现1，所以1共出现次，同理其他元素也是这种情形，所以集合的所有子集的元素之和为，故D正确.13.【答案】【解析】由题意可得，所以点到平面的距离为14.【答案】0.5【解析】记事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周六去图书馆，事件表示小李周日去图书馆，则，其中与为互斥事件，依题意，所以由全概率公式可得.15.【答案】1（2分）（3分）【解析】（1）当时，，求导可得，则，即在处的瞬时变化率为1.若时，恒成立，当时，显然成立；当时，即，记，则，当时，单调递增；当时，单调递减.所以函数在区间上的最大值为，所以，解得.16.【答案】【解析】因为抛物线上点到轴的距离比到焦点的距离小1，所以由抛物线定义可知，即，所以抛物线的方程为.易知直线的斜率显然存在，设为，则过的直线为，联立，得.设，则，所以，于是，由恒成立，可得恒成立，而，当且仅当，即时，等号成立，取得最小值0，所以，故实数的取值范围是.17.【解析】（1）设圆的一般方程为，代入三个点得，解得所以圆的一般方程为.（2）圆的一般方程化为标准形式为.当切线斜率不存在时，易知切线方程符合题意.当切线斜率存在时，设切线方程为，即，则依题意可得，解得，此时切线方程为，即.综上所述，圆过点的切线方程为和.18.【解析】（1）由题意可知甲获胜，则以取胜或以取胜，所以甲获胜的概率为；（2）乙的积分的取值可能为，，，，所以乙的积分的分布列为123所以数学期望为.19.【解析】（1）证明：由题意易得.因为平面，且均在平面中，所以，因为四边形为矩形，，所以，所以，故；（2）以为坐标原点，的方向分别为轴，轴的正方向，以过点垂直于平面且向上的方向为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以.设平面的一个法向量为，由，令，得.设直线与平面夹角为，于是，所以直线与平面所成角的正弦值为.20.【解析】（（1）由得，当时，，上述两式相减可得，即.当时，，解得，所以，也符合上式.所以数列是等比数列，而，所以数列的通项公式为；（2）证明：由（1）得，于是，所以.21.【答案】（1）设，则，则直线的斜率之积；（2）由（1）知，直线的方程为.联立，消去可得，因为均在椭圆上，所以，即，所以，所以.设，联立，消去可得