2023新教材高考数学二轮专题复习强化训练6三角函数与解三角形-大题备考

强化训练6三角函数与解三角形——大题备考第一次作业1．[2022·北京卷]在△ABC中，sin2C＝eq\r(3)sinC．(1)求∠C；(2)若b＝6，且△ABC的面积为6eq\r(3)，求△ABC的周长．2．[2022·浙江卷]在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4a＝eq\r(5)c，cosC＝eq\f(3,5).(1)求sinA的值；(2)若b＝11，求△ABC的面积．

3.[2022·新高考Ⅱ卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为S1，S2，S3.已知S1－S2＋S3＝eq\f(\r(3),2)，sinB＝eq\f(1,3).(1)求△ABC的面积．(2)若sinAsinC＝eq\f(\r(2),3)，求b.4．[2021·新高考Ⅰ卷]记△ABC是内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知b2＝ac，点D在边AC上，BDsin∠ABC＝asinC.(1)证明：BD＝b；(2)若AD＝2DC，求cos∠ABC.强化训练6三角函数与解三角形1．解析：（1）由sin2C＝eq\r(3)sinC，得2sinCcosC＝eq\r(3)sinC.因为∠C∈（0，π），所以sinC≠0，所以cosC＝eq\f(\r(3),2)，所以∠C＝eq\f(π,6).（2）因为∠C＝eq\f(π,6)，b＝6，所以△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)a×6×sineq\f(π,6)＝6eq\r(3)，所以a＝4eq\r(3).在△ABC中，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝（4eq\r(3)）2＋62－2×4eq\r(3)×6×eq\f(\r(3),2)＝12，解得c＝2eq\r(3).所以△ABC的周长为a＋b＋c＝4eq\r(3)＋6＋2eq\r(3)＝6＋6eq\r(3).2．解析：（1）依题意，在△ABC中，∵cosC＝eq\f(3,5)，∴sinC＝eq\r(1－cos2C)＝eq\f(4,5).由4a＝eq\r(5)c，结合正弦定理可得4sinA＝eq\r(5)sinC，∴sinA＝eq\f(\r(5),4)sinC＝eq\f(\r(5),4)×eq\f(4,5)＝eq\f(\r(5),5).（2）由（1）可知，sinC＝eq\f(4,5)>0，cosC＝eq\f(3,5)>0，a＝eq\f(\r(5),4)c，∴A<C<eq\f(π,2)，cosA＝eq\r(1－sin2A)＝eq\f(2\r(5),5).在△ABC中，sinB＝sin（A＋C）＝sinAcosC＋cosAsinC，∴b＝eq\f(3,5)a＋eq\f(2\r(5),5)c＝11.结合4a＝eq\r(5)c，可求得a＝5.∴△ABC的面积S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×5×11×eq\f(4,5)＝22.3．解析：（1）∵边长为a的正三角形的面积为eq\f(\r(3),4)a2，∴S1－S2＋S3＝eq\f(\r(3),4)（a2－b2＋c2）＝eq\f(\r(3),2).结合余弦定理，得accosB＝1，即cosB＝eq\f(1,ac).由sinB＝eq\f(1,3)，得cosB＝eq\f(2\r(2),3)，∴ac＝eq\f(3\r(2),4)，故S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(1,2)×eq\f(3\r(2),4)×eq\f(1,3)＝eq\f(\r(2),8).（2）由正弦定理，得eq\f(b2,sin2B)＝eq\f(a,sinA)·eq\f(c,sinC)＝eq\f(ac,sinAsinC)＝eq\f(\f(3\r(2),4),\f(\r(2),3))＝eq\f(9,4)，故b＝eq\f(3,2)sinB＝eq\f(1,2).4．解析：（1）由题设，BD＝eq\f(asinC,sin∠ABC)，由正弦定理知：eq\f(c,sinC)＝eq\f(b,sin∠ABC)，即eq\f(sinC,sin∠ABC)＝eq\f(c,b)，∴BD＝eq\f(ac,b)，又b2＝ac，∴BD＝b，得证．（2）由题意知：BD＝b，AD＝eq\f(2b,3)，DC＝eq\f(b,3)，∴cos∠ADB＝eq\f(b2＋\f(4b2,9)－c2,2b·\f(2b,3))＝eq\f(\f(13b2,9)－c2,\f(4b2,3))，同理cos∠CDB＝eq\f(b2＋\f(b2,9)－a2,2b·\f(b,3))＝eq\f(\f(10b2,9)－a2,\f(2b2,3))，∵∠ADB＝π－∠CDB，∴eq\f(\f(13b2,9)－c2,\f(4b2,3))＝eq\f(a2－\f(10b2,9),\f(2b2,3))，整理得2a2＋c2＝eq\f(11b2,3)，又b2＝ac，∴2a2＋eq\f(b4,a2)＝eq\f(11b2,3)，整理得6a4－11a2b2＋3b4＝0，解得eq\f(a2,b2)＝eq\f(1,3)或eq\f(a2,b2)＝eq\f(3,2)，由余弦定理知：cos∠ABC＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(4,3)－eq\f(a2,2b2)，当