第2讲椭圆双曲线抛物线

第2讲椭圆双曲线抛物线第一页，共45页。2.椭圆中的最值

F1，F2为椭圆=1(a>b>0)的左、右焦点，P为椭圆的任意一点，B为短轴的一个端点，O为坐标原点，则有（1）|OP|∈［b,a］.(2)|PF1|∈［a-c,a+c］.（3）|PF1||PF2|∈［b2,a2］.(4)∠F1PF2≤∠F1BF2.（5）=b2tan(=∠F1PF2).（6）焦点弦以通径为最短.3.双曲线中的最值

F1，F2为双曲线(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的任一点，O为坐标原点，则有第一页第二页，共45页。（1）|OP|≥a.（2）|PF1|≥c-a.（2）(=∠F1PF2).4.抛物线中的最值点P为抛物线y2=2px(p>0)上的任一点，F为焦点，则有:（1）|PF|≥.（2）焦点弦AB以通径为最值，即|AB|≥2p.（3）A（m,n）为一定点，则|PA|+|PF|有最小值.5.双曲线的渐近线（1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解因式可得.第二页第三页，共45页。（2）用法：①可得或的值.②利用渐近线方程设所求双曲线的方程.6.直线与圆锥曲线的位置关系（1）相离；（2）相切；（3）相交.特别地，①当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个公共点.②当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线相交且只有一个公共点.第三页第四页，共45页。

一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程例1如图所示，椭圆上的点M与椭圆右焦点F1的连线MF1与x轴垂直，且OM（O是坐标原点）与椭圆长轴和短轴端点的连线AB平行.（1）求椭圆的离心率；（2）F2是椭圆的左焦点，C是椭圆上的任一点，证明：∠F1CF2≤；（3）过F1且与AB垂直的直线交椭圆于P、

Q，若△PF2Q的面积是，求此时椭圆的方程.第四页第五页，共45页。思维启迪（1）从OM∥AB入手，寻找a，b，c的关系式，进而求出离心率.（2）在焦点三角形F1CF2中，用余弦定理求出

cos∠F1CF2,再结合基本不等式.（3）设P（x1,y1）、Q（x2,y2），则用设而不求的思路求解.（1）解设椭圆方程为(a>b>0)，则，

第五页第六页，共45页。（2）证明

由椭圆定义得：|F1C|+|F2C|=2a，cos∠F1CF2===.|F1C||F2C|≤=a2，∴cos∠F1CF2≥，∴∠F1CF2≤.（3）解设直线PQ的方程为y=-(x-c),即y=-(x-c).第六页第七页，共45页。代入椭圆方程消去x得：,整理得：5y2--2c2=0,∴y1+y2=,y1y2=.∴（y1-y2）2=.因此a2=50,b2=25,所以椭圆方程为.探究提高（1）求离心率，结合已知条件找到a,b,c的关系式；（2）C为椭圆上的任意一点，F1，F2为左、右焦点，当C点是椭圆短轴的一个端点时，∠F1CF2取得最大值.第七页第八页，共45页。变式训练1（2009·四川理，20）已知椭圆(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，离心率,右准线方程为x=2.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点F1的直线l与该椭圆相交于M、N两点，且,求直线l的方程.解（1）由条件有解得a=,c=1.∴b==1.∴所求椭圆的方程为第八页第九页，共45页。(2)由（1）知F1（-1，0）、F2（1，0）.若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为x=-1,将x=-1代入椭圆方程得y=±.不妨设与题设矛盾.∴直线l的斜率存在.设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+1).设M（x1,y1）、N（x2,y2）,联立第九页第十页，共45页。消y得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0.由根与系数的关系知x1+x2=从而y1+y2=k(x1+x2+2)=第十页第十一页，共45页。化简得40k4-23k2-17=0,解得k2=1或k2=-(舍).∴k=±1.∴所求直线l的方程为y=x+1或y=-x-1.第十一页第十二页，共45页。

二、圆锥曲线中的定值与最值例2已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1.（1）当直线BD过点（0，1）时，求直线AC的方程；（2）当∠ABC=60°时,求菱形ABCD面积的最大值.思维启迪（1）根据菱形的性质及条件求解.（2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不等式知识求解.

