2014年-2017年高考真题第五章平面向量

./第五章平面向量考点1平面向量的概念及坐标运算1.<2015·新课标全国Ⅰ,7>设D为△ABC所在平面内一点,eq\o<BC,\s\up6<→>>＝3eq\o<CD,\s\up6<→>>,则<>A.eq\o<AD,\s\up6<→>>＝－eq\f<1,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<4,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>B.eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\f<4,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>C.eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\f<4,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<1,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>D.eq\o<AD,\s\up6<→>>＝eq\f<4,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\f<1,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>1.A[∵eq\o<BC,\s\up6<→>>＝3eq\o<CD,\s\up6<→>>,∴eq\o<AC,\s\up6<→>>－eq\o<AB,\s\up6<→>>＝3<eq\o<AD,\s\up6<→>>－eq\o<AC,\s\up6<→>>>,即4eq\o<AC,\s\up6<→>>－eq\o<AB,\s\up6<→>>＝3eq\o<AD,\s\up6<→>>,∴eq\o<AD,\s\up6<→>>＝－eq\f<1,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<4,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>.]2.<2015·XX,8>已知点A,B,C在圆x2＋y2＝1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为<2,0>,则|eq\o<PA,\s\up6<→>>＋eq\o<PB,\s\up6<→>>＋eq\o<PC,\s\up6<→>>|的最大值为<>A.6B.7C.8D.92.B[由A,B,C在圆x2＋y2＝1上,且AB⊥BC,∴AC为圆直径,故eq\o<PA,\s\up6<→>>＋eq\o<PC,\s\up6<→>>＝2eq\o<PO,\s\up6<→>>＝<－4,0>,设B<x,y>,则x2＋y2＝1且x∈[-1,1],eq\o<PB,\s\up6<→>>＝<x－2,y>,所以eq\o<PA,\s\up6<→>>＋eq\o<PB,\s\up6<→>>＋eq\o<PC,\s\up6<→>>＝<x-6,y>.故|eq\o<PA,\s\up6<→>>＋eq\o<PB,\s\up6<→>>＋eq\o<PC,\s\up6<→>>|＝eq\r<－12x＋37>,∴x＝－1时有最大值eq\r<49>＝7,故选B.]3.<2014·XX,8>在下列向量组中,可以把向量a＝<3,2>表示出来的是<>A.e1＝<0,0>,e2＝<1,2>B.e1＝<－1,2>,e2＝<5,－2>C.e1＝<3,5>,e2＝<6,10>D.e1＝<2,－3>,e2＝<－2,3>3.B[法一若e1＝<0,0>,e2＝<1,2>,则e1∥e2,而a不能由e1,e2表示,排除A；若e1＝<－1,2>,e2＝<5,－2>,因为eq\f<－1,5>≠eq\f<2,－2>,所以e1,e2不共线,根据共面向量的基本定理,可以把向量a＝<3,2>表示出来,故选B.法二因为a＝<3,2>,若e1＝<0,0>,e2＝<1,2>,不存在实数λ,μ,使得a＝λe1＋μe2,排除A；若e1＝<－1,2>,e2＝<5,－2>,设存在实数λ,μ,使得a＝λe1＋μe2,则<3,2>＝<－λ＋5μ,2λ－2μ>,所以eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<3＝－λ＋5μ,,2＝2λ－2μ,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<λ＝2,,μ＝1.>>所以a＝2e1＋e2,故选B.]4.<2014·XX,10>在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|＝|b|＝1,a·b＝0,点Q满足eq\o<OQ,\s\up6<→>>＝eq\r<2><a＋b>.