高考一轮复习-两角和与差的正弦余弦和正切公式

高考一轮复习-两角和与差的正弦余弦和正切公式第一页，共55页。⑤T(α+β):tan(α+β)=____________(α,β,α+β≠+kπ,k∈Z).⑥T(α-β):tan(α-β)=____________(α,β,α-β≠+kπ,k∈Z).第一页第二页，共55页。(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式:①S2α:sin2α=____________.②C2α:cos2α=_____________=_________=_________.③T2α:tan2α=_______(α≠±+kπ,且α≠kπ+,k∈Z).2sinαcosαcos2α-sin2α2cos2α-11-2sin2α第二页第三页，共55页。2.必备结论教材提炼记一记(1)降幂公式:cos2α=,sin2α=(2)升幂公式:1+cos2α=2cos2α,1-cos2α=2sin2α.(3)公式变形:tanα±tanβ=tan(α±β)(1∓tanα·tanβ).3.必用技法核心总结看一看(1)常用方法:整体代入法,配凑法.(2)数学思想:转化化归思想.第三页第四页，共55页。(3)记忆口诀:余余正正符号异,正余余正符号同,二倍角,数余弦,找联系,抓特点,牢记忆,用不难.第四页第五页，共55页。【小题快练】1.思考辨析静心思考判一判(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.()(2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sinα+sinβ成立.()(3)公式tan(α+β)=可以变形为tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ),且对任意角α,β都成立.()(4)存在实数α,使tan2α=2tanα.()第五页第六页，共55页。【解析】(1)正确.对于任意的实数α,β,两角和与差的正弦、余弦公式都成立.(2)正确.如取β=0,因为sin0=0,所以sin(α+0)=sinα=sinα+sin0.(3)错误.变形可以,但不是对任意角α,β都成立.α,β,α+β≠kπ+,k∈Z.(4)正确.当α=kπ(k∈Z)时,tan2α=2tanα.答案:(1)√(2)√(3)×(4)√第六页第七页，共55页。2.教材改编链接教材练一练(1)(必修4P130例4T(1)改编)sin108°cos42°-cos72°sin42°=

.【解析】原式=sin(180°-72°)cos42°-cos72°sin42°=sin72°cos42°-cos72°sin42°=sin(72°-42°)=sin30°=.答案:第七页第八页，共55页。(2)(必修4P137A组T5改编)已知则cosα=______.第八页第九页，共55页。【解析】因为答案：第九页第十页，共55页。3.真题小试感悟考题试一试(1)(2014·上海高考)函数y=1-2cos2(2x)的最小正周期是

.【解析】y=-[2cos2(2x)-1]=-cos4x,所以函数的最小正周期T=.答案:第十页第十一页，共55页。(2)(2014·新课标全国卷Ⅱ)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx的最大值为

.【解析】因为f(x)=sin(x+φ)-2sinφcosx=sinx·cosφ+cosx·sinφ-2sinφcosx=sinx·cosφ-cosx·sinφ=sin(x-φ)≤1.故最大值为1.答案:1第十一页第十二页，共55页。考点1化简与计算【典例1】(1)(2015·合肥模拟)cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=()A.sin(α+2β)B.sinαC.cos(α+2β)D.cosα(2)计算tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=

.(3)的化简结果是

.第十二页第十三页，共55页。【解题提示】(1)逆用两角差的余弦公式化简.(2)观察式子的特点,逆用两角和的正切公式计算.(3)应用二倍角的正、余弦公式化简.第十三页第十四页，共55页。【规范解答】(1)选D.cos(α+β)cosβ+sin(α+β)sinβ=cos[(α+β)-β]=cosα.(2)因为tan(25°+35°)=所以tan25°+tan35°=tan60°(1-tan25°tan35°)=-tan25°tan35°,所以tan25°+tan35°+tan25°·tan35°=-tan25°tan35°+tan25°tan35°=.答案:第十四页第十五页，共55页。(3)原式==2|cos4|+2|sin4-cos4|,因为所以cos4<0,且sin4<cos4,所以原式=-2cos4-2(sin4-cos4)=-2sin4.答案:-2sin4第十五页第十六页，共55页。【易错警示】解答本例(3)有三点容易出错:(1)想不到应用二倍角公式,不能把根号下的式子化为完全平方式.(2)把4°与4弧度混淆,导致开方出错.(3)忽略讨论cos4的符号及sin4与cos4的大小而直接开方导致出错.第十六页第十七页，共55页。【互动探究】对于本例(2),试化简tanα+tan(60°-α)+tanαtan(60°-α).【解析】因为tan[α+(60°-α)]=所以tanα+tan(60°-α)=tan60°[1-tanα·tan(60°-α)]=-tanα·tan(60°-α),故原式=-tanα·tan(60°-α)+tanα·tan(60°-α)=.第十七页第十八页，共55页。【规律方法】1.三角函数式化简的要求(1)能求出值的应求出值.(2)尽量使函数种数最少.(3)尽量使项数最少.(4)尽量使分母不含三角函数.(5)尽量使被开方数不含三角函数.第十八页第十九页，共55页。2.特殊角的三角函数值的逆用当式子中出现这些特殊角的三角函数值时,往往就是“由值变角”的一种提示.可以根据问题的需要,将常用三角函数式表示出来,构成适合公式的形式,从而达到化简的目的.第十九页第二十页，共55页。【变式训练】1.化简sin(α+β)cos(γ-β)-cos(β+α)sin(β-γ)=

.【解析】原式=sin(α+β)cos(γ-β)+cos(α+β)sin(γ-β)=sin[(α+β)+(γ-β)]=sin(α+γ).答案:sin(α+γ)第二十页第二十一页，共55页。2.(2015·西宁模拟)计算:=