解（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1.因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD.于是可设直线AC的方程为y=-x+n.

x2+3y2=4,由得4x2-6nx+3n2-4=0

y=-x+n,.第十二页第十三页，共45页。因为A、C在椭圆上所以Δ=-12n2+64>0，解得.设A，C两点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，则x1+x2=,x1x2=,y1=-x1+n,y2=-x2+n.所以y1+y2=.所以AC的中点坐标为.由四边形ABCD为菱形可知，点在直线y=x+1上，所以,解得n=-2.所以直线AC的方程为y=-x-2,即x+y+2=0.（2）因为四边形ABCD为菱形，且∠ABC=60°,所以|AB|=|BC|=|CA|.第十三页第十四页，共45页。所以菱形ABCD的面积S=|AC|2.由(1)可得|AC|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,所以.所以当n=0时,菱形ABCD的面积取得最大值.探究提高解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：①利用函数，尤其是二次函数求最值；②利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；③利用不等式，尤其是均值不等式求最值；④利用判别式求最值；⑤利用数形结合，尤其是切线的性质求最值.第十四页第十五页，共45页。变式训练2（2009·银川模拟）已知椭圆的离心率为，以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点

B（0，b），且与直线l：相切.（1）求椭圆的方程；（2）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于M、N两点，该椭圆的左、右顶点分别为A1、A2，求证：直线MA1与直线NA2的斜率平方的比值为定值.（1）解设点F（c,0），其中.∵以右焦点F为圆心的圆过椭圆上的顶点B（0，b），∴圆的半径为

r=.由圆与直线l：x++3=0相切，得=a，又a=2c，∴c=1，a=2，b=.第十五页第十六页，共45页。∴椭圆方程为.（2）证明设M（x1,y1）,N(x2,y2)，当直线MN的斜率不存在时，直线MN的方程为x=1,∴当直线MN的斜率存在时，设直线MN的方程为y=k(x-1)，将其代入，得(3+4k2)x2-8k2x+4k2﹣12=0,∴x1+x2=,∴.第十六页第十七页，共45页。而,将其代入上式，得综上，知直线MA1与直线NA2的斜率平方的比值为定值.

三、圆锥曲线中的参数范围问题例3在平面直角坐标系xOy中，经过点（0，）且斜率为k的直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q.（1）求k的取值范围；

第十七页第十八页，共45页。（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A、

B，是否存在常数k，使得向量共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由.思维启迪（1）将直线l的方程与椭圆方程联立转化为关于x的一元二次方程，利用Δ>0求k的范围；（2）利用共线的条件建立等式求出k值进行判断.解（1）由已知条件知直线l的方程为y=kx+,代入椭圆方程得.整理得直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ=第十八页第十九页，共45页。解得.即k的取值范围为.（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则=（x1+x2，y1+y2），由方程①得x1+x2=②又y1+y2=k(x1+x2)+③而A（，0），B（0，1），=（，1）.所以共线等价于x1+x2=(y1+y2)，将②③代入上式，解得k=.由（1）知k<或k>,故没有符合题意的常数k.第十九页第二十页，共45页。探究提高直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧和方法.变式训练3如图，已知直线l与抛物线x2=4y相切于点P（2，1），且与x轴交于点A，O为坐标原点，定点B的坐标为（2，0）.第二十页第二十一页，共45页。（1）若动点M满足，求点M的轨迹C；（2）若过点B的直线l′（斜率不等于零）与（1）中的轨迹

C交于不同的两点E、F（E在B、F之间），试求△OBE与△OBF面积之比的取值范围.解（1）由x2=4y得y=x2,∴y′=x.∴直线l的斜率为y′|x=2=1.故l的方程为y=x-1，∴点A坐标为（1，0）.设M（x,y），则=（1，0），