曲线C＝{P|eq\o<OP,\s\up6<→>>＝acosθ＋bcosθ,0≤θ<2π},区域Ω＝{P|0<r≤|eq\o<PQ,\s\up6<→>>|≤R,r<R}.若C∩Ω为两段分离的曲线,则<>A.1<r<R<3B.1<r<3≤RC.r≤1<R<3D.1<r<3<R4.A[由已知可设eq\o<OA,\s\up6<→>>＝a＝<1,0>,eq\o<OB,\s\up6<→>>＝b＝<0,1>,P<x,y>,则eq\o<OQ,\s\up6<→>>＝<eq\r<2>,eq\r<2>>,曲线C＝{P|eq\o<OP,\s\up6<→>>＝<cosθ,sinθ>,0≤θ<2π},即C：x2＋y2＝1,区域Ω＝{P|0<r≤|eq\o<PQ,\s\up6<→>>|≤R,r<R}表示圆P1：<x－eq\r<2>>2＋<y－eq\r<2>>2＝r2与圆P2：<x－eq\r<2>>2＋<y－eq\r<2>>2＝R2所形成的圆环,如图所示,要使C∩Ω为两段分离的曲线,只有1<r<R<3.]5.〔2017•XX,15已知向量、满足||=1,||=2,则|+|+|﹣|的最小值是________,最大值是________．5.4；记∠AOB=α,则0≤α≤π,如图,由余弦定理可得：|+|=,|﹣|=,则x2+y2=10〔x、y≥1,其图象为一段圆弧MN,如图,令z=x+y,则y=﹣x+z,则直线y=﹣x+z过M、N时z最小为zmin=1+3=3+1=4,当直线y=﹣x+z与圆弧MN相切时z最大,由平面几何知识易知zmax即为原点到切线的距离的倍,也就是圆弧MN所在圆的半径的倍,所以zmax=×=．综上所述,|+|+|﹣|的最小值是4,最大值是．故答案为：4、．6.〔2017•XX,12如图,在同一个平面内,向量,,的模分别为1,1,,与的夹角为α,且tanα=7,与的夹角为45°．若=m+n〔m,n∈R,则m+n=________．6.3如图所示,建立直角坐标系．A〔1,0．由与的夹角为α,且tanα=7．∴cosα=,sinα=．∴C．cos〔α+45°=〔cosα﹣sinα=．sin〔α+45°=〔sinα+cosα=．∴B．∵=m+n〔m,n∈R,∴=m﹣n,=0+n,解得n=,m=．则m+n=3．故答案为：3．7.<2016·全国Ⅰ,13>设向量a＝<m,1>,b＝<1,2>,且|a＋b|2＝|a|2＋|b|2,则m＝________.7.－2[由|a＋b|2＝|a|2＋|b|2,得a⊥b,所以m×1＋1×2＝0,得m＝－2.]8.<2015·新课标全国Ⅱ,13>设向量a,b不平行,向量λa＋b与a＋2b平行,则实数λ＝____________.8.eq\f<1,2>[∵向量a,b不平行,∴a＋2b≠0,又向量λa＋b与a＋2b平行,则存在唯一的实数μ,使λa＋b＝μ<a＋2b>成立,即λa＋b＝μa＋2μb,则得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<λ＝μ,,1＝2μ,>>解得λ＝μ＝eq\f<1,2>.]9.<2015·北京,13>在△ABC中,点M,N满足eq\o<AM,\s\up6<→>>＝2eq\o<MC,\s\up6<→>>,eq\o<BN,\s\up6<→>>＝eq\o<NC,\s\up6<→>>.若eq\o<MN,\s\up6<→>>＝xeq\o<AB,\s\up6<→>>＋yeq\o<AC,\s\up6<→>>,则x＝________；y＝________.9.eq\f<1,2>－eq\f<1,6>[eq\o<MN,\s\up6<→>>＝eq\o<MC,\s\up6<→>>＋eq\o<CN,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>＋eq\f<1,2>eq\o<CB,\s\up6<→>>＝eq\f<1,3>eq\o<AC,\s\up6<→>>＋eq\f<1,2><eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\o<AC,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,2>eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\f<1,6>eq\o<AC,\s\up6<→>>,∴x＝eq\f<1,2>,y＝－eq\f<1,6>.]10.<2015·XX,6>已知向量a＝<2,1>,b＝<1,－2>,若ma＋nb＝<9,－8><m,n∈R>,则m－n的值为________.10.