数学《学案导学与随堂笔记》人教A版浙江版2-2学案：第一章 导数及其应用1.2.1~1.2.2（一） 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．2.1几个常用函数的导数1．2。2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一)学习目标1。能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2,y＝eq\f（1,x），y＝eq\r（x)的导数.2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．知识点一几个常用函数的导数原函数导函数f（x）＝cf′（x)＝0f（x）＝xf′(x）＝1f（x）＝x2f′(x)＝2xf（x)＝eq\f（1，x)f′(x）＝－eq\f（1,x2)f（x)＝eq\r(x)f′(x)＝eq\f(1，2\r（x)）知识点二基本初等函数的导数公式原函数导函数f（x)＝c（c为常数）f′(x）＝0f(x）＝xα（α∈Q＊）f′（x）＝αxα－1f(x)＝sinxf′(x）＝cosxf(x)＝cosxf′(x)＝－sinxf(x）＝axf′（x)＝axlna(a〉0）f(x)＝exf′（x）＝exf(x）＝logaxf′(x）＝eq\f（1,xlna）(a〉0且a≠1）f(x)＝lnxf′（x）＝eq\f(1,x）类型一利用导数公式求函数的导数例1求下列函数的导数．（1)y＝coseq\f（π，6)；(2）y＝eq\f(1,x5）;(3）y＝eq\f（x2，\r（x)）；(4)y＝lgx；(5)y＝5x；（6)y＝cos(eq\f（π，2）－x)．解(1)y′＝0。（2)∵y＝eq\f(1,x5）＝x－5，∴y′＝(x－5）′＝－5x－6＝－eq\f（5,x6）。(3）∵y＝eq\f(x2,\r(x)）＝,∴y′＝（）′＝eq\f(3，2）＝eq\f(3，2)eq\r（x）.(4)y′＝eq\f(1,xln10）.（5）y′＝5xln5。(6）∵y＝cos(eq\f(π,2)－x）＝sinx,∴y′＝（sinx）′＝cosx。反思与感悟若给出的函数解析式不符合导数公式，需通过恒等变换对解析式进行化简或变形后求导，如根式化指数幂的形式求导．跟踪训练1（1）下列结论,①（sinx)′＝cosx；②（）′＝；③(log3x)′＝eq\f(1，3lnx);④(lnx）′＝eq\f（1,x)。其中正确的有（）A．0个 B．1个C．2个 D．3个答案C解析∵②()′＝eq\f（5，3）；③（log3x）′＝eq\f（1,xln3），∴②③错误,故选C。（2）求下列函数的导数．①y＝(1－eq\r（x）)(1＋eq\f(1，\r（x)))＋eq\r(x);②y＝2cos2eq\f（x,2）－1。解①∵y＝（1－eq\r(x))(1＋eq\f(1,\r（x）)）＋eq\r(x）＝eq\f(1－x,\r(x)）＋eq\r（x）＝eq\f（1，\r（x)）,∴.②∵y＝2cos2eq\f（x,2)－1＝cosx,∴y′＝(cosx)′＝－sinx.类型二利用导数研究切线问题命题角度1已知切点解决切线问题例2（1)已知P，Q为抛物线y＝eq\f(1,2)x2上两点，点P，Q横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的坐标为．答案（1，－4）解析y′＝x，kPA＝y′|x＝4＝4，kQA＝y′|x＝－2＝－2。∵P（4,8)，Q（－2,2)，∴PA的直线方程为y－8＝4(x－4）,即y＝4x－8。QA的直线方程为y－2＝－2（x＋2),即y＝－2x－2。联立方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（y＝4x－8，，y＝－2x－2,）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝1，，y＝－4，)）∴A(1，－4）．(2）已知两条曲线y＝sinx,y＝cosx，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．解设存在一个公共点(x0，y0)，使两曲线的切线垂直，则在点(x0，y0)处的切线斜率分别为k1＝y′|＝cosx0，k2＝y′|x＝x0＝－sinx0.要使两切线垂直，必须有k1k2＝cosx0（－sinx0）＝－1，即sin2x0＝2,这是不可能的．所以两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．反思与感悟解决切线问题，关键是确定切点，要充分利用切点处的导数是切线的斜率、切点在切线上及切点又在曲线上这三个条件联立方程解决．跟踪训练2已知函数y＝kx是曲线y＝lnx的一条切线，则k＝.答案eq\f（1，e)解析设切点坐标为（x0，y0）,由题意得, ①又y0＝kx0， ②而且y0＝lnx0, ③由①②③可得x0＝e，y0＝1，则k＝eq\f（1,e）。