=（x-2,y）,

=(x-1,y),由=0得（x-2）+y·0+·=0,整理，得+y2=1.第二十一页第二十二页，共45页。∴动点M的轨迹C为以原点是中心，焦点在x轴上，长轴长为，短轴长为2的椭圆.（2）如图，由题意知直线l′的斜率存在且不为零，设l′方程为y=k(x-2)(k≠0),①将①代入+y2=1，整理，得（1+2k2）x2-8k2x+8k2-2=0∴x1+x2=,x1x2=②由此可得=·，=,且0<<1.由②知（x1-2）+(x2-2)=,(x1-2)·(x2-2)=x1x2-2(x1+x2)+4=.第二十二页第二十三页，共45页。∴,即k2=.∵0<k2<,∴0<.解得3-<<3+.又∵0<<1，∴3-<<1.∴△OBE与△OBF面积之比的范围是（3-，1）.四圆锥曲线的综合性问题例4(2008·全国Ⅰ理,21)双曲线的中心为原点O,焦点在x轴上，两条渐近线分别为l1，l2，经过右焦点F垂直于l1的直线分别交l1,l2于A，B两点.已知||、||、||成等差数列，且与同向.第二十三页第二十四页，共45页。（1）求双曲线的离心率；（2）设AB被双曲线所截得的线段的长为4，求双曲线的方程.解

(1)设OA=m-d，AB=m，OB=m+d由勾股定理可得：(m-d)2+m2=(m+d)2化简得:d=mtan∠AOF=

tan∠AOB=tan2∠AOF=∴第二十四页第二十五页，共45页。解得则离心率e=.(2)过点F的直线方程为y=(x-c)与双曲线方程=1联立将a=2b，c=b代入，化简有4==将数值代入，有4=解得b=3最后求得双曲线方程为=1.第二十五页第二十六页，共45页。变式训练4(2009·全国Ⅰ理，21)如图，已知抛物线E：y2=x与圆M：（x-4）2+y2=r2(r>0)相交于A、B、C、D四个点.(1)求r的取值范围；（2）当四边形ABCD的面积最大时，求对角线AC、BD的交点P的坐标.解（1）将y2=x代入（x-4）2+y2=r2,并化简得x2-7x+16-r2=0.①E与M有四个交点的充要条件是方程①有两个不等的正根x1、x2,Δ=(-7)2-4(16-r2)>0,由此得x1+x2=7>0,

x1x2=16-r2>0.解得<r2<16,又r>0,第二十六页第二十七页，共45页。所以r的取值范围是.（2）不妨设E与M的四个交点的坐标为A（x1,）、B（x1,）、C（x2，）、D（x2,）.则直线AC、BD的方程分别为y-=·(x-x1),y+=,解得点P的坐标为（,0）,设t=,由t=及（1）知0<t<.由于四边形ABCD为等腰梯形，因而其面积S=则S2=（x1+x2+2）［(x1+x2)2-4x1x2］.将x1+x2=7,=t代入上式，并令f(t)=S2,第二十七页第二十八页，共45页。求导数，f′(t)=-2(2t+7)(6t-7).令f′(t)=0,解得t=,t=(舍去).当0<t<时，f′(t)>0,当t=时.f′(t)=0;当<t<时，f′(t)<0,故当且仅当t=时，f(t)有极大值，也为最大值即四边形ABCD的面积最大，故所求的点P的坐标为

.规律方法总结1.抛物线焦点弦的性质直线l过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F,交抛物线于A、第二十八页第二十九页，共45页。B两点，则有：（1）通径的长为2p.(2)焦点弦公式：|AB|=x1+x2+p.(3)x1x2=,y1y2=-p2.(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.2.求轨迹方程的常用方法（1）轨迹法：①建系设动点.②列几何等式.③坐标代入得方程.④化简方程.⑤除去不合题意的点作答.（2）待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数.（3）代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法.代入法的步骤：第二十九页第三十页，共45页。①设出两动点坐标（x,y）,(x0,y0).②结合已知找出x,y与x0,y0的关系，并用x,y表示

x0,y0.③将x0,y0代入它满足的曲线方程，得到x,y的关系式即为所求.（4）定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线的类型，进而求得曲线的方程.3.有关弦的中点问题（1）通法（2）点差法点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率.点差法的步骤：