－3[∵a＝<2,1>,b＝<1,-2>,∴ma＋nb＝<2m＋n,m－2n>＝<9,-8>,即eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<2m＋n＝9,,m－2n＝－8,>>解得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<m＝2,,n＝5,>>故m－n＝2－5＝－3.]11.<2014·新课标全国Ⅰ,15>已知A,B,C为圆O上的三点,若eq\o<AO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<AC,\s\up6<→>>>,则eq\o<AB,\s\up6<→>>与eq\o<AC,\s\up6<→>>的夹角为________.11.90°[由eq\o<AO,\s\up6<→>>＝eq\f<1,2><eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<AC,\s\up6<→>>>可知O为BC的中点,即BC为圆O的直径,又因为直径所对的圆周角为直角,所以∠BAC＝90°,所以eq\o<AB,\s\up6<→>>与eq\o<AC,\s\up6<→>>的夹角为90.]12.<2014·XX,16>在平面直角坐标系中,O为原点,A<－1,0>,B<0,eq\r<3>>,C<3,0>,动点D满足|eq\o<CD,\s\up6<→>>|＝1,则|eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＋eq\o<OD,\s\up6<→>>|的最大值是________.12.1＋eq\r<7>[设D<x,y>,由|eq\o<CD,\s\up6<→>>|＝1,得<x－3>2＋y2＝1,向量eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＋eq\o<OD,\s\up6<→>>＝<x－1,y＋eq\r<3>>,故|eq\o<OA,\s\up6<→>>＋eq\o<OB,\s\up6<→>>＋eq\o<OD,\s\up6<→>>|＝eq\r<〔x－12＋〔y＋\r<3>2>的最大值为圆<x－3>2＋y2＝1上的动点到点<1,－eq\r<3>>距离的最大值,其最大值为圆<x－3>2＋y2＝1的圆心<3,0>到点<1,－eq\r<3>>的距离加上圆的半径,即eq\r<〔3－12＋〔0＋\r<3>2>＋1＝1＋eq\r<7>.]考点2平面向量的数量积及其应用1.〔2017•北京,6设,为非零向量,则"存在负数λ,使得=λ"是•＜0"的〔A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1.A,为非零向量,存在负数λ,使得=λ,则向量,共线且方向相反,可得•＜0．反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足•＜0,而=λ不成立．∴,为非零向量,则"存在负数λ,使得=λ"是•＜0"的充分不必要条件．故选A．2.〔2017•新课标Ⅲ,12在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ,则λ+μ的最大值为〔A.3B.2C.D.22.A如图：以A为原点,以AB,AD所在的直线为x,y轴建立如图所示的坐标系,则A〔0,0,B〔1,0,D〔0,2,C〔1,2,∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上,设圆的半径为r,∵BC=2,CD=1,∴BD==,∴BC•CD=BD•r,∴r=,∴圆的方程为〔x﹣12+〔y﹣22=,设点P的坐标为〔cosθ+1,sinθ+2,∵=λ+μ,∴〔cosθ+1,sinθ﹣2=λ〔1,0+μ〔0,2=〔λ,2μ,∴cosθ+1=λ,sinθ+2=2μ,∴λ+μ=cosθ+sinθ+2=sin〔θ+φ+2,其中tanφ=2,∵﹣1≤sin〔θ+φ≤1,∴1≤λ+μ≤3,故λ+μ的最大值为3,故选A.3.〔2017•XX,10如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于点O,记I1=•,I2=•,I3=•,则〔A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33.C∵AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,∴AC=2,∴∠AOB=∠COD＞90°,由图象知OA＜OC,OB＜OD,∴0＞•＞•,•＞0,即I3＜I1＜I2,故选C．4.〔2017•新课标Ⅱ,12已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则•〔+的最小值是〔A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣14.B建立如图所示的坐标系,以BC中点为坐标原点,则A〔0,,B〔﹣1,0,C〔1,0,设P〔x,y,则=〔﹣x,﹣y,=〔﹣1﹣x,﹣y,=〔1﹣x,﹣y,则•〔+=2x2﹣2y+2y2=2[x2+〔y﹣2﹣]∴当x=0,y=时,取得最小值2×〔﹣=﹣,故选B.5.