2024届福建省福州师范大泉州附属中学九年级数学第一学期期末调研试题含解析

2024届福建省福州师范大泉州附属中学九年级数学第一学期期末调研试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题（每题4分，共48分）1．如图，将△ABC绕点C顺时针旋转50°得△DEC，若AC⊥DE，则∠BAC等于()A．30° B．40° C．50° D．60°2．把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为（）A．y=﹣2（x+1）2+2B．y=﹣2（x+1）2﹣2C．y=﹣2（x﹣1）2+2D．y=﹣2（x﹣1）2﹣23．如图是正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“治”相对的面上的汉字是（）A．全 B．面 C．依 D．法4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则四边形AODE一定是（）A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．不能确定5．在小孔成像问题中，如图所示，若为O到AB的距离是18cm，O到CD的距离是6cm，则像CD的长是物体AB长的（）A． B． C．2倍 D．3倍6．关于x的一元二次方程x2+ax﹣1=0的根的情况是（）A．没有实数根 B．只有一个实数根C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根7．已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围是（）A． B．且C．且 D．8．如图，将直尺与含30°角的三角尺放在一起，若∠1＝25°，则∠2的度数是（）A．30° B．45° C．55° D．60°9．已知正比例函数的函数值随自变量的增大而增大，则二次函数的图象与轴的交点个数为（）A．2 B．1 C．0 D．无法确定10．如图，在中，，，点从点沿边，匀速运动到点，过点作交于点，线段，，，则能够反映与之间函数关系的图象大致是（）A． B． C． D．11．太阳与地球之间的平均距离约为150000000km，用科学记数法表示这一数据为（）A．1.5×108km B．15×107km C．0.15×109km D．1.5×109km12．顺次连结菱形各边中点所得到四边形一定是(​)A．平行四边形 B．正方形​ C．矩形​ D．菱形二、填空题（每题4分，共24分）13．关于x的方程的两个根是﹣2和1，则nm的值为_____．14．二次函数y=+2的顶点坐标为．15．已知＜cosA＜sin70°，则锐角A的取值范围是_________16．《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步．”该问题的答案是________步．17．关于x的一元二次方程kx2﹣x+2=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是_____．18．如图，是一个半径为6cm，面积为12πcm2的扇形纸片，现需要一个半径为R的圆形纸片，使两张纸片刚好能组合成圆锥体，则R等于_____cm．三、解答题（共78分）19．（8分）如图，菱形ABCD的顶点A，D在直线l上，∠BAD=60°，以点A为旋转中心将菱形ABCD顺时针旋转α（0°＜α＜30°），得到菱形AB′C′D′，B′C′交对角线AC于点M，C′D′交直线l于点N，连接MN，当MN∥B′D′时，解答下列问题：(1)求证：△AB′M≌△AD′N；(2)求α的大小.20．（8分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=（m≠0）的图象交于A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（n，6），点C的坐标为（﹣1，0），且tan∠ACO=1．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（1）求点B的坐标．21．（8分）超速行驶是引发交通事故的主要原因．上周末，小明和三位同学尝试用自己所学的知识检测车速，如图，观测点设在到县城城南大道的距离为米的点处．这时，一辆出租车由西向东匀速行驶，测得此车从处行驶到处所用的时间为秒，且，．求、之间的路程；请判断此出租车是否超过了城南大道每小时千米的限制速度？22．（10分）在，，．点P是平面内不与点A，C重合的任意一点．连接AP，将线段AP绕点P逆时针旋转α得到线段DP，连接AD，BD，CP．（1）观察猜想如图1，当时，的值是，直线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是．（2）类比探究如图2，当时，请写出的值及直线BD与直线CP相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．（3）解决问题当时，若点E，F分别是CA，CB的中点，点P在直线EF上，请直接写出点C，P，D在同一直线上时的值．23．（10分）已知关于x的一元二次方程（1）当m取何值时，这个方程有两个不相等的实根？（2）若方程的两根都是正数，求m的取值范围；（3）设是这个方程的两个实根，且，求m的值.24．（10分）只有1和它本身两个因数且大于1的正整数叫做素数．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果，哥德巴赫猜想是：每个大于2的偶数都可以表示为两个素数的和，如16=3+1．（1）若从7，11，19，23中随机抽取1个素数，则抽到的素数是7的概率是_______；（2）若从7，11，19，23中随机抽取1个素数，再从余下的3个数字中随机抽取1个素数，用面树状图或列表的方法求抽到的两个素数之和大于等于30的概率，25．