圆锥曲线方程知识点总结

§8.圆锥曲线方程知识要点一、椭圆方程.PfJ+Iff\=2aR\FF2方程为椭圆1.椭圆方程的第一概念：IpfJ+Iff\=2ayFf?无轨迹1.椭圆方程的第一概念：Pf1+Iff1=2a=Iff以f,f为端点的线段121212⑴①椭圆的标准方程：i.中心在原点，核心在x轴上：止丘1(b0).+=1(aRbR0)a2b2=1(aRbR0)ii.中心在原点，核心在y轴上：出+=1(aRbR0)a2b2②一般方程：Ax2+By2=1(AR0,BR0).③椭圆的标准方程：比+疋a2b2=1的参数方程为Jx=acos9y=bsin9■象限9应是属于oy9y—).2⑵①极点：(土a,0)(0,±b)或(0,±a)(±b,0).轴：对称轴：x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2b.核心：(―c,0)(c,0)或(0,-c)(0,c).焦距：IfF21=2c,c=<a2―b2.22准线：x=±a-或y=±a-.cc离心率：e――(0yey1)・a⑧通径：垂直于x轴且过核心的弦叫做通经.坐标：d—型(―c,竺)和(C,叫a2aaTOC\o"1-5"\h\z22I⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆—+——1(aRbR0)的离心率是e――(c=耳a2―b2)，方程a2b2aC+丘—t(t是大于0的参数，aRbR0)的离心率也是e—-咱们称此方程为共离心率的椭圆系方程.a2b2a229⑸若P是椭圆：—+k—1上的点.F,F为核心，若ZFFF=9，则APFF的面积为b2tan-(用a2b21212122余弦定理与IffJ+IffJ—2a可得).若是双曲线，则面积为b2.cot色.(bcosa,bsin(bcosa,bsina)(acosa,asina)二、双曲线方程.1.双曲线的第一概念Iff」—IffJ|—2ayIff2方程为双曲线IffJ—IffJ|—2arIff21无轨迹IffJ—IffJl—2a—Iff2以f『f2的一个端点的一条射线N的轨迹是椭圆

⑴①双曲线标准方程：-——=1(a,b》0),-——=1(a,b>0).a2b2a2b2一般方程：Ax2+⑴①双曲线标准方程：-——=1(a,b》0),-——=1(a,b>0).a2b2a2b2一般方程：Ax2+Cy2=1(ACY0).(2)①i.核心在x轴上:极点：(a,0),(—a,0)核心：(c,0),(-c,0)准线方程x=±—渐近线方程：—±—=0或———caba2-=0b2ii.核心在y轴上：极点：2(0,—a),(0,a).核心：(0,c),(0,—c).准线方程：y=±-c2.渐近线方程：丄±兰=0或丄aba2x2-=0,b2x=btan0y=asec0参数方程：＜y=btan0②轴x,y为对称轴，实轴长为2a,虚轴长为2b,焦距2c.③离心率e=—2a2④准线距比(两准线的距离)；通径型2a2④准线距比(两准线的距离)；通径型ca⑤参数关系c2=a2+b2,e=—.a⑶等轴双曲线：双曲线x2—y2=±a2称为等轴双曲线，其渐近线方程为y=±x，离心率e二込.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线—=X与一^—=_九互为共轭双曲线，它们具有一路的渐近线：-^—=0.a2b2a2b2a2b2⑸共渐近线的双曲线系方程：圧—丘=X0丰0)的渐近线方程为圧—丘=0若是双曲线的渐近线为a2b2a2b222-±丄=0时，它的双曲线方程可设为二—「=X(Xh0).aba2b2例如：若双曲线一条渐近线为y=1x且过p(3,—求双曲线的方程？解：令双曲线的方程为：^4—y2=X(X工0)，代入(3,—2)得^8-""2=匸⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条；区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条；区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条；区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条；区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：1.过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数量可能有0、二、3、4条.2•若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求肯定直线的斜率可用代入“△”法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.22⑺若P在双曲线匚—上-=1，则常常利用结论a2b21：从双曲线一个核心到另一条渐近线的距离等于b.

三、抛物线方程.3.设p0，抛物线的标准方程、类型及其几何性质y2=2pxy2=-2pxx2=2pyx2=-2py图形•▲:TK7*隹占八\、八、、F炸，0）F(-彳，0)F（巧）f®-扌）准线x=-卫2x=22py=-1py=亍范围x>0,yeRx<0,yeRxeR,y>0xeR,y<0对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e=1隹占八\、八、、l—F=2+x1町f-1|pf|=2+y1l—F=2+1y1注：①ay2+by+c=x极点(4a^-存2：P到核心的距离为m=2：P到核心的距离为m=n,则P到两准线的距离比为m：n.简证：生=

