自动控制原理第3章 控制系统的稳定性及特性

第3章控制系统的稳定性及特性控制系统在典型输入信号作用下的动态过程的品质及稳态性能直接表征了系统的优劣;系统的稳定性是系统正常工作的首要条件系统的稳定性完全由系统自身的结构和参数决定，而与系统的输入无关；系统的稳态误差是系统的稳态性能指标，它标志着系统的控制精度；知识要点系统稳定的充分必要条件，Routh判据；误差与稳态误差的定义，静态误差系数及系统的型别；§3.1

引言一．对控制系统性能的要求1、系统应是稳定的；2、系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求；3、系统达到稳态时，应满足给定的稳态误差要求。二．控制系统的自然状况一般来讲，根据应用的需求或者对象本身的特性，被控对象既可以是稳定的也可以是不稳定的。反馈控制系统的典型结构和常用传递函数。如何定义系统的稳定性？如何判定系统的稳定？反馈控制系统的特性如何？有什么优势？三、控制系统的性能指标稳态性能指标、动态性能指标。1．稳态性能指标用稳态下系统的输出量的期望值与实际值之间的差值来衡量—稳态误差。表现形式：稳态误差。误差是系统控制精度或抗扰动能力的一种度量。2.动态性能指标详见第4章。3.2反馈控制系统的结构及其传递函数典型的反馈控制系统如图所示。前向通道：由偏差信号至输出信号的通道；反馈通道：由输出信号至反馈信号的通道。3.2.1开环传递函数系统开环传递函数定义为：将反馈通道H(s)的输出断开后，前向通道与反馈通道传递函数的乘积。即为当H(s)≡1时，称为单位反馈系统。此时开环控制系统的传递函数就是反馈控制系统前向通道的传递函数，即此时有开环控制系统与反馈控制系统的区别：1）开环控制基于对被控对象进行补偿的原理来实现控制，以Gc(s)Gp(s)=1为理想要求。2）反馈控制的原理是基于偏差来产生控制作用。反馈控制系统的控制器也称为串联校正装置，其输入为偏差信号。3）若控制器的输入是系统的偏差信号，则为串联校正装置，若直接为参考输入信号，则为开环控制器。

令则

定义：C(s)/R(s)为被控信号对于控制信号的闭环传函，记为，即

1.给定输入作用下的闭环传递函数3.2.2闭环传递函数定义：C(s)/N(s)为被控信号对于扰动信号的闭环传函，记为。令称为误差传函

或偏差传函2.扰动作用下的闭环系统的传递函数3.参考输入与干扰输入同时作用于系统时系统的总输出（1）根据信号之间的相互关系推导（2）利用线性叠加原理同样可得上述结果3.3闭环系统的稳定性系统能否工作及工作状态如何？1、能够工作：稳定性(稳)2、反应能力：动态特性(快)3、工作效果：稳态特性(准)3.3.1稳定的概念与定义

定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其过渡过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零，则称系统为渐近稳定，简称稳定；反之若在初始扰动影响下，系统的过渡过程随时间推移而发散，则称其不稳定。3.3.2线性系统稳定的充要条件稳定性是系统自身的固有特性，与外界输入信号无关。线性系统稳定的充要条件：

闭环系统特征方程的所有根均具有负实部，或其特征根全部位于s平面的左半部。3.3.3稳定判据1.Routh稳定判据系统的特征方程为必要条件:（1）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)都不为零；（2）特征方程的各项系数ai(i=1,2,…,n)具有相同的符号。充分条件：

劳斯阵列第一列所有元素为正。劳斯阵列第1列中符号改变了2次，特征方程有2个根在右半s平面，所以系统是不稳定的.例3-5已知系统的特征方程为试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：构造劳斯表如下：例3-6：考虑单位负反馈系统稳定的K的范围闭环系统的特征方程为根据劳斯判据得使系统稳定的充要条件是劳斯表为：解：符号改变一次符号改变一次例3-8

已知系统的特征方程，试判断系统的正的特征根的个数。解：它有一个系数为负的，根据劳斯判据知系统不稳定。但究竟有几个右根，需列劳斯表：

劳斯表中第一列元素符号改变两次，系统有2个右半平面的根

2.Routh判据的特殊情况（几点说明）１、为简化计算，用一个正整数同时乘以或除以某一行的各项，不改变稳定性的结论。2、对于不稳定的系统，说明有特征根位于复平面的右侧，在复平面右侧特征根的数目，就等于劳斯阵中第一列系数符号改变的次数。3、劳斯阵中出现某一行的第一列项为零，而其余各项不全为零，这时可以用一个有限小的正数ε来代替为零的那一项，然后按照通常方法计算劳斯阵中的其余各项。列出劳斯阵以后，观察第一列数值，当ε→0时，含ε项的符号与上、下行符号进行比较，若系数符号相反，就说明有符号改变。4、劳斯阵中出现全零行，表明系统存在一些大小相等，符号相反的实根或一些共轭虚根。为继续计算劳斯阵，将不为零的最后一行的各项组成一个辅助方程，由该方程对s求导数，用求导得到的各项系数来代替为零行的各项，然后继续按劳斯阵的计算方法写出以下各行。a.某行第1列元素为零，其余不为零，或不全为零。劳斯判据的特殊情况1稳定性判定：劳斯表首列有2次符号变化，所以有2个特征根位于s平面的右半平面，系统是不稳定的。该特征方程的根为：-1.9571，

