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三函数、导数【必记结论】1.函数的定义域和值域(1)求函数定义域的类型和相应方法①若已知函数的解析式,则函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围.②若已知f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))的定义域为不等式a≤g(x)≤b的解集;反之,已知f(g(x))的定义域为[a,b],则f(x)的定义域为函数y=g(x)(x∈[a,b])的值域.(2)常见函数的值域①一次函数y=kx+b(k≠0)的值域为R.②二次函数y=ax2+bx+c(a≠0):当a>0时,值域为[4ac-b24a,+∞),当a<0时,值域为(-∞,③反比例函数y=kx(k≠0)的值域为{y∈R|y≠0}2.函数的奇偶性、周期性(1)奇偶性是函数在其定义域上的整体性质,对于定义域内的任意x(定义域关于原点对称),都有f(-x)=-f(x)成立,则f(x)为奇函数(都有f(-x)=f(x)成立,则f(x)为偶函数).(2)周期性是函数在其定义域上的整体性质,一般地,对于函数f(x),如果对于定义域内的任意一个x的值,若f(x+T)=f(x)(T≠0),则f(x)是周期函数,T是它的一个周期.3.函数的单调性函数的单调性是函数在其定义域上的局部性质.①单调性的定义的等价形式:设x1,x2∈[a,b],那么(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0⇔fx1-fx2x1-x2>0⇔f(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]<0⇔fx1-fx2x1-x2<0⇔f②若函数f(x)和g(x)都是减函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是减函数;若函数f(x)和g(x)都是增函数,则在公共定义域内,f(x)+g(x)是增函数;根据同增异减判断复合函数y=f(g(x))的单调性.4.指数函数与对数函数的基本性质(1)定点:y=ax(a>0,且a≠1)恒过(0,1)点;y=logax(a>0,且a≠1)恒过(1,0)点.(2)单调性:当a>1时,y=ax在R上单调递增;y=logax在(0,+∞)上单调递增;当0<a<1时,y=ax在R上单调递减;y=logax在(0,+∞)上单调递减.5.导数的几何意义(1)f′(x0)的几何意义:曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率,该切线的方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).(2)切点的两大特征:①在曲线y=f(x)上;②在切线上.6.利用导数研究函数的单调性(1)求可导函数单调区间的一般步骤①求函数f(x)的定义域;②求导函数f′(x);③由f′(x)>0的解集确定函数f(x)的单调增区间,由f′(x)<0的解集确定函数f(x)的单调减区间.(2)由函数的单调性求参数的取值范围①若可导函数f(x)在区间M上单调递增,则f′(x)≥0(x∈M)恒成立;若可导函数f(x)在区间M上单调递减,则f′(x)≤0(x∈M)恒成立(注意:等号不恒成立);②若可导函数在某区间上存在单调递增(减)区间,f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集;③若已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数时,可先求出f(x)的单调区间,则I是其单调区间的子集.7.利用导数研究函数的极值与最值(1)求函数的极值的一般步骤①确定函数的定义域;②解方程f′(x)=0;③判断f′(x)在方程f′(x)=0的根x0两侧的符号变化;若左正右负,则x0为极大值点;若左负右正,则x0为极小值点;若不变号,则x0不是极值点.(2)求函数f(x)在区间[a,b]上的最值的一般步骤①求函数y=f(x)在[a,b]内的极值;②比较函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)的大小,最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.【易错剖析】易错点1函数的单调区间理解不准确【突破点】对于函数的几个不同的单调递增(减)区间,切忌使用并集,只要指明这几个区间是该函数的单调递增(减)区间即可.易错点2判断函数的奇偶性时忽略定义域【突破点】一个函数具备奇偶性的必要条件是这个函数的定义域关于原点对称,如果不具备这个条件,函数一定是非奇非偶函数.易错点3不清楚导数与极值的关系【突破点】(1)f′(x0)=0只是可导函数f(x)在x0处取得极值的必要条件,即必须有这个条件,但只有这个条件还不够,还要考虑f′(x)在x0两侧是否异号.(2)已知极值点求参数要进行检验.易错点4混淆“切点”致误【突破点】注意区分“过点A的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.“在”说明这点就是切点,“过”只说明切线过这个点,这个点不一定是切点.易错点5导数与单调性的关系理解不准确【突破点】(1)f′(x)>0(<0)(x∈(a,b))是f(x)在(a,b)上单调递增(递减)的充分不必要条件.(2)对可导函数f(x)在(a,b)上为单调增(减)函数的充要条件为:对于任意x∈(a,b),有f(x)≥0(≤0)且f′(x)在(a,b)内的任何子区间上都不恒为零.若求单调区间,可用充分条件.若由单调性求参数,可用充要条件.即f′(x)≥0(或f(x)≤0),否则容易漏解.【易错快攻】易错快攻一混淆“切点”致误[典例1][2022·新高考Ⅰ卷]若曲线y=(x+a)ex有两条过坐标原点的切线,则a的取值范围是________.听课笔记:易错快攻二混淆“函数的单调区间”“函数在区间上单调”“函数存在单调区间”[典例2]设函数f(x)=3x2+axex((1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若f(x)在[3,+∞)上为减函数,求a的取值范围.听课笔记:三函数、导数[典例1]解析:设切线的切点坐标为(x0,y0).令f(x)=(x+a)ex,则f′(x)=(x+1+a)ex,f′(x0)=x0+1+aex0.因为y0=x0+aex0,切线过原点,所以f′(x0)=y0x0,即x0+1+a·ex0=x0+aex0x0.整理,得答案:(-∞,-4)∪(0,+∞)[典例2]解析:(1)对f(x)求导得f′(x)=6x+aex-因为f(x)在x=0处取得极值,所以f′(0)=0,即a=0.当a=0时,f(x)=3x2ex,f′(x)=-3x2+6xex,故f(1)=3e,f′(1)=3e,从而曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-3e=3(2)方法一f′(x)=-3x令g(x)=-3x2+(6-a)x+a,设x1,x2为g(x)=0的两根,则x1=6-a-a2+366,x当x<x1时,g(x)<0,即f′(x)<0,此时f(x)为减函数;当x1<x<x2时,g(x)>0,即f′(x)>0,此时f(x)为增函数;当x>x2时,g(x)<0,即f′(x)<0,此时f(x)为减函数.由f(x)在[3,+∞)上为减函数,得x2=6-a+a2+366≤3,解得a故a的取值范围为[-92,+∞)方法二f′(x)=-3x2+6-ax
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