求极限的13种方法

求极限的13种方法（简叙）龘龖龍极限概念与求极限的运算贯穿了高等数学课程的始终，极限思想亦是高等数学的核心与基础，因此，全面掌握求极限的方法与技巧是高等数学的基本要求。本篇较为全面地介绍了求数列极限与函数极限的各种方法，供同学参考。利用恒等变形求极限利用恒等变形求极限是最基础的一种方法，但恒等变形灵活多变，令人难以琢磨。常用的的恒等变形有：分式的分解、分子或分母有理化、三角函数的恒等变形、某些求和公式与求积公式的利用等。例1、求极限，其中分析由于积的极限等于极限的积这一法则只对有限个因子成立，因此，应先对其进行恒等变形。解因为===当时，而，故=利用变量代换求极限利用变量代换求极限的主要目的是化简原表达式，从而减少运算量，提高运算效率。常用的变量代换有倒代换、整体代换、三角代换等。例2、求极限，其中m,n为正整数。分析这是含根式的（）型未定式，应先将其利用变量代换进行化简，再进一步计算极限。解令原式=利用对数转换求极限利用对数转换求极限主要是通过公式进行恒等变形，特别的情形，在（）型未定式时可直接运用例3、求极限解原式=利用夹逼准则求极限利用夹逼准则求极限主要应用于表达式易于放缩的情形。例4、求极限分析当我们无法或不易把无穷多个因子的积变为有限时，可考虑使用夹逼准则。解因为，且不等式两端当趋于无穷时都以0为极限，所以=0利用单调有界准则求极限利用单调有界准则求极限主要应用于给定初始项与递推公式利用洛必达法则求极限适用于型未定式，其它类型未定式也可通过恒等变形转化为型。洛必达法则使用十分方便，但使用时注意检查是否符合洛必达法则的使用条件。例8、求极限解原式=注：连续两次使用洛必达法则利用微分中值定理求极限利用微分中值定理求极限的重点是学会灵活应用拉格朗日中值定理，即。例9、求极限分析若对函数，在区间上使用拉格朗日中值定理则：解由分析可知又所以=利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限利用泰勒公式（麦克劳林公式展开式）求极限是求极限的又一极为重要的方法。与其它方法相比，泰勒公式略显繁琐，但实用性非常强。例10、求极限分析若使用洛必达法则，计算起来会相当麻烦；同时分子并非两因式之积，等价无穷小也不适用，此时可以考虑用泰勒公式。解故原式=利用定积分的定义求极限由定积分的定义知，如果f(x)在上可积，那么，我们可以对用特殊的分割方法（如n等分），并在每一个子区间特殊地取点（如取每个子区间的左端点或右端点），所得积分和的极限仍是f(x)在上的定积分。所以，如果遇到某些求和式极限的问题，能够将其表示为某个可积函数的积分和，就能用定积分来求极限。这里关键在于根据所给和式确定被积函数和积分区间。例11、求极限解从和式看，若选被积函数为,则因分点：原式==利用级数收敛的必要条件求极限级数具有以下性质：若级数收敛，则。所以对于某些极限可以将函数f(n)作为级数的一般项，只需证明级数收敛，便有=0.例12、求极限解令故=0利用幂级数的和函数求极限当数列本身就是某个级数的部分和数列时，求该数列的极限就成了求相应级数的和。此时常常可以辅助性地构造一个函数在某点的值。例13、求极限