第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词学习要求:1了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义2理解全称量词与存在量词的意义3能正确地对含有一个量词的命题进行否定1简单的逻辑联结词1命题中的①或

、且、非叫做逻辑联结词2命题p∧q、p∨q、¬p的真假判断:必备知识

·

整合

pqp∧qp∨q¬p真真②真

真假真假③假

真假假真假真④真

假假假⑤假

⑥真

▶提醒

逻辑联结词与集合的关系:“或、且、非”三个逻辑联结词对应着

集合运算中的“并、交、补”,因此,常常借助集合的“并、交、补”的意义

来解答由“或、且、非”三个逻辑联结词构成的命题问题量词名称常见短语符号表示全称量词所有、一切、任意、全部、每

一个等⑦

∀

存在量词存在一个、至少一个、有些、

某些等⑧

∃

2全称量词与存在量词3全称命题和特称命题名称形式

全称命题特称命题结构对M中的任意一个x,有p(x)成立存在M中的一个x0,使p(x0)成立简记⑨

∀x∈M,p(x)

⑩

∃x0∈M,p(x0)

4含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M,p(x)

∃x0∈M,¬p(x0)

∃x0∈M,p(x0)

∀x∈M,¬p(x)

▶提醒

含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词,否结论”知识拓展1记忆口诀:1“p或q”,有真则真;2“p且q”,有假则假;3“¬p”,真假相反∧q的否定是¬p∨¬q;命题p∨q的否定是¬p∧¬q1判断正误正确的打“√”,错误的打“✕”1命题“5>6或5>2”是假命题 2p∧q为真的充要条件是p为真或q为真 3“长方形的对角线相等”是特称命题 4命题“菱形的对角线相等”的否定是“菱形的对角线不相等”5若命题p,q中至少有一个是真命题,则p∨q是真命题 6若命题¬p∧q是假命题,则命题p,q中至多有一个是真命题 ✕✕✕✕√✕2人教A版必修第一册P30例4改编命题“对任意的∈R,33-224<0”的否

定是 ∈R,33-224≥0∉R,33-234≥0∈R,33-224≥0∈R,33-224<0C3命题“∃0∈R,01<0或 -0>0”的否定是 A∃0∈R,01≥0或 -0≤0B∀∈R,1≥0或2-≤0C∃0∈R,01≥0且 -0≤0D∀∈R,1≥0且2-≤0D4若命题“∃0∈, 30a>0”为假命题,则实数a的取值范围是

-∞,-4]解析由题意,命题“∃0∈, 30a>0”为假命题,可知“∀∈,23a≤0”为真命题,令g=23a,则∀∈,g≤0恒成立,因为g=23a图象的对称轴为直线=- ,所以g在∈上单调递增,所以只需g1≤0即可,即4a≤0,解得a≤-4,即a∈-∞,-4]:若>y,则-<-y;命题q:若 > ,则<y在命题①p∧q;②p∨q;③p∧¬q;④¬p∨q中,真命题是

填序号②③考点一全称命题与特称命题 角度一全称命题与特称命题的否定关键能力

·

突破

1命题“∀∈R,fg≠0”的否定是 A∀∈R,f=0且g=0B∀∈R,f=0或g=0C∃0∈R,f0=0且g0=0D∃0∈R,f0=0或g0=0D2命题“所有实数的平方是非负实数”的否定是 A所有实数的平方是负实数B不存在一个实数,它的平方是负实数C存在一个实数,它的平方是负实数D不存在一个实数,它的平方是非负实数C3命题“全等三角形的面积一定都相等”的否定是 A全等三角形的面积不一定都相等B不全等三角形的面积不一定都相等C存在两个不全等三角形,其面积相等D存在两个全等三角形,其面积不相等D角度二全称命题与特称命题的真假判断4多选题关于下列命题,真命题是 A∀∈R,e>2

B∃0∈R,lg0=0C∀∈ ,>sin

D∃0∈R,sin0cos0= BC5下列命题为真命题的是 A∃0∈R, ≤0-2B∀∈R,2>2-2= 是定义域上的减函数D能“被2整除的整数都是偶数”的否定是“至少存在一个能被2整除的整