（12分）如图，在地面上竖直安装着AB、CD、EF三根立柱，在同一时刻同一光源下立柱AB、CD形成的影子为BG与DH.（1）填空：判断此光源下形成的投影是：投影.（2）作出立柱EF在此光源下所形成的影子.26．已知二次函数的顶点坐标为A(1，﹣4)，且经过点B(3，0)．（1）求该二次函数的解析式；（2）判断点C(2，﹣3)，D(﹣1，1)是否在该函数图象上，并说明理由．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、B【分析】根据旋转的性质可求得∠ACD，根据互余关系可求∠D，根据对应角相等即可得∠BAC的大小．【题目详解】解：依题意得旋转角∠ACD=50°，由于AC⊥DE，由互余关系可得∠D=90°-50°=40°，由旋转后对应角相等，得∠BAC=∠D=40°，故B选项正确．【题目点拨】本题考查了图形的旋转变化，要分清是顺时针还是逆时针旋转，旋转了多少度，难度不大，但容易出错，细心点即可．2、C【题目详解】解：把抛物线y=﹣2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为y=﹣2（x﹣1）2+2，故选C．3、C【分析】首先将展开图折叠，即可得出与汉字“治”相对的面上的汉字.【题目详解】由题意，得与汉字“治”相对的面上的汉字是“依”，故答案为C.【题目点拨】此题主要考查对正方体展开图的认识，熟练掌握，即可解题.4、B【分析】根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD=90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；【题目详解】证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD=∠AOD=90°，∴四边形AODE是矩形.故选B.【题目点拨】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质、菱形的性质是解决问题的关键．5、A【分析】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，根据题意得到△AOB∽△COD，根据相似三角形的对应高的比等于相似比计算即可．【题目详解】作OE⊥AB于E，OF⊥CD于F，由题意得,AB∥CD，∴△AOB∽△COD，∴==，∴像CD的长是物体AB长的.故答案选：A.【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.6、D【解题分析】∵△=＞0，∴方程有两个不相等的实数根．故选D．7、C【分析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式△=b24ac≥1，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．还要注意二次项系数不为1．【题目详解】解：∵一元二次方程有两个实数根，∴，解得：，∵，∴k的取值范围是且；故选：C．【题目点拨】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．8、C【分析】通过三角形外角的性质得出∠BEF＝∠1+∠F，再利用平行线的性质∠2＝∠BEF即可.【题目详解】∵∠BEF是△AEF的外角，∠1＝25°，∠F＝30°，∴∠BEF＝∠1+∠F＝55°，∵AB∥CD，∴∠2＝∠BEF＝55°，故选：C．【题目点拨】本题主要考查平行线的性质及三角形外角的性质，掌握三角形外角的性质及平行线的性质是解题的关键.9、A【分析】根据正比例函数的性质可以判断k的正负情况，然后根据△的正负，即可判断二次函数的图象与轴的交点个数，本题得以解决．【题目详解】∵正比例函数的函数值随自变量的增大而增大，∴k＞0，∵二次函数为∴△＝[−2（k＋1）]2−4×1×（k2−1）＝8k＋8＞0，∴二次函数为与轴的交点个数为2，故选：A．【题目点拨】本题考查二次函数与x轴的交点个数和正比例函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用根的判别式来解答．10、D【分析】分两种情况：①当P点在OA上时，即2≤x≤2时；②当P点在AB上时，即2＜x≤1时，求出这两种情况下的PC长，则y=PC•OC的函数式可用x表示出来，对照选项即可判断．【题目详解】解：∵△AOB是等腰直角三角形，AB=，∴OB=1．①当P点在OA上时，即2≤x≤2时，PC=OC=x，S△POC=y=PC•OC=x2，是开口向上的抛物线，当x=2时，y=2；OC=x，则BC=1-x，PC=BC=1-x，S△POC=y=PC•OC=x（1-x）=-x2+2x，是开口向下的抛物线，当x=1时，y=2．综上所述，D答案符合运动过程中y与x的函数关系式．故选：D．【题目点拨】本题主要考查了动点问题的函数图象，解决这类问题要先进行全面分析，根据图形变化特征或动点运动的背景变化进行分类讨论，然后动中找静，写出对应的函数式．11、A【解题分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于150000000有9位，所以可以确定n=9-1=1．【题目详解】150000000km=1.5×101km．故选：A．【题目点拨】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n值是关键．12、C【分析】根据三角形的中位线定理首先可以证明：顺次连接四边形各边中点所得四边形是平行四边形．再根据对角线互相垂直，即可证明平行四边形的一个角是直角，则有一个角是直角的平行四边形是矩形．【题目详解】如图，四边形ABCD是菱形，且E.