<2016·XX,10>在平面内,定点A,B,C,D满足|eq\o<DA,\s\up6<→>>|＝|eq\o<DB,\s\up6<→>>|＝|eq\o<DC,\s\up6<→>>|,eq\o<DA,\s\up6<→>>·eq\o<DB,\s\up6<→>>＝eq\o<DB,\s\up6<→>>·eq\o<DC,\s\up6<→>>＝eq\o<DC,\s\up6<→>>·eq\o<DA,\s\up6<→>>＝－2,动点P,M满足|eq\o<AP,\s\up6<→>>|＝1,eq\o<PM,\s\up6<→>>＝eq\o<MC,\s\up6<→>>,则|eq\o<BM,\s\up6<→>>|2的最大值是<>A.eq\f<43,4>B.eq\f<49,4>C.eq\f<37＋6\r<3>,4>D.eq\f<37＋2\r<33>,4>5.B[由题意,|eq\o<DA,\s\up6<→>>|＝|eq\o<DB,\s\up6<→>>|＝|eq\o<DC,\s\up6<→>>|,所以D到A,B,C三点的距离相等,D是△ABC的外心；eq\o<DA,\s\up6<→>>·eq\o<DB,\s\up6<→>>＝eq\o<DB,\s\up6<→>>·eq\o<DC,\s\up6<→>>＝eq\o<DC,\s\up6<→>>·eq\o<DA,\s\up6<→>>＝-2⇒eq\o<DA,\s\up6<→>>·eq\o<DB,\s\up6<→>>－eq\o<DB,\s\up6<→>>·eq\o<DC,\s\up6<→>>＝eq\o<DB,\s\up6<→>>·<eq\o<DA,\s\up6<→>>－eq\o<DC,\s\up6<→>>>＝eq\o<DB,\s\up6<→>>·eq\o<CA,\s\up6<→>>＝0,所以DB⊥AC,同理可得,DA⊥BC,DC⊥AB,从而D是△ABC的垂心,∴△ABC的外心与垂心重合,因此△ABC是正三角形,且D是△ABC的中心.eq\o<DA,\s\up6<→>>·eq\o<DB,\s\up6<→>>＝|eq\o<DA,\s\up6<→>>||eq\o<DB,\s\up6<→>>|cos∠ADB＝|eq\o<DA,\s\up6<→>>||eq\o<DB,\s\up6<→>>|×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>＝－2⇒|eq\o<DA,\s\up6<→>>|＝2,所以正三角形ABC的边长为2eq\r<3>；我们以A为原点建立直角坐标系,B,C,D三点坐标分别为B<3,－eq\r<3>>,C<3,eq\r<3>>,D<2,0>,由|eq\o<AP,\s\up6<→>>|＝1,设P点的坐标为<cosθ,sinθ>,其中θ∈[0,2π>,而eq\o<PM,\s\up6<→>>＝eq\o<MC,\s\up6<→>>,即M是PC的中点,可以写出M的坐标为Meq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3＋cosθ,2>,\f<\r<3>＋sinθ,2>>>则|eq\o<BM,\s\up6<→>>|2＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<cosθ－3,2>>>eq\s\up12<2>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<3\r<3>＋sinθ,2>>>eq\s\up12<2>＝eq\f<37＋12sin\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<θ－\f<π,6>>>,4>≤eq\f<37＋12,4>＝eq\f<49,4>,当θ＝eq\f<2,3>π时,||2取得最大值eq\f<49,4>.故选B.6.<2016·XX,8>已知非零向量m,n满足4|m|＝3|n|,cos〈m,n〉＝eq\f<1,3>.若n⊥<tm＋n>,则实数t的值为<>A.4B.－4C.eq\f<9,4>D.－eq\f<9,4>6.B[∵n⊥<tm＋n>,∴n·<tm＋n>＝0,即t·m·n＋n2＝0,∴t|m||n|cos〈m,n〉＋|n|2＝0,由已知得t×eq\f<3,4>|n|2×eq\f<1,3>＋|n|2＝0,解得t＝－4,故选B.]7.