命题角度2已知斜率解决切线问题例3求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离．解设切点坐标为（x0，xeq\o\al(2,0）)，依题意知与直线x－y－2＝0平行的抛物线y＝x2的切线的切点到直线x－y－2＝0的距离最短．∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝eq\f(1,2）,∴切点坐标为（eq\f（1,2）,eq\f(1,4）），∴所求的最短距离d＝eq\f（|\f（1，2）－\f（1,4）－2｜，\r（2））＝eq\f（7\r(2），8).反思与感悟利用基本初等函数的求导公式,可求其图象在某一点P(x0，y0）处的切线方程，可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关．解题时可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算．跟踪训练3已知直线l:2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与直线l平行的抛物线的切线方程,并在弧上求一点P，使△ABP的面积最大．解设P(x0，y0)为切点,过点P与AB平行的直线斜率k＝y′＝2x0，∴k＝2x0＝2，∴x0＝1,y0＝1。故可得P(1，1)，∴切线方程为2x－y－1＝0。由于直线l：2x－y＋4＝0与抛物线y＝x2相交于A、B两点，∴｜AB|为定值,要使△ABP的面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1，1)点即为所求弧上的点,使△ABP的面积最大．1．下列函数求导运算正确的个数为（)①（3x)′＝3xlog3e；②（log2x）′＝eq\f（1，xln2)；③eq\f（1,lnx′）＝x；④若y＝eq\f(1，x2)，则y′|x＝3＝－eq\f(2,27）。A．1B．2C．3D．4答案C解析①中(3x）′＝3xln3，②③④均正确．2．函数f（x）＝x3的斜率等于1的切线有()A．1条 B．2条C．3条 D．不确定答案B解析设切点为（x0，y0),∵f′（x0）＝3xeq\o\al（2，0）＝1，∴x0＝±eq\f(\r（3），3)。故斜率等于1的切线有2条．3．设函数f(x）＝logax，f′（1）＝－1，则a＝.答案eq\f（1，e）解析f′(x)＝eq\f(1,xlna）,则f′（1）＝eq\f（1,lna）＝－1，∴a＝eq\f（1，e).4．求过曲线y＝sinx上一点P（eq\f(π,6），eq\f(1，2)）且与在这一点处的切线垂直的直线方程．解曲线y＝sinx在点P（eq\f(π,6),eq\f(1,2)）处切线的斜率，则与切线垂直的直线的斜率为－eq\f(2\r（3)，3)，∴所求直线方程为y－eq\f（1，2）＝－eq\f(2\r(3)，3）(x－eq\f（π，6）),即12eq\r（3）x＋18y－2eq\r(3)π－9＝0。5．求下列函数的导数．(1)y＝（＋1)（－1）＋1；（2)y＝（coseq\f（x,2)＋sineq\f(x，2)）2－1；（3）y＝3log2eq\r(3，x）.解（1)∵y＝x3,∴y′＝3x2.（2）∵y＝cos2eq\f（x，2）＋sin2eq\f(x,2）＋2sineq\f(x，2)coseq\f（x,2）－1＝sinx,∴y′＝cosx，（3)∵y＝log2x，∴y′＝eq\f（1,xln2）.1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2eq\f（x,2）的导数．因为y＝1－2sin2eq\f(x，2）＝cosx,所以y′＝（cosx）′＝－sinx.3．对于正弦、余弦函数的导数，一是注意函数名称的变化，二是注意函数符号的变化．课时作业一、选择题1．下列各式中正确的个数是(）①（x7）′＝7x6；②(x－1）′＝x－2；③（eq\f(1,\r（x)））′＝－eq\f（1,2)；④（eq\r(5,x2))′＝eq\f(2,5）；⑤（cosx)′＝－sinx；⑥(cos2）′＝－sin2。A．3B．4C．5D．6答案B解析∵②（x－1)′＝－x－2；⑥（cos2)′＝0。∴②⑥不正确．故选B。2．已知函数f（x)＝eq\r(x），则f′(3）等于(）A.eq\f（\r(3),6）B．0C.eq\f（1，2\r（x））D.eq\f(\r（3），2)答案A解析∵f′（x）＝(eq\r(x)）′＝eq\f（1，2\r(x）），∴f′(3)＝eq\f（1，2\r（3）)＝eq\f（\r(3),6)。3．正弦曲线y＝sinx上切线的斜率等于eq\f（1，2）的点为（)A．（eq\f(π,3)，eq\f（\r(3),2））B．(－eq\f(π，3),－eq\f(\r(3）,2））或（eq\f（π，3），eq\f（\r（3),2）)C．(2kπ＋eq\f(π，3)，eq\f（\r(3），2)）（k∈Z)D．