0.0686

j1.2736和-0.0901

j0.5532。例3-9：考虑系统特征方程如下：试分析系统的稳定性。解：构造劳斯表如下：例3-10设系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：

（1）特征方程各项系数大于0；（2）列劳斯阵当ε→0时，，该项符号为负，因此，劳斯阵中第一列系数符号改变了两次，系统不稳定，有两个特征根位于复平面右侧。例3-11设系统特征方程为，试分析系统的稳定性。解：列劳斯表为

劳斯表中第1列元素不全为正数且符号改变了2次，所以系统不稳定，有2个特征根位于s平面的右侧。b.劳斯表某行全为零说明特征方程中存在一些大小相等，但方向相反的根。例3-11给定控制系统特征方程为试判别系统的稳定性。解：由系统的特征方程计算劳斯表如下

劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4行)的各项组成辅助方程为将辅助方程对s求导数，得导数方程

用导数方程的系数取代

s3行中为零的项，并计算以下各行的系数，得劳斯阵为

新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方程求出。令解得两对共轭虚根为另外两个根是例3-12给定控制系统特征方程为，试判别系统的稳定性。解：由系统的特征方程计算劳斯表如下

劳斯阵中s1行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s2行)的各项组成辅助方程为将辅助方程对s求导数，得导数方程

用导数方程的系数取代

s3行中为零的项，并计算以下各行的系数，得劳斯阵为新劳斯阵的第一列系数全为正，即系统特征方程中没有位于复平面右侧的根。由于出现全零行，表明存在共轭虚根，这些根可由辅助方程求出。令解得共轭虚根为系统有一对共轭虚根，系统处于临界稳定。例3-14设系统特征方程，试判别系统的稳定性。

解：（1）特征方程各项系数大于0；（2）列劳斯阵劳斯阵中s3行的各项全部为零，为此用不为零的最后一行(s4行)的各项组成辅助方程为将辅助方程对s求导数，得导数方程

解：系统特征方程为为使系统稳定，必须：（1）特征方程各项系数大于0，即要求K＞0；（2）列劳斯阵

第一列各项系数应大于零，于是有6－K＞0，即K＜6。为使系统稳定，K的取值范围应为0＜K＜6，临界开环增益为Kp＝6。例3-15已知控制系统的闭环传递函数为，试确定系统的临界开环增益。3.Routh判据的应用例3-16设系如图所示，试确定是闭环系统稳定的参数取值范围。若系统以的频率作等幅振荡，试确定振荡时K和的值。解：由图可求得系统的特征方程为

列劳斯表如下为使系统稳定，必须：所以使闭环系统稳定的参数取值范围为若系统以的频率作等幅振荡，则可得则系统存在有一对纯虚根又由已知条件，系统以的频率作等幅振荡，则所以系统以的频率作等幅振荡时的参数值为4.Hurwitz判据设系统的特征方程为：则系统稳定的充要条件是由特征方程的系数ai(i=1,2,…,n)构成的主行列式及其主对角线上的各阶主子式均为正，即例3-18系统的特征方程为试用赫尔维茨判据判断使系统稳定的条件。解：列出行列式

Δ由赫尔维茨判据，该系统稳定的充分必要条件是：

或写成系统稳定的充分必要条件为a0>0a1>0a2>0a3>0a1a2-a0a3>03.3.4相对稳定性和稳定裕量

相对稳定性是指系统的特征根在s平面的左半平面且与虚轴有一定的距离α

，并称α为稳定裕量。

（1）以s=w

代入原特征方程,得出以w为变量的新特征方程

(w)=0；（2）用劳斯判据判定方程

(w)=0在w平面上虚轴右边根的个数，等价于判定原特征方程在s平面上垂线s=

右边特征根数目。处理方法：例3-19设系统的特征方程如下，试判断系统是否稳定？如果稳定，有多大的稳定裕量？解：系统的劳斯表为：系统稳定，采用试凑法，将s=w-2带入特征方程，系统的劳斯表为：说明多项式方程在w平面的虚轴上存在对称于原点的特征根。根据定义，该闭环系统的稳定裕量为：

=2。事实上，多项式方程的根为：w1,2=

j和w3=

1。这说明原特征方程在s平面上的根为：s1,2=

2

j和s3=

3。

例3-19由一个积分环节和两个惯性环节组成的闭环控制系统如图所示，试分析系统的放大系数K及时间常数T1和T2的大小对系统稳定性的影响。其中，K为系统的开环放大系数，T1和T2为两个惯性环节的时间常数，。3.3.5控制系统参数对系统稳定性的影响解：系统的闭环传递函数为