<2016·全国Ⅲ,3>已知向量eq\o<BA,\s\up6<→>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>>>,eq\o<BC,\s\up6<→>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>,\f<1,2>>>,则∠ABC＝<>A.30°B.45°C.60°D.120°7.A[|eq\o<BA,\s\up6<→>>|＝1,|eq\o<BC,\s\up6<→>>|＝1,cos∠ABC＝eq\f<\o<BA,\s\up6<→>>·\o<BC,\s\up6<→>>,|\o<BA,\s\up6<→>>|·|\o<BC,\s\up6<→>>|>＝eq\f<\r<3>,2>.]8.<2016·全国Ⅱ,3>已知向量a＝<1,m>,b＝<3,－2>,且<a＋b>⊥b,则m＝<>A.－8B.－6C.6D.88.D[由题知a＋b＝<4,m－2>,因为<a＋b>⊥b,所以<a＋b>·b＝0,即4×3＋<－2>×<m－2>＝0,解之得m＝8,故选D.]9.<2015·XX,4>已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC＝60°,则eq\o<BD,\s\up6<→>>·eq\o<CD,\s\up6<→>>＝<>A.－eq\f<3,2>a2B.－eq\f<3,4>a2C.eq\f<3,4>a2D.eq\f<3,2>a29.D[如图所示,由题意,得BC＝a,CD＝a,∠BCD＝120°.BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD·cos120°＝a2＋a2－2a·a×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<－\f<1,2>>>＝3a2,∴BD＝eq\r<3>a.∴eq\o<BD,\s\up6<→>>·eq\o<CD,\s\up6<→>>＝|eq\o<BD,\s\up6<→>>|·|eq\o<CD,\s\up6<→>>|cos30°＝eq\r<3>a2×eq\f<\r<3>,2>＝eq\f<3,2>a2.]10.<2015·XX,8>△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足eq\o<AB,\s\up6<→>>＝2a,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝2a＋b,则下列结论正确的是<>A.|b|＝1B.a⊥bC.a·b＝1D.<4a＋b>⊥eq\o<BC,\s\up6<→>>10.D[由于△ABC是边长为2的等边三角形；∴<eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<AC,\s\up6<→>>>·<eq\o<AB,\s\up6<→>>－eq\o<AC,\s\up6<→>>>＝0,即<eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\o<AC,\s\up6<→>>>·eq\o<CB,\s\up6<→>>＝0,∴<4a＋b>⊥eq\o<CB,\s\up6<→>>,即<4a＋b>⊥eq\o<BC,\s\up6<→>>,故选D.]11.<2015·XX,7>设四边形ABCD为平行四边形,|eq\o<AB,\s\up6<→>>|＝6,|eq\o<AD,\s\up6<→>>|＝4,若点M,N满足eq\o<BM,\s\up6<→>>＝3eq\o<MC,\s\up6<→>>,eq\o<DN,\s\up6<→>>＝2eq\o<NC,\s\up6<→>>,则eq\o<AM,\s\up6<→>>·eq\o<NM,\s\up6<→>>＝<>A.20B.15C.9D.611.C[eq\o<AM,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋eq\f<3,4>eq\o<AD,\s\up6<→>>,eq\o<NM,\s\up6<→>>＝eq\o<CM,\s\up6<→>>－eq\o<CN,\s\up6<→>>＝－eq\f<1,4>eq\o<AD,\s\up6<→>>＋eq\f<1,3>eq\o<AB,\s\up6<→>>∴eq\o<AM,\s\up6<→>>·eq\o<NM,\s\up6<→>>＝eq\f<1,4><4eq\o<AB,\s\up6<→>>＋3eq\o<AD,\s\up6<→>>>·eq\f<1,12><4eq\o<AB,\s\up6<→>>－3eq\o<AD,\s\up6<→>>>＝eq\f<1,48><16eq\o<AB,\s\up6<→>>2－9eq\o<AD,\s\up6<→>>2>＝eq\f<1,48><16×62－9×42>＝9,选C.]12.