F.

G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，

则EH∥FG∥BD，EF=FG=BD；EF∥HG∥AC，EF=HG=AC，AC⊥BD.

故四边形EFGH是平行四边形，

又∵AC⊥BD，

∴EH⊥EF，∠HEF=90°，

∴边形EFGH是矩形.

故选：C.【题目点拨】本题考查平行四边形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是掌握平行四边形的判定和三角形中位线定理.二、填空题（每题4分，共24分）13、﹣1【分析】由方程的两根结合根与系数的关系可求出m、n的值，将其代入nm中即可求出结论．【题目详解】解：∵关于x的方程的两个根是﹣2和1，∴，∴m＝2，n＝﹣4，∴．故答案为：﹣1．【题目点拨】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．14、（1，2）.【解题分析】试题分析：由二次函数的解析式可求得答案．∵y=（x﹣1）2+2，∴抛物线顶点坐标为（1，2）.故答案为（1，2）．考点：二次函数的性质．15、20°＜∠A＜30°．【题目详解】∵＜cosA＜sin70°，sin70°=cos20°，∴cos30°＜cosA＜cos20°，∴20°＜∠A＜30°．16、1【分析】根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，得到直径．【题目详解】解：根据勾股定理得：斜边为=17，设内切圆半径为r，由面积法r=3（步），即直径为1步，

故答案为：1．考点：三角形的内切圆与内心．17、且k≠1【题目详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，∴解得：﹣≤k＜且k≠1故答案为﹣≤k＜且k≠1．点睛：本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及二次根式有意义的条件，根据一元二次方程的定义、二次根式下非负以及根的判别式列出关于k的一元一次不等式组是解题的关键．18、2.【解题分析】能组合成圆锥体,那么扇形的弧长等于圆形纸片的周长.应先利用扇形的面积=圆锥的弧长母线长,得到圆锥的弧长=2扇形的面积母线长,进而根据圆锥的底面半径=圆锥的弧长求解.【题目详解】圆锥的弧长,

