专升本高等数学知识点汇总

专升本高等数学知识点汇总常用知识点：一、常见函数的定义域总结如下：y二kx+b,一般形式的定义域：xWRy二ax2+bx+cky=分式形式的定义域：xMOxy=yX根式的形式定义域：x±0y=logx对数形式的定义域：x>0a二、函数的性质1、函数的单调性当x<x时，恒有f(x)<f(x),f(x)在x,x所在的区间上是增加的。121212当x<x时，恒有f(x)>f(x)，/(x)在x，x所在的区间上是减少的。1212122、函数的奇偶性定义：设函数y二f(x)的定义区间D关于坐标原点对称(即若xeD，贝y有-xeD)(1)偶函数f(x)——VxeD，恒有f(-x)二f(x)。⑵奇函数f(x)——VxeD，恒有f(-x)=-f(x)。三、基本初等函数1、常数函数：y=c，定义域是(-®+w)，图形是一条平行于x轴的直线。2、幕函数：y=xu，(u是常数)。它的定义域随着u的不同而不同。图形过原点。3、指数函数定义：y=f(x)=ax，(a是常数且a>0，a丰1)•图形过(0,1)点。4、对数函数定义：y二f（x）二logx,（a是常数且a>0,a丰1）。图形过（1,0）点。a5、三角函数（1）正弦函数：y=sinxT=2兀,D(f)二(-®+Q,f(D)二［-1,1］。⑵余弦函数：y=cosx.T=2k，D(f)二(-®+Q，f(D)二［-1,1］。正切函数：y=tanx.kT=兀，D(f)={xIxgR,x丰(2k+l)—,kgZ}，f(D)=(一卩+^).2余切函数：y=cotx.T=兀，D(f)={xIxgR,x丰kn,kgZ}，f(D)=(-3,+a).5、反三角函数kk反正弦函数：y=arcsinx，D(f)=［-1,1］，f(D)=［-—］。反余弦函数：y=arccosx，D(f)=［-1,1］，f(D)=［0,k］。kk⑶反正切函数：y=arctanx，D(f)=(―卩+^)，f(D)=(-—,—)。⑷反余切函数：y=arccotx，D(f)=(―卩+^)，f(D)=(0,n)。极限一、求极限的方法1、代入法代入法主要是利用了“初等函数在某点的极限，等于该点的函数值。”因此遇到大部分简单题目的时候，可以直接代入进行极限的求解。2、传统求极限的方法（1）利用极限的四则运算法则求极限。（2）利用等价无穷小量代换求极限。（3）利用两个重要极限求极限。（4）利用罗比达法则就极限。函数极限的四则运算法则设limu=A，limv=B，则x—九x—九

(1)lim(u土v)=limu土limv=A土Bx-九x-九x-九(2)lim(u-v)=limu-limv=AB.x-九x-九x-九推论(a)lim(C-v)=C-limv,(C为常数)。x—九x—九3)4)5)三、b)limun=(limu)nx—Xx—XulimuAlim=-x—3)4)5)三、b)limun=(limu)nx—Xx—XulimuAlim=-x—x—=，(B丰0).x-XvlimvBx-X设P(x)为多项式P(x)=axn+axn-1+0设P(x),Q(x)均为多项式,且Q(x)丰0,等价无穷小，则limP(x)=P(x)0xTx0lim出=竺xTx0Q(x)Q(x0)xT0时，sinx〜x,tanx〜x,arctanx〜x,arcsinxln(1+x)~x,ex一1-x,1-cosx〜x2。2对这些等价无穷小量的代换，应该更深一层地理解为：当口T0时，sin□〜口，其余类似。常用的等价无穷小量代换有：当x，四、两个重要极限sinx重要极限Ilim=1。xT0x它可以用下面更直观的结构式表示：sinD.lim=1□□重要极限IIlim|xTg其结构可以表示为：(1、口lim1+一□)八、洛必达(l/Hospital)法则0gf(x)f'(x)”型和“―”型不定式，存在有lim=lim=A(或g)。0gxTag(x)xTag'(x)一元函数微分学一、导数的定义设函数y二f(x)在点x的某一邻域内有定义，当自变量x在X处取得增量Ax(点x+Ax仍在该邻000域内)时，相应地函数y取得增量Ay二f(x+Ax)-f(x)。