<2015·XX,9>已知eq\o<AB,\s\up6<→>>⊥eq\o<AC,\s\up6<→>>,|eq\o<AB,\s\up6<→>>|＝eq\f<1,t>,|eq\o<AC,\s\up6<→>>|＝t,若点P是△ABC所在平面内的一点,且eq\o<AP,\s\up6<→>>＝eq\f<\o<AB,\s\up6<→>>,|\o<AB,\s\up6<→>>|>＋eq\f<4\o<AC,\s\up6<→>>,|\o<AC,\s\up6<→>>|>,则eq\o<PB,\s\up6<→>>·eq\o<PC,\s\up6<→>>的最大值等于<>A.13B.15C.19D.2112.A[建立如图所示坐标系,则Beq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,t>,0>>,C<0,t>,eq\o<AB,\s\up6<→>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,t>,0>>,eq\o<AC,\s\up6<→>>＝<0,t>,eq\o<AP,\s\up6<→>>＝eq\f<\o<AB,\s\up6<→>>,|\o<AB,\s\up6<→>>|>＋eq\f<4\o<AC,\s\up6<→>>,|\o<AC,\s\up6<→>>|>＝teq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,t>,0>>＋eq\f<4,t><0,t>＝<1,4>,∴P<1,4>,eq\o<PB,\s\up6<→>>·eq\o<PC,\s\up6<→>>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,t>－1,－4>>·<－1,t－4>＝17－eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,t>＋4t>>≤17－2eq\r<\f<1,t>·4t>＝13,故选A.]13.<2015·XX,6>若非零向量a,b满足|a|＝eq\f<2\r<2>,3>|b|,且<a－b>⊥<3a＋2b>,则a与b的夹角为<>A.eq\f<π,4>B.eq\f<π,2>C.eq\f<3π,4>D.π13.A[由题意<a－b>·<3a＋2b>＝3a2－a·b－2b2＝0,即3|a|2－|a|·|b|cosθ－2|b|2＝0,所以3×eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<2\r<2>,3>>>eq\s\up12<2>－eq\f<2\r<2>,3>cosθ－2＝0,cosθ＝eq\f<\r<2>,2>,θ＝eq\f<π,4>,选A.]14.<2015·XX,7>对任意向量a,b,下列关系式中不恒成立的是<>A.|a·b|≤|a||b|B.|a－b|≤||a|－|b||C.<a＋b>2＝|a＋b|2D.<a＋b><a－b>＝a2－b214.B[对于A,由|a·b|＝||a||b|cos<a,b>|≤|a||b|恒成立；对于B,当a,b均为非零向量且方向相反时不成立；对于C、D容易判断恒成立.故选B.]15.<2014·新课标全国Ⅱ,3>设向量a,b满足|a＋b|＝eq\r<10>,|a－b|＝eq\r<6>,则a·b＝<>A.1B.2C.3D.515.A[由向量的数量积运算可知,∵|a＋b|＝eq\r<10>,∴<a＋b>2＝10,∴a2+b2+2a·b＝10,①同理a2＋b2－2a·b＝6,②－②得4a·b＝4,∴a·b＝1.]16.<2014·大纲全国,4>若向量a、b满足：|a|＝1,<a＋b>⊥a,<2a＋b>⊥b,则|b|＝<>A.2B.eq\r<2>C.1D.eq\f<\r<2>,2>16.B[由题意得eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<〔a＋b·a＝a2＋a·b＝0,,〔2a＋b·b＝2a·b＋b2＝0>>⇒-2a2+b2＝0,即－2|a|2＋|b|2＝0,又|a|＝1,∴|b|＝eq\r<2>.故选B.]17.<2014·天津,8>已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD＝120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE＝λBC,DF＝μDC.若eq\o<AE,\s\up6<→>>·eq\o<AF,\s\up6<→>>＝1,eq\o<CE,\s\up6<→>>·eq\o<CF,\s\up6<→>>＝－eq\f<2,3>,则λ＋μ＝<>A.eq\f<1,2>B.eq\f<2,3>C.eq\f<5,6>D.eq\f<7,12>17.C[如图所示,以菱形ABCD的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy,不妨设A<0,－1>,B<－eq\r<3>,0>,C<0,1>,D<eq\r<3>,0>,由题意得eq\o<CE,\s\up6<→>>＝<1－λ>·eq\o<CB,\s\up6<→>>＝<eq\r<3>λ－eq\r<3>,λ－1>,eq\o<CF,\s\up6<→>>＝<1－μ>eq\o<CD,\s\up6<→>>＝<eq\r<3>－eq\r<3>μ,μ－1>.