数不是偶数”D>0,函数f=a2bc,若1满足关于的方程2ab=0,则下列选项中的

命题为假命题的是 A∃0∈R,f0≤f1B∃0∈R,f0≥f1C∀∈R,f≤f1D∀∈R,f≥f1C:∃0∈R, ≤0,命题q:∀∈0,∞,>sin,其中真命题是

;命题p的否定是

q∀∈R,2>0方法技巧1对全称命题与特称命题进行否定的方法1改变量词:确定命题所含量词的类型,省去量词的要结合命题的含义加上

量词,再对量词进行改变2否定结论:对原命题的结论进行否定2全称命题与特称命题的真假判断的方法1要判断一个全称命题是真命题,必须对限定集合M中的每个元素验证中的一个=0,使得中,至少能找到一个=0,

使p0成立,否则,这一特称命题就是假命题▶提醒因为命题p与¬p的真假性相反因此无论是全称命题,还是特称命题,

当其真假性不容易正面判断时,可先判断其否定的真假典例11已知命题p:∀∈R,2<3;命题q:∃∈R,3=1-2,则下列命题中为真

命题的是 Ap∧q

B¬p∧qCp∧¬q

D¬p∧¬q2若命题p:对任意∈R,总有2>0;命题q:“>1”是“>2”的充分不必要条

件,则在下列命题中为真命题的是 Ap∧¬q

B¬p∧¬qC¬p∧q

Dp∧q考点二含逻辑联结词的命题的真假判断BA解析1容易判断当≤0时,2≥3,故命题p为假命题,分别作出函数y=3,y=1-

2的图象,易知命题q为真命题根据真值表易判断¬p∧q为真命题

2由指数函数的性质可知,命题p是真命题,则命题¬p是假命题;显然,

“>1”是“>2”的必要不充分条件,即命题q是假命题,命题¬q是真命题所

以命题p∧¬q是真命题规律总结1判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键及步骤1判断含有逻辑联结词的命题的真假的关键是正确理解“或”“且”

“非”的含义2判断命题真假的步骤:确定命题的构成形式⇨判断简单命题的真假⇨判断复合命题的真假2含有逻辑联结词的命题的真假的等价关系1p∨q真⇔p,q至少一个真⇔¬p∧¬q假2p∨q假⇔p,q均假⇔¬p∧¬q真3p∧q真⇔p,q均真⇔¬p∨¬q假4p∧q假⇔p,q至少一个假⇔¬p∨¬q真5¬p真⇔p假;¬p假⇔p真:∀>0,ln1>0;命题q:若a>b,则a2>b2下列命题为真命题的是 

Ap∧q

Bp∧¬qC¬p∧q

D¬p∧¬qB解析

当>0时,1>1,因此ln1>0,即p为真命题;取a=1,b=-2,这时满足

a>b,但显然a2>b2不成立,2“p或q为真命题”是“p且q为真命题”的

条件必要不充分解析

p或q为真命题⇒/p且q为真命题,p且q为真命题⇒p或q为真命题考点三由命题的真假确定参数的取值范围 典例21已知命题“∃∈R,使22a-1 ≤0”是假命题,则实数a的取值范围是 A-∞,-1

B-1,3C-3,∞

D-3,1B2已知a>0,且a≠1,命题p:函数y=loga1在∈0,∞内单调递减,命题q:曲

线y=22a-31与轴交于不同的两点若“p∨q”为假,则a的取值范围是

 A 

B ∪ C 

D ∪ A解析1因为命题“∃∈R,使22a-1 ≤0”是假命题,所以22a-1 >0恒成立,所以Δ=a-12-4×2× <0,解得-1<a<3,故实数a的取值范围是-1,3故选B2当0<a<1时,函数y=loga1在0,∞内单调递减;当a>1时,函数y=loga1

在0,∞为假,则a>=22a-31与轴交于不

同的两点等价于2a-32-4>0,即a< 或a> 若q为假,则a∈ 若使“p∨q”为假,则a∈1,∞∩ ,即a∈ 名