如果当AxT0时，函数的增量Ay与自00变量Ax的增量之比的极限Ayf(x+Ax)-f(x)lim=lim0显=f(x)注意两个符号Ax和x在题目中可能换成其他的符号表AxT0AxAxT0Ax00示。二、求导公式1、基本初等函数的导数公式(1)(C)'=0(C为常数)2)(xa)'=ax2)(xa)'=axa-1(a为任意常数)3)(ax)'=axIna(a>0,a丰1)特殊情况(ex)'=ex4)(logx)'=—loge=1axa(x>0,a>0,a丰1)，(Inx)'=—xlnax5)(sinx)'=cosx(cosx)'=-sinx7)(tanx)'=7)cos2x8)8)(cotx)'=-—sin2x10)(arcsinx)10)(arcsinx)'==1—x2(一1〈x〈l)(arccosx)'=1-x2(-1〈x〈1)11)11)12)(arctanx)'=—1+x2(arccotx)'=--—1+x22、导数的四则运算公式(1)[u(x)土v(x)]'=u'(x)土v'(x)

[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)[ku]'=ku'(k为常数)4)u(x)v(x)u'(x)v(x)一u(x)v'4)u(x)v(x)3、复合函数求导公式：设y=f(u),u=9(x)，且f(u)及®(x)都可导，则复合函数y=f即(x)］的导数为d导数为dy=dydxdudu=f'(u)9'(x)dx三、导数的应用1、函数的单调性f'(x)>0则f(x)在(a,b)内严格单调增加。f'(x)<0则f(x)在(a,b)内严格单调减少。2、函数的极值f'(x)=0的点——函数f(x)的驻点。设为x0若x<x时，f'(x)>0；x>x时，f'(x)<0,则f(x)为f(x)的极大值点。000若x<x时，f'(x)<0；x>x时，f'(x)>0，则f(x)为f(x)的极小值点。000如果f'(x)在x的两侧的符号相同，那么f(x)不是极值点。003、曲线的凹凸性f''(x)>0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凹的。f''(x)<0，则曲线y=f(x)在(a,b)内是凸的。4、曲线的拐点当f''(x)在x的左、右两侧异号时，点(x,f(x))为曲线y=f(x)的拐点，此时f''(x)=0.0000当f''(x)在x的左、右两侧同号时，点(x,f(x))不为曲线y=f(x)的拐点。0005、函数的最大值与最小值极值和端点的函数值中最大和最小的就是最大值和最小值。四、微分公式dy=f'(x)dx，求微分就是求导数。一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质[Jf(x)dx]'=f一元函数积分学一、不定积分1、定义，不定积分是求导的逆运算，最后的结果是函数+C的表达形式。公式可以用求导公式来记忆。2、不定积分的性质[Jf(x)dx]'=f(x)或dJf(x)dx=f(x)dx1)2)JF'(x)dx=F(x)+C或JdF(x)=F(x)+C3)J[f(x)±P(x)土…土屮(x)]dx=Jf(x)dx±Jp(x)±…±Jv(x)dx。4)Jkf(x)dx=kJf(x)dx(k为常数且k主0)。2、基本积分公式(要求熟练记忆)J0dx=C1)2)Jxadx=xa+i+C(a丰-1).a+13)4)J—dx=ln|x|+C.x1Jaxdx=ax+C(a>0,a丰1)lna5)Jexdx=ex+CJsinxdx=-cosx+C7)Jcosxdx=sinx+C87)Jcosxdx=sinx+C8)J1dx=tanx+C.cos2xJdx=-cotx+C.sin2x10)J1dx=arcsinx+C1-x2J1dx=arctanx+C.1+x23、第一类换元积分法对不定微分Jg(x)dx,将被积表达式g(x)dx凑成11)g(x)dx=fg(x)昨'(x)dx=介(x)dq(x)，这是关键的一步。