因为eq\o<CE,\s\up6<→>>·eq\o<CF,\s\up6<→>>＝-eq\f<2,3>,所以3<λ-1>·<1-μ>＋<λ-1><μ-1>＝－eq\f<2,3>,即<λ-1><μ-1>＝eq\f<1,3>.因为eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\o<AC,\s\up6<→>>＋eq\o<CE,\s\up6<→>>＝<eq\r<3>λ－eq\r<3>,λ＋1>.eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<AC,\s\up6<→>>＋eq\o<CF,\s\up6<→>>＝<eq\r<3>－eq\r<3>μ,μ＋1>,又eq\o<AE,\s\up6<→>>·eq\o<AF,\s\up6<→>>＝1,所以<λ＋1><μ＋1>＝2.由eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<〔λ－1〔μ－1＝\f<1,3>.,〔λ＋1〔μ＋1＝2,>>整理得λ＋μ＝eq\f<5,6>.选C.]18.〔2017•新课标Ⅰ,13已知向量,的夹角为60°,||=2,||=1,则|+2|=________．18.∵向量,的夹角为60°,且||=2,||=1,∴=+4•+4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12,∴|+2|=2．故答案为：2．19.〔2017•XX,12已知,是互相垂直的单位向量,若﹣与+λ的夹角为60°,则实数λ的值是________．19.,是互相垂直的单位向量,∴||=||=1,且•=0；又﹣与+λ的夹角为60°,∴〔﹣•〔+λ=|﹣|×|+λ|×cos60°,即+〔﹣1•﹣λ=××,化简得﹣λ=××,即﹣λ=,解得λ=．故答案为：．20.〔2017·天津,13在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2．若=2,=λ﹣〔λ∈R,且=﹣4,则λ的值为________．20.如图所示,△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,=2,∴=+=+=+〔﹣=+,又=λ﹣〔λ∈R,∴=〔+•〔λ﹣=〔λ﹣•﹣+λ=〔λ﹣×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4,∴λ=1,解得λ=．故答案为：．21.<2016·XX,15>已知向量a,b,|a|＝1,|b|＝2.若对任意单位向量e,均有|a·e|＋|b·e|≤eq\r<6>,则a·b的最大值是________.21.eq\f<1,2>[由已知可得：eq\r<6>≥|a·e|＋|b·e|≥|a·e＋b·e|＝|<a＋b>·e|由于上式对任意单位向量e都成立.∴eq\r<6>≥|a＋b|成立.∴6≥<a＋b>2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b.即6≥5＋2a·b,∴a·b≤eq\f<1,2>.]22.<2015·天津,14>在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB＝2,BC＝1,∠ABC＝60°,动点E和F分别在线段BC和DC上,且eq\o<BE,\s\up6<→>>＝λeq\o<BC,\s\up6<→>>,eq\o<DF,\s\up6<→>>＝eq\f<1,9λ>eq\o<DC,\s\up6<→>>,则|eq\o<AE,\s\up6<→>>|·|eq\o<AF,\s\up6<→>>|的最小值为________.22.eq\f<29,18>[在梯形ABCD中,AB＝2,BC＝1,∠ABC＝60°,可得DC＝1,eq\o<AE,\s\up6<→>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>＋λeq\o<BC,\s\up6<→>>,eq\o<AF,\s\up6<→>>＝eq\o<AD,\s\up6<→>>＋eq\f<1,9λ>eq\o<DC,\s\up6<→>>,∴eq\o<AE,\s\up6<→>>·eq\o<AF,\s\up6<→>>＝<eq\o<AB,\s\up6<→>>＋λeq\o<BC,\s\up6<→>>>·<eq\o<AD,\s\up6<→>>＋eq\f<1,9λ>eq\o<DC,\s\up6<→>>>＝eq\o<AB,\s\up6<→>>·eq\o<AD,\s\up6<→>>＋eq\o<AB,\s\up6<→>>·eq\f<1,9λ>eq\o<DC,\s\up6<→>>＋λeq\o<BC,\s\up6<→>>·eq\o<AD,\s\up6<→>>＋λeq\o<BC,\s\up6<→>>·eq\f<1,9λ>eq\o<DC,\s\up6<→>>＝2×1×cos60°＋2×eq\f<1,9λ>＋λ×1×cos60°＋λeq\f<1,9λ>×cos120°＝eq\f<2,9λ>＋eq\f<λ,2>＋eq\f<17,18>≥2eq\r<\f<2,9λ>·\f<λ,2>>＋eq\f<17,18>＝eq\f<29,18>,当且仅当eq\f<2,9λ>＝eq\f<λ,2>,即λ＝eq\f<2,3>时,取得最小值为eq\f<29,18>.]23.