.【解析】

=tan(45°-15°)=tan30°=.答案:第二十一页第二十二页，共55页。【加固训练】1.化简的结果是()A.-cos1B.cos1C.cos1D.-cos1【解析】选C.原式=第二十二页第二十三页，共55页。2.化简：=_________.【解析】答案：第二十三页第二十四页，共55页。3.计算：=_____.【解析】因为tan(20°+40°)=所以tan20°+tan40°=(1-tan20°tan40°),所以原式=答案：-第二十四页第二十五页，共55页。考点2三角函数求值【典例2】(1)(2015·临沂模拟)计算的值为()(2)计算:4sin40°-tan40°=

.(3)(2015·成都模拟)计算：cos40°(1+tan10°)=

.第二十五页第二十六页，共55页。【解题提示】(1)利用诱导公式化大角为小角,然后逆用二倍角公式求值.(2)切化弦,通分化简求值.(3)切化弦,通分,注意逆用两角和与差的三角函数公式.第二十六页第二十七页，共55页。【规范解答】(1)选A.原式=第二十七页第二十八页，共55页。答案：1第二十八页第二十九页，共55页。【一题多解】解答本例(2)，你还有其他解法吗？解答本例(2)还可有如下解法：原式=4sin40°-答案：第二十九页第三十页，共55页。【规律方法】给角求值问题的三个变换技巧(1)变角:分析角之间的差异,巧用诱导公式把大角统一到小角上来,或把某一非特殊角拆分成一特殊角与另一非特殊角的和.(2)变名:尽可能使得函数统一名称,常化弦为切.(3)变式:观察结构,利用公式,整体化简.提醒:“变式”时常用的方法有“常值代换”“逆用变用公式”“通分与约分”“分解与组合”“配方与平方”等.第三十页第三十一页，共55页。【变式训练】(2015·南宁模拟)计算：=______.【解析】答案：2第三十一页第三十二页，共55页。【加固训练】1.(2015·昆明模拟)计算：=()A.4B.2C.-2D.-4【解析】选D.第三十二页第三十三页，共55页。2.(2015·三明模拟)计算：＝________．第三十三页第三十四页，共55页。【解析】原式＝答案：第三十四页第三十五页，共55页。考点3三角函数的条件求值知·考情利用和、差公式及倍角公式在已知条件下的求值问题是高考的热点,常与平面向量的知识相结合,题型是三种类型都有,但近几年常以解答题的形式出现.第三十五页第三十六页，共55页。明·角度命题角度1:与平面向量相结合的条件求值【典例3】(2014·陕西高考改编)设0<θ<,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(1,-cosθ),若a·b=0,则sin2θ+cos2θ=

.【解题提示】先由向量的运算得到sinθ与cosθ的关系,再由此关系式确定方向,求sin2θ+cos2θ的值.第三十六页第三十七页，共55页。【规范解答】因为a·b=0,所以sin2θ-cos2θ=0,即2sinθcosθ=cos2θ.因为θ∈(0,),所以2sinθ=cosθ,即tanθ=,所以sin2θ+cos2θ=答案:第三十七页第三十八页，共55页。命题角度2：三角函数的给值求值【典例4】(2014·江苏高考)已知α∈(,π),sinα=(1)求sin(+α)的值.(2)求cos(-2α)的值.【解题提示】(1)先由条件求cosα的值，再求sin(+α)的值.(2)由sinα,cosα的值，先求sin2α,cos2α的值,再求cos(-2α)的值.第三十八页第三十九页，共55页。【规范解答】(1)由题意cosα=所以sin(+α)=sincosα+cossinα第三十九页第四十页，共55页。命题角度3：和函数相结合的条件求值【典例5】(2014·广东高考)已知函数f(x)=Asin(x+)，x∈R，且(1)求A的值.(2)若f(θ)-f(-θ)=,θ∈(0,)，求f(-θ).【解题提示】(1)把代入解析式求A的值.(2)由已知条件利用两角和与差的正弦和同角三角函数的关系求解,求解时要注意角的范围.第四十页第四十一页，共55页。【解析】(1)由(2)f(θ)-f(－θ)=第四十一页第四十二页，共55页。悟·技法1.与向量有关的求值问题的解法三角函数的求值问题常与向量的坐标运算有关联,这类问题需要先用向量公式进行运算后,再用三角公式进行化简和求值.2.给值求值问题的解法已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子,再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手),最后将已知条件及其变形代入所求式子,化简求值.第四十二页第四十三页，共55页。3.和三角函数相结合的条件求值的解法该类问题的解答常先根据条件确定解析式并化简函数解析式,然后把已知条件代入函数解析式化简并求相关的值,变形成要求的式子并代入前面所求的值计算.第四十三页第四十四页，共55页。通·一类1.(2015·铜陵模拟)设α∈,若则cosα=

.【解析】因为α∈,所以所以故cosα=答案：第四十四页第四十五页，共55页。2.(2013·江西高考改编)若则cos2α=

.【解析】因为所以cosα=cos2α=2cos2α-1=答案:-第四十五页第四十六页，共55页。3.(2015·大同模拟)已知向量a=(4,5cosα),b=(3,-4tanα).若a⊥b,且α∈(0,),则cos(2α-)=

.第四十六页第四十七页，共55页。【解析】因为a⊥b，所以a·b＝0，即12-20cosα·tanα＝0，所以12-20sinα＝0，即sinα＝因为α∈(0，)，所以cosα＝所以sin2α＝2sinαcosα＝，cos2α＝1-2sin2α＝所以cos(2α-)＝cos2α·cos+sin2α·sin答案：第四十七页第四十八页，共55页。4.(2014·四川高考改编)已知函数f(x)=sin(3x+).若