d2PF2e②y2=2px（p丰0）则核心半径|pF=x+—；x2=2py（p丰0）则核心半径为亦1=2③通径为2p,这是过核心的所有弦中最短的.④y2=2px(或x2=2py)的参数方程为2"Iy=2ptx=2pt)y=2pt2t为参数）.四、圆锥曲线的统一概念..4.圆锥曲线的统一概念：平面内到定点F和定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹.当0YeY1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当eA1时，轨迹为双曲线；当e=0时，轨迹为圆(e=—，当c=0,a=b时).a注：椭圆、双曲线、抛物线的标准方程与几何性质椭圆双曲线抛物线定义1.到两定点F],F2的距离之和为定值2a(2a>IF]F2l)的点的轨迹i.到两定点f1,f2的距离之差的绝对值为定值2a(0v2av|F]F2|)的点的轨迹2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(Ovevl)2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(e>1)与定点和直线的距离相等的点的轨迹.方程标准方程x2y21,——^―=1(a〉b>0)a2b2x2y2——一—=1(a>0,b>0)a2b2y2=2px参数方程(x=acos0[y=bsin0(参数e为离心角)(x=asec0[y=btan0(参数0为离心角){x:2pt2(t为参数)范围—a<x<a，—b<y<b|x|>a，yeRx>0中心原点O(0,0)原点O(0,0)顶点(a,0),(—a,0),(0,b),(0,—b)(a,0),(—a,0)(0,0)对称轴x轴，y轴；长轴长2a，短轴长2bx轴，y轴;实轴长2a,虚轴长2b.x轴隹占八\、八、、F](c,0),F2(—c,0)F1(c,0),F2(—c,0)F(彳,0)焦距2c(c=pa2—b2)2c(c=Pa2+b2)离心率e=—(0<e<1)ae=—(e>1)ae=1准线a2x=土ca2x=土cx=-匕2渐近线by=土一xa焦半径r=a土exr=土(ex土a)r=x+匕2通径2b2a2b2a2P焦参数a2ca2cP圆锥曲线一.大体概念练习：1、已知点P在抛物线y2二4x上，那么点P到点Q（2,—l）的距离与点P到抛物线核心距离之和取得最小值时，点P的坐标为2、已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点，则点P到点（0,2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为3、抛物线y=ax2（a丰0）的核心坐标是，准线方程是。核心和准线的形式统一性二、各类不同的考法考点一：考方程形式练习：一、m>n>0”是”方程mx2+ny2=1表示核心在y轴上的椭圆”的（）（A）充分而没必要要条件（B）必要而不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也没必要要条件高TOC\o"1-5"\h\zx2y21二、设椭圆一^―=1（m>0,n>0）的核心与抛物线y2=8x的核心相同，离心率为怎，则此m2n22椭圆的方程为—3、曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的两倍，则m二4、若是x2+ky2=2表示核心在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是x2y21五、椭圆+—=1的离心率为7；■，则k的值为k+892x2y2x2y26、当5<m<6时，曲线+=1与曲线+=1的（）10-m6-m5-m9-mA・离心率相等B.焦距相等C.核心相同D.形状相同考点二：求圆锥曲线的方程，①直译法；②代定系数法；③概念法；④已知渐近线方程为y=kx，求双曲线方程练习：一、两点A（-2，0），B（l，0），若是动点P知足IPA1=21PBI，则点P的轨迹所包围的图形的面积是—►—►—►—►二、设meR,在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx,y+1）,向量b=（x,y-1）,a丄b,动点三个极点,则双曲线的离心率为三个极点,则双曲线的离心率为M(x,y)的轨迹为E.求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状;3、已知椭圆C的中心在原点，核心在x轴上，以两个核心和短轴的两个端点为极点的圆边形是一个面积为8的正方形，则椭圆C的方程：4、设椭圆C的离心率为；5，核心在x轴上且长轴长为26.若曲线C上的点到椭圆C的两个核心的距11321离的差的绝对值等于8,则曲线C的标准方程为2五、已知双曲线的两个核心为F(-\5o)，FG5,0)，P是此双曲线上的一点，且PF丄PF，1212IPFI•IPF1=2，则该双曲线的方程12c考点三、考圆锥曲线的方程的核心、渐近线、长短轴、离心率幺=—、核心三角形、抛物线的准线方a程等大体概念：特别是求离心率(或范围)，①取得一个关于a、b、c的等量关系式(或不等式)；②把b用a、c代替，取得关于a、c方程(或不等式)；③同除a^化为关于e方程(或不等式)；x2y2练习：一、双曲线丁—飞-=1的渐近线与圆(X—3)2+y2=r2(r>0)相切，贝ijr=63x2y2二、椭圆〒+斗=1的核心为F,F，点P在椭圆上，若IPF1=4，贝川PF1=；ZFPF92121212的大小为x2y23、已知双曲线-一=1(b>0)的左、右核心别离为F、F，其一条渐进线方程为y=x，点2b2