rR1)1)2)常用的凑微分的公式有：f(ax+b)dx=—f(ax+b)d(ax+b)a3)f(ux)•dx=2fxdxx4)f(1)•丄dx=-f(1)d1xx2xxf(ex)•exdx=f(ex)d(ex)3)f(ux)•dx=2fxdxx4)f(1)•丄dx=-f(1)d1xx2xxf(ex)•exdx=f(ex)d(ex)f(Inx)•1dx=f(Inx)d(Inx)x7)f(sinx)•cosxdx=f(sinx)d(sinx)8)f(cosx)•sinxdx=一f(cosx)d(cosx)10)f(tanx)•一1dx=f(tanx)d(tanx)cos2xf(cotx)1dx=—f(cotx)d(cotx)sin2x11)1f(arcsinx)•dx=f(arcsinx)d(arcsinx)1-x212)1f(arccosx)•--1—x2dx=-f(arccosx)d(arccosx)13)f(arctanx)•1—1+x2dx=f(arctanx)d(arctanx)14)"(x)dx=d(ln(x)|)P(x)®(x)丰0)4、分部积分法Judv=uv-Jvdu定积分公式1、(牛顿—莱布尼茨公式)如果F(x)是连续函数f(x)在区间［a,b］上的任意一个原函数，则有Jbf(x)dx=F(b)-F(a)。a2、计算平面图形的面积如果某平面图形是由两条连续曲线y=g(x),y=f(x)及两条直线x二a和x=b所围成的(其中y是下面的曲线，y是上面的曲线),121212则其面积可由下式求出：S=ib[f(x)-g(x)]dx.a3、计算旋转体的体积设某立体是由连续曲线y=f(x)(f(x)>0)和直线成的旋转x=a,x=b(a<b)及x轴所围平面图形绕x轴旋转一周所形成的旋转体，如图所示。则该旋转体的体积V可由下式求出:V=\b时2(x)dx=兀\bf2(x)dx.xaa多元函数微分学1、偏导数，对某个变量求导，把其他变量看做常数。2、全微分公式：dz=df(x,y)=AAx+BAy。3、复合函数的偏导数——利用函数结构图///、dududvdv如果u=9(x，y)、v=屮(x，y)在点(x，y)处存在连续的偏导数，〒‘，亍，且在对应dxdydxdydzdz于(x,y)的点(u,v)处，函数z=f(u,v)存在连续的偏导数亍,—，则复合函数z=f[9(x,y)，屮(x,y)]dudv在点(x,y)处存在对x及y的连续偏导数，且dzdzdzdudzdv

=+—dxdudxdvdxdzdzdudzdv=+dydudydvdy4、隐函数的导数对于方程F(x,y)=0所确定的隐函数y=f(x)，可以由下列公式求出y对x的导数y'：F'(x,y)y'=一-^F'(x,y)y2、隐函数的偏导数对于由方程F(x,y,z)=0所确定的隐函数z=f(x,y)，可用下列公式求偏导数：dzF'(x,y,z)dzF'(x,y,z)—x—ydxF'(x,y,z)'dyF'(x,y,z)zz5、二元函数的极值设函数z-f(x0,y°)在点(x0,y°)的某邻域内有一阶和二阶连续偏导数’且xyxryo)二0，/y®yo)=0又设"xryo)二A，几®yo)=B，fyy宀y。)=C，xy则：当B2-AC<0时，函数f(x,y)在点(x,y)处取得极值，且当A<000时有极大值，当A>0时有极小值。当B2-AC>0时，函数f(x,y)在点(x,y)处无极值。00⑶当B2-AC=0时，函数f(x，y)在点(x0,y0)处是否有极值不能确定，要用其它方法另作讨论。平面与直线1、平面方程平面的点法式方程：在空间直角坐标系中，过点M(x,y,z)，以n={A,B,C}为法向量的平面0000方程为A(x—x)+B(y—y)+C(z-z)-0称之为平面的点法式方程000平面的一般式方程Ax+By+Cz+D=0称之为平面的一般式方程2、特殊的平面方程Ax+By+Cz=0表示过原点的平面方程Ax+By+D=0表示平行于Oz轴的平面方程Ax+By=0表示过Oz轴的平面方程Cz+D=0表示平行于坐标平面xOy的平面方程3、两个平面间的关系设有平面兀：Ax+By+Cz+D=011111兀:Ax+By+Cz+D=022222平面兀和兀互相垂直的充分必要条件是：AA+BB+CC=012121212ABCD平面兀和兀平行的充分必要条件是：1=4=1丰112ABCD2222