圆锥的底面半径,

故答案为2.【题目点拨】解决本题的难点是得到圆锥的弧长与扇形面积之间的关系,注意利用圆锥的弧长等于底面周长这个知识点.三、解答题（共78分）19、（1）见解析；（2）α=15°【分析】（1）利用四边形AB′C′D′是菱形，得到AB′=B′C′=C′D′=AD′，根据∠B′AD′=∠B′C′D′=60°，可得△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，进而得到△C′MN是等边三角形，则有C′M=C′N，MB′=ND′，利用SAS即可证明△AB′M≌△AD′N；（2）由（1）得∠B′AM=∠D′AN，利用∠CAD=∠BAD=30°，即可解决问题.【题目详解】（1）∵四边形AB′C′D′是菱形，∴AB′=B′C′=C′D′=AD′，∵∠B′AD′=∠B′C′D′=60°，∴△AB′D′，△B′C′D′是等边三角形，∵MN∥B′C′，∴∠C′MN=∠C′B′D′=60°，∠CNM=∠C′D′B′=60°，∴△C′MN是等边三角形，∴C′M=C′N，∴MB′=ND′，∵∠AB′M=∠AD′N=120°，AB′=AD′，∴△AB′M≌△AD′N（SAS），（2）由△AB′M≌△AD′N得：∠B′AM=∠D′AN，∵∠CAD=∠BAD=30°，∴∠D′AN=∠B′AM=15°，∴α=15°【题目点拨】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．20、（1）反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为y=1x+4；（1）点B坐标为（﹣2，﹣1）.【分析】（1）先过点A作AD⊥x轴，根据tan∠ACO=1，求得点A的坐标，进而根据待定系数法计算两个函数解析式；（1）先联立两个函数解析式，再通过解方程求得交点B的坐标即可．【题目详解】解：（1）过点A作AD⊥x轴，垂足为D．由A（n，6），C（﹣1，0）可得，OD=n，AD=6，CO=1∵tan∠ACO=1，∴=1，即，∴n=1，∴A（1，6）．将A（1，6）代入反比例函数，得m=1×6=6，∴反比例函数的解析式为．将A（1，6），C（﹣1，0）代入一次函数y=kx+b，可得：，解得：，∴一次函数的解析式为y=1x+4；（1）由可得，，解得=1，=﹣2．∵当x=﹣2时，y=﹣1，∴点B坐标为（﹣2，﹣1）．【题目点拨】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，利用数形结合思想解题是关键．21、（米）；此车超过了每小时千米的限制速度.【分析】（1）利用三角函数在两个直角三角形中分别计算出BO、AO的长，即可算出AB的长；（2）利用路程÷时间＝速度，计算出出租车的速度，再把60千米/时化为米/秒，再进行比较即可．【题目详解】由题意知：米，，，在直角三角形中，∵，∴米，在直角三角形中，∵，∴米，∴（米）；∵从处行驶到处所用的时间为秒，∴速度为米/秒，∵千米/时米/秒，而，∴此车超过了每小时千米的限制速度.【题目点拨】此题是解直角三角形的应用，主要考查了锐角三角函数，从复杂的实际问题中整理出直角三角形并求解是解决此类题目的关键．22、（1）1，（2）45°（3），【解题分析】（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明，即可解决问题．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明，即可解决问题．（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．证明即可解决问题．②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：解决问题．【题目详解】解：（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．，，，，，，，，，，线BD与直线CP相交所成的较小角的度数是，故答案为1，．（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．，，，，，，，，直线BD与直线CP相交所成的小角的度数为．（3）如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，A，D，C，B四点共圆，，，，，设，则，，c．如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，同法可证：，设，则，，，．【题目点拨】本题属于相似形综合题，考查了旋转变换，等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．23、（1）；（2）；（3）m无解..【分析】(1)由根的判别式得出不等式，求出不等式的解集即可；(2)由根与系数的关系得出不等式，求出不等式的解集即可；(3)由根与系数的关系得出x1+x2=2，x1x2=m-1，将变形后代入，即可求出答案.【题目详解】解：（1）∵这个方程有两个不相等的实根∴，即解得.（2）由一元二次方程根与系数的关系可得：，，∵方程的两根都是正数∴，即∴又∵∴m的取值范围为（3）∵∴即，将，代入可得：，解得.而，所以m=4不符合题意，故m无解.【题目点拨】本题考查了由一元二次方程根的情况求参数，根与系数的关系，熟