第三十页第三十一页，共45页。①将两交点A（x1,y1）,B(x2,y2)的坐标代入曲线的方程.②作差消去常数项得到关于x1+x2,x1-x2,y1+y2,y1-y2的关系式.③应用斜率公式及中点坐标公式求解.4.解决直线与圆锥曲线问题的通法（1）设方程及点的坐标.（2）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程.（3）应用韦达定理及判别式.（4）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解.弦长公式：|AB|=.第三十一页第三十二页，共45页。一、选择题1.（2009·菏泽模拟）已知双曲线(a>)的两条渐近线的夹角（两条相交直线所成的锐角或直角为，则双曲线的离心率为（）

A.2B.C.D.解析双曲线的渐近线方程为y=±.①若=tan=,则a=∴c=,∴e=.②若,则a=，不符合要求.故选D.D第三十二页第三十三页，共45页。2.(2009·浙江文，6)已知椭圆(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A,点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若，则椭圆的离心率是（）A.B.C.D.解析如图，由于BF⊥x轴， 故xB=-c,yB=, 设P（0,t）, ∵， ∴（-a,t）=2（-c,-t）,∴a=2c. ∴.D第三十三页第三十四页，共45页。3.（2009·山东文，10）设斜率为2的直线l过抛物线y2=ax(a≠0)的焦点F，且和y轴交于点A，若△OAF（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（） A.y2=±4xB.y2=±8x C.y2=4xD.y2=8x 解析y2=ax的焦点坐标为,过焦点且斜率为2的直线方程为y=2，令x=0得： y=.∴=4， ∴a2=64, ∴a=±8.B第三十四页第三十五页，共45页。4.椭圆M：(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，P为椭圆M上任一点，且的最大值的取值范围是［c2,3c2］，其中c=,则椭圆M的离心率e的取值范围是() A.B. C.D. 解析由所以的最大值为

=（a+c）·（a-c），结合题意分析知c2≤a2_c2≤3c2，求得离心率的取值范围是，故选BB第三十五页第三十六页，共45页。5.P是双曲线(a＞0,b＞0)右支上的一点,

F1、F2分别为左、右焦点,且焦距为2c,△PF1F2的内切圆的圆心的横坐标是（） A.aB.b C.cD.a+b+c 解析设圆切PF1、PF2、F1F2分别于M、N、R， 则由双曲线定义知|PF1|-|PF2|=2a， 即（|PM|+|MF1|）-（|PN|+|NF2|）=2a， 又|PM|=|PN|，故|MF1|-|NF2|=2a， 而|MF1|=|RF1|，|NF2|=|RF2|， 因此|F1R|-|F2R|=2a， 设R（0，t），则t+c-（c-t）=2a，∴t=a.A第三十六页第三十七页，共45页。二、填空题6.（2009·湖南理，12）已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为. 解析∵双曲线中焦距比虚轴长，∴焦点处内角为60°,又由双曲线性质得四边形为菱形. ∴=tan30°=, ∴c=b,∴a2=c2-b2=2b2, ∴a=b. ∴e=.第三十七页第三十八页，共45页。7.（2009·聊城模拟）设双曲线(b>a>0)的半焦距为c，直线l过（a,0）、(0,b)两点.已知原点到直线l的距离为，则双曲线的离心率为. 解析直线l的方程为，即bx+ay-ab=0. 于是有,即ab=. 两边平方得16a2b2=3c4,∴16a2(c2-a2)=3c4. 即3c4-16a2c2+16a4=0,∴3e4-16e2+16=0. 解得e2=4,或e2=, ∵b>a>0,>1, ∴e2==1+>2,故e2=4,∴e=2.第三十八页第三十九页，共45页。8.（2009·南通模拟）已知抛物线y2=-2px(p>0)的焦点F恰好是椭圆(a>b>0)的左焦点，且两曲线的公共点的连线过F，则该椭圆的离心率为. 解析由题意F（，0），设椭圆的右焦点为M，椭圆与抛物线的一个交点为A，则|AF|=p，|FM|=p， ∴|AM|=p， ∴椭圆长半轴长a=, 椭圆的半焦距c=, ∴椭圆的离心率e=.第三十九页第四十页，共45页。三、解答题9.（2009·潍坊模拟）已知椭圆的两个焦点分别为

F1（0，），F2（0，），离心率为e=. （1）求椭圆方程； （2）一条不与坐标轴平行的直线l与椭圆交于不同 的两点