<2015·XX,15>已知e1,e2是空间单位向量,e1·e2＝eq\f<1,2>,若空间向量b满足b·e1＝2,b·e2＝eq\f<5,2>,且对于任意x,y∈R,|b－<xe1＋ye2>|≥|b－<x0e1＋y0e2>|＝1<x0,y0∈R>,则x0＝________,y0＝________,|b|＝________.23.122eq\r<2>[∵e1·e2＝|e1|·|e2|cos〈e1,e2〉＝eq\f<1,2>,∴〈e1,e2〉＝eq\f<π,3>.不妨设e1＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<1,2>,\f<\r<3>,2>,0>>,e2＝<1,0,0>,b＝<m,n,t>.由题意知eq\b\lc\{<\a\vs4\al\co1<b·e1＝\f<1,2>m＋\f<\r<3>,2>n＝2,,b·e2＝m＝\f<5,2>,,>>解得n＝eq\f<\r<3>,2>,m＝eq\f<5,2>,∴b＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>,\f<\r<3>,2>,t>>.∵b－<xe1＋ye2>＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>－\f<1,2>x－y,\f<\r<3>,2>－\f<\r<3>,2>x,t>>,∴|b－<xe1＋ye2>|2＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>－\f<x,2>－y>>eq\s\up12<2>＋eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>－\f<\r<3>,2>x>>eq\s\up12<2>＋t2＝x2＋xy＋y2－4x－5y＋t2＋7＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<y－4,2>>>eq\s\up12<2>＋eq\f<3,4><y－2>2＋t2.由题意知,当x＝x0＝1,y＝y0＝2时,eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<x＋\f<y－4,2>>>eq\s\up12<2>＋eq\f<3,4><y－2>2＋t2取到最小值.此时t2＝1,故|b|＝eq\r<\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<5,2>>>\s\up12<2>＋\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<3>,2>>>\s\up12<2>＋t2>＝2eq\r<2>.]24.〔2017•XX,16已知向量=〔cosx,sinx,=〔3,﹣,x∈[0,π]．〔Ⅰ若∥,求x的值；〔Ⅱ记f〔x=,求f〔x的最大值和最小值以及对应的x的值．24.〔Ⅰ∵=〔cosx,sinx,=〔3,﹣,∥,∴﹣cosx+3sinx=0,∴tanx=,∵x∈[0,π],∴x=,〔Ⅱf〔x==3cosx﹣sinx=2〔cosx﹣sinx=2cos〔x+,∵x∈[0,π],∴x+∈[,],∴﹣1≤cos〔x+≤,当x=0时,f〔x有最大值,最大值3,当x=时,f〔x有最小值,最大值﹣225.<2015·XX,16>在平面直角坐标系xOy中,已知向量m＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<2>,2>,－\f<\r<2>,2>>>,n＝<sinx,cosx>,x∈eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<0,\f<π,2>>>.<1>若m⊥n,求tanx的值.<2>若m与n的夹角为eq\f<π,3>,求x的值.25.解<1>因为m＝eq\b\lc\<\rc\><\a\vs4\al\co1<\f<\r<2>,2>,－\f<\r<2>,2>>>,n＝<sinx,cosx>,m⊥n.所以m·n＝0,即eq\f<\r<2>,2>sinx－eq\f<\r<2>,2>cosx＝0,所以sin