（2kπ＋eq\f(π，3）,eq\f(\r(3)，2）)或(2kπ－eq\f(π，3），－eq\f(\r（3),2))(k∈Z)答案D解析设斜率等于eq\f(1，2）的切线与曲线的切点为P(x0,y0）,∵y′|＝cosx0＝eq\f（1，2），∴x0＝2kπ＋eq\f(π,3)或2kπ－eq\f（π,3），∴y0＝eq\f(\r（3)，2）或－eq\f(\r(3)，2）。4．已知f（x)＝xa,若f′（－1）＝－4，则a的值等于（）A．4 B．－4C．5 D．－5答案A解析∵f′(x）＝axa－1，f′（－1）＝a(－1）a－1＝－4，∴a＝4.5．已知曲线y＝x3在点（2,8）处的切线方程为y＝kx＋b,则k－b等于(）A．4B．－4C．28D．－28答案C解析∵点(2,8)在切线上，∴2k＋b＝8, ①又y′|x＝2＝3×22＝12＝k， ②由①②可得k＝12，b＝－16，∴k－b＝28.6．下列曲线的所有切线中,存在无数对互相垂直的切线的曲线是(）A．f(x)＝ex B．f(x）＝x3C．f（x）＝lnx D．f（x）＝sinx答案D解析若直线垂直且斜率存在，则其斜率之积为－1.因为A项中，(ex)′＝ex>0,B项中，（x3）′＝3x2≥0,C项中，x>0，即(lnx）′＝eq\f（1,x)〉0，所以不会使切线斜率之积为－1，故选D.7．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l,则直线l的倾斜角的取值范围是（)A．［0，eq\f（π,4）]∪［eq\f（3π,4），π) B．［0，π）C．［eq\f（π,4）,eq\f（3π，4）］ D．[0，eq\f(π，4）]∪［eq\f(π,2)，eq\f(3π,4）］答案A解析∵(sinx）′＝cosx，∴kl＝cosx,∴－1≤kl≤1，∴αl∈［0,eq\f（π,4）]∪［eq\f(3π,4），π）．二、填空题8．已知f(x）＝eq\f(1，x)，g(x）＝mx,且g′(2)＝eq\f(1,f′2)，则m＝。答案－4解析f′(x）＝－eq\f(1,x2)，g′(x）＝m。∵g′（2）＝eq\f(1,f′2），∴m＝－4。9．已知f（x）＝x2，g（x）＝x3，则适合方程f′(x)＋1＝g′（x）的x的值为．答案1或－eq\f(1，3)解析由导数公式可知,f′（x）＝2x,g′(x）＝3x2，所以2x＋1＝3x2,即3x2－2x－1＝0。解得x＝1或x＝－eq\f（1,3）。10．设曲线y＝ex在点（0,1）处的切线与曲线y＝eq\f(1,x）(x＞0)在点P处的切线垂直,则点P的坐标为．答案(1,1）解析y＝ex的导数为y′＝ex，曲线y＝ex在点(0，1）处的切线的斜率为k1＝e0＝1。设P（m，n)，y＝eq\f（1,x)（x〉0）的导数为y′＝－eq\f（1,x2）（x>0），曲线y＝eq\f（1，x)（x>0)在点P处的切线的斜率为k2＝－eq\f（1，m2）(m>0）．因为两切线垂直，所以k1k2＝－1，所以m＝1,n＝1,则点P的坐标为（1,1）．11．曲线y＝ex在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为．答案eq\f（1，2)e2解析∵y′＝（ex)′＝ex,∴k＝e2，∴曲线在点(2，e2）处的切线方程为y－e2＝e2（x－2），即y＝e2x－e2。当x＝0时，y＝－e2，当y＝0时,x＝1.∴S△＝eq\f（1,2）×1×｜－e2|＝eq\f(1，2)e2。三、解答题12．求下列函数的导数．(1)y＝eq\r（5,x3）；（2)y＝eq\f（1,x4)；（3）y＝－2sineq\f（x，2）eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4）））；（4)y＝log2x2－log2x。解（1）y′＝eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（5,x3)))′＝′＝eq\f（3,5)＝eq\f（3，5）＝eq\f(3，5\r（5，x2）)。（2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1，x4）)）′＝(x－4)′＝－4x－4－1＝－4x－5＝－eq\f(4，x5）.（3)∵y＝－2sineq\f(x，2)eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（1－2cos2\f（x,4）)）＝2sineq\f（x，2）eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（2cos2\f（x，4）－1))＝2sineq\f(x，2）coseq\f（x，2)＝sinx，∴y′＝(sinx）′＝cosx.（4）∵y＝log2x2－log2x＝log2x，∴y′＝(log2x)′＝eq\f(1,xln2）.13．设f0(x)＝sinx，f1（x）＝f0′(x)，f2（x）＝f1′(x），…，fn＋1(x)＝fn′(x），n∈N，试求f2