则系统的特征方程为可以求得系统稳定的充分必要条件为即系统稳定的充分必要条件是记并称Kc为这个系统的临界开环放大系数。此时系统特征方程必有位于虚轴上的根。如果控制系统特征方程的所有特征根中有实部为零的根，而其余特征根均具有负实部，工程上称这样的系统为临界稳定的。（b）（a）系统参数对系统稳定性的影响：3、令T2=0，则特征方程将简化为1、若T1和T2为定值，则Kc为确定的正数。此时，如果开环放大系数K的值若超过这个值，在系统变得不稳定。可见增大开环放大系数K不利于系统的稳定。2、由式(b)可以看出，无论是T1或T2增大都会使Kc减小。因此，如果K的值已经确定，则T1或T2增大都可能破坏式(a)而使系统失去稳定。故可见，增大时间常数也不利于稳定性。则系统稳定的条件变为临界开环放大系数Kc变为无穷大。因此系统中的时间常数的数目增多，不利于系统的稳定性。控制系统参数K,T1,T2对系统稳定性的影响的结论：3、减少系统时间常数的个数，即降低系统的阶次，有利于系统的稳定性的提高。1、增大控制系统的开环放大系数K，将使系统的稳定性变差，甚至可能使系统变得不稳定。2、增大控制系统的时间常数对系统的稳定性不利，会导致系统的临界放大系数Kc下降，减小系统的稳定裕量。3.4反馈控制系统的特性瞬态响应系统输出的一种时域响应，控制系统设计的主要目的就是使系统的输出满足预期的瞬态响应控制系统的理想情况使系统的输出完全跟踪或者复制参考输入。对于开环控制系统，要求开环校正（补偿）控制器的传递函数是对象传递函数的倒数。实际物理系统不可实现串联Gc(s)不可能减少而只能将惯性添加到被控对象上。为了减少开环控制系统的惯性，只剩下改变被控对象Gp(s),手段十分有限。3.4.1瞬态响应的改进以开环速度控制系统为例：

当负载转动惯量Jm非常大而必须采用很大功率的电机时，若此时的时间常数Tm不能满足瞬态响应的要求，则只能期望选用品种有限的大功率电机来减小Tm。通过改变被控对象Gp(s)来改进系统瞬态响应的余地十分有限。加入反馈的改进闭环系统的时间常数比开环系统减少，瞬态响应改进。若设计Kc使得KcKuKf=100，则瞬态响应改进程度可达100倍以上。对于开环控制系统，参考输入与系统输出的偏差为：闭环偏差传递函数为：开环控制系统的直流增益在单位阶跃输入作用下，利用终值定理可求得稳态误差分别为闭环系统环路直流增益3.4.2稳态误差的减少基于上式的分析，要使的稳态误差小，则：开环：当Gc(0)=1/Gp(0)时，有

eF(

)=0闭环：当Gc(0)足够大，有e(

)足够小。右图的稳态误差开环：设计Kc=1/Ku闭环：设计Kc很大或直接串入积分环节。开环控制的零稳态误差是建立在完全不考虑瞬态响应为前提，闭环控制系统具有对瞬态响应和稳态误差两者兼顾的优越特性。

定义3-4（系统的灵敏度）：系统的灵敏度是其传递函数的变化率与对象传递函数的变化率之比。开环传递函数的灵敏度闭环传递函数的灵敏度3.4.3对内部模型的灵敏度闭环控制系统灵敏度的具体表达式可见，闭环系统对被控对象传递函数模型变化的敏感度远低于开环系统。反馈能减小系统的灵敏度。类似地，还可以推导出对系统内任何环节（比如测量环节）的传递函数的灵敏度以及对象传递函数内的任何参数的灵敏度。干扰输入对于控制系统来说则完全是多余的，比如，电子电路中的内部噪声，电动机的负载变化，燃烧系统中燃气的成分变化等干扰都是实际应用中无法回避的客观存在。开环控制系统，进入系统的干扰经过对象或部分对象对输出产生直接的影响。反馈控制系统具有抑制外部干扰的能力。3.4.4对外部干扰的抑制1．开环控制系统

2．闭环控制系统转速稳态值：若闭环设计Kc使得KcKuKf=100，由于参考输入为零，则闭环控制稳态误差

(

)比开环控制稳态误差F()小100倍以上，同时也实现了瞬态响应比开环控制改进达100倍以上则有：§3.5

顺馈控制的误差分析一．应用顺馈补偿扰动信号对系统输出的影响1.顺馈补偿实际上是应用开环控制方法去补偿扰动信号的影响，所以它不改变反馈系统的特性（如稳定性）。2.对补偿装置的参数要求有较高的稳定性，否则削弱补偿效果。3.由于顺馈补偿的存在，可降低对反馈系统的要求，因可测干扰由顺馈完全或近似补偿，由其他干扰引起的误差可由反馈系统予以消除。说明：1.原理：二．应用顺馈减小系统控制信号的误差在反馈基础上引入控制信号的微分作为系统的附加输入从而减小号的误差。系统响应控制信2.对误差和稳定性的影响a.误差由上式可见系统型别由I型提高到II型。系统由I型变为III型，从而使稳定性能大为提高。b.稳定2、某随动系统结构图如图所示。已知K1＝40V/