ABCD平面兀和兀重合的充分必要条件是：1二4二1二112ABCD22224、直线的方程(1)直线的标准式方程过点M(x,y,z)且平行于向量s={m,n,p}的直线方程0000x-xy-yz-z0=亠=0称之为直线的标准式方程(又称点向式方程、对称式方程)。mnp常称s={m,n,p}为所给直线的方向向量(2)直线的一般式方程Ax+By+Cz+D=0JJ’£称之为直线的一般式方程Ax+By+Cz+D=022225、两直线间关系设直线li，12的方程为x-xy-yz-zTOC\o"1-5"\h\zl:1i1mnp111x-xy-yz-z/:_1m2TOC\o"1-5"\h\z,,mn直线l，l平行的充分必要条件为—=—12mn22直线li，12互相垂直的充分必要条件为mim2+nin2+pip2=06、直线l与平面兀间的关系设直线l与平面兀的方程为l:二=二=二mnp兀：A(x-x)+B(y-y)+C(z-z)=0000直线l与平面兀垂直的充分必要条件为：-=-=-mnp直线l与平面兀平行的充分必要条件为:直线l落在平面兀直线l与平面兀平行的充分必要条件为:直线l落在平面兀上的充分必要条件为Am+Bn+Cp+D丰00o0Am+Bn+Cp=0Am+Bn+Cp+D=00o0wordword专业资料-可复制编辑-欢迎下载word专业资料-可复制编辑-欢迎下载将初等函数展开成幂级数1、定理：设f(X)在U(x0,5)内具有任意阶导数，且f(n+1)化)匹RnE=0，RnE=7n+1T(X-X0)n+1则在U(X0,5)内f(%)仝¥(%-%0))的幕级数。称上式为f(X)在点X。的泰勒级数。或称上式为将f(X)展开为X二X0的幕级数。2、几个常用的标准展开式1y①=厶Xn1—Xn=0②—=另(—1)nXn1+X如Xn如Xn③eX=y一n!n=0⑥ln(1+x)=y(—1)n—nn=0⑦in(1—x)=—y—nn=0常微分方程1、一阶微分方程(1)可分离变量的微分方程或y'=f(x)g(y)则称方程若一阶微分方程F(x,y,y')=0通过变形后可写成或y'=f(x)g(y)则称方程F(x,y,y')=0为可分离变量的微分方程.2、、可分离变量微分方程的解

方程g(y)dy=f(x)dx必存在隐式通解G(y)=F(x)+C。其中：G(y)=ig(y)dy,F(x)=Jf(x)dx.即两边取积分。(2)—阶线性微分方程1、定义：方程y'+P(x)y=Q(x)称为一阶线性微分方程.(1)非齐次方程——Q(x)丰0；⑵齐次方程——y'+P(x)y=0.2、求解一阶线性微分方程先求齐次方程y'+P(x)y=0的通解：y=Ce」P(x)dx,其中C为任意常数。将齐次通解的C换成u(x)。即y=u(x)e」P(x)dx代入非齐次方程y'+P(x)y=Q(x),得y—e-JP(x)dxIJq(x)eJp(x)dxdx+C2、二阶线性常系数微分方程(1)可降阶的二阶微分方程1、y〃-f(x)型的微分方程1y1y'—Jy''dx—e2x+cosx+C41例3：求方程y"--e2x-smx的通解.分析:厶1y—Jy'dx—e2x+sinx+Cx+C.8122、y—f(x,y')型的微分方程解法：(1)令p—y'，方程化为p'—f(x,p)；解此方程得通解p-申(x,C/；再解方程y'—9(x,C1)得原方程的通解y=J9(x,C)dx+C.123、y''=f(y,y')型的微分方程解法：(1)令p—y