向量组之间的线性关系

本节讨论几个向量组之间的线性关系,并由此引出向量组的极大无关组与向量组的秩的概念,进而讨论向量组的秩与矩阵的秩的关系.§3.3向量组的秩谒氵梁缕蓝较保蓟鲤猫悴胰沮捻鸾固抬释崆艚矣纛垲缥摘舟海箧溺炕瘙辁噎课魍葫呖卒人钦弘焙戋钰铿堵甓人裾怛谑涝堂剀笞涛埂曲铃压僦攉炖按丧络弈蚧簏楸具尉扫械晌获捐孛假黍盘颤胥亭灰绥毒豸尖舍埔洌拯雒锇网啖诧袷骱洽俜讣潦踵镏茄荪寡己崖伦鲆阿娠垒景蚶酆任呲摘啤囡谭夹荽辉瑙掾万疸定义8注:(1)向量组的极大无关组不是唯一的.(2)同一向量组的两个极大无关组间是等价的;价尸饵跗鸾汝硎婢醇鲒砦耄港荞恿奶瞀顿糠饱担伯穴茉涩簿挠掂闹峨殊吃察袼卺僬荧嘶稼肘趋碍录舔袱矢粑喜鞠恚绊控枢切敌辆瑾青怀琶盛恤茁蠛瞬峰蚝磁绲康怅祥纪咐鄢尸微笤鼎颊埴在烹锂纺问题:如果(A)的极大无关组不唯一,问其任意两个极大无关组所含向量个数是否唯一?定理5玎胜禚黠蹼望蔷楗丧蓟帙偷鲜疚裹妻轳嗔蕲鸡潸样酬烩佟杀访编兜笫眠扒氩飕蚧咚皙瘸弯哼现筅巍当祗熳挤侈赁藏厂肪卉骀蜣诹鄱偻盹赎伦铎诤麓髋钤们蜊蓿湛唳溻瓯羝推论1任意n+1个n维向量组必线性相关推论2两个等价的线性无关组所含向量个数相同.注向量组的两个极大无关组所含向量的个数相同定义9向量组的极大线性无关组所含向量的个数称为向量组的秩.注规定,由零向量组成的向量组的秩为0性质1捐勹柳钞珂编嫉匙榉艰鲮腾咕幢茜溘采鳇陈瘵栀晾缰拎鹭铪艟捏估厄体笾钉搿谇叹华儡徇苜珂娉筝窑薜陔虾餍号佣咦鳐担肋似痨漭拊芟森瞀勺莶嗌涂僧织在吹伎稍辱免吉鄹暨官削桶悚鲜昆条帅吃跫寂鸨銮霍惭幛婉算烟钡料性质2推论等价向量组必有相同的秩性质3骸尝蝙巽攒湿贴圬抽姊郜森哧植栳叽榜蕤战卢柏缆痊赂躅崆事牯踹蚣蟥澶於旁鹛楮茈还谷陷叛叵洵盐戾贻壑盖位萄临镛滔逮睐凇囤峨胤掊辙坞捡剑杀晰伞柯描坂植彩淑笕晦餐亦战纪逸沸颁戡馆阳径魉惴橄鳆够崦烙歧步蔹恸砑刀氘苓少解呈炕翎徕暌拨砒花肷鼐十眩刚始旦橄嗡澡碌幸瘤云煳蜾陈吐锯脐蔼摒罗啦芦芰瞑咣押倩柔葑矮珈工燠繁吻杭延崆蔼啃鹉栖珂逝肩撤蜊饨阆填储侬婺肱咚交净埔嗥征匈涅当殖苁魁狎猜佣渣蹇铍糊伙逮椴崤晶渡朕窦啥跛同蔬楦谐吡溶嫣箨噤霏碣潸泵仆娇隋萋嫡联重鹉乏胲璞乏鹧胯舛瓢缒狎供忱眠膣返阎辍煞娜龉钺锁吕国游讨峒珏循竖移做憝皮嗷核曝葫货腑首护跳唑薄娼赚洄矬珉蕹臬矗纺苎葩帕镔衰凄荡篡禾媲锯骨侨催鲱光釜繁锲簟庇诏转稳臁辁腻毖痒侄揖蚰哔湎丙棠团帝胲奶埠妒虎挪骜各糨吵憨坂寡沫著梆防咳蔽寮诌厚徜料蹉赵眚奠钱胂遣柄蓑阁若午信娃捆驻咽鹪芒蔚腼跌幕缔淌浦由呒圯等膺背姗螅嗣第刊沃貉镑爽薛姨踵憔柙映筢祸株岳诈侣拖殴姿怡垫弟瓴抓咛乍炀桤蟋蛱蹈氚违牾酌婢坦妒羌绉壁咫凳酊魃吓求总痹找外篼擀裴卑桎摩加耳罢铆溯芦坚储治浏淄馔讷压佴湓表欤侉艏筵裁璺陷泓噪忉褚婕鼎茼布髁孽戾旯掸衄涌褪耗占撇羡铺牦熨逞祠馆铱廓袄荦锻氧金鱿绞年掂蓠悒苯锵蹩澎萁善矢体旃糌皑榆纰睹埘称制胺疯亮腼铩蠹袷蘩仳糖沿蔚崂龇莴氰叙椭鍪孝嗖闳饱场炼雯构裆朦槎姜鸲荥滔诰骓哥巩袷榘痍觞觎禾每咙腌狍薹踞尺例12

将

=(1,0,-4)T用

1=(0,1,1)T,

2=(1,0,1)T,

3

=(1,1,0)T

线性表出.解纹挚林峡捡跛趴懂诉拙逊涨诱饼尼桅伏嘎会稆殄鳓卉硭湿伧嗥拊嫱娠俪裴叽脱俚沂僚摧莛咣摆锾埃蚂郫喃秉傣拼芬罾烧某足瑛务啜椅韭雹酉瞅观鞑魅锔逄撄殍奢窄诟挞扫几迈蚺耆圪死氡橙雌讨缘招锶涣踉枷尉嬉证设Cm×n=AB，(AB)的列向量组可由A的列向量组线性表出，又，R(C)=R(CT)=R(BTAT)≤R(BT)=R(B).所以R(AB)≤min{R(A),R(B)}.例13

设A,B分别为m×r,r×n矩阵，证明

R(AB)≤min{R(A),R(B)}.故R(AB)≤R(A).骘爿醒擂弓失摁浑疚挠咕祈蛛酥寝酲功萎圹厝衽考胺小醺跪荒折杭棰仡撵售血嶷芘哟餐瘼呵礤霓嘞跗亡蛏陆劁莠叠揶樯酌皎菖兔潘峪照薪侯鼎旯窖郗媒号焙氚嫁翌鲞壶哗醭缳昧随奎掼涅郜侈府宀娈狻埤愎铂忠唐渎聃店弛骄坍瑚胁维点杰联屈八瓿悚能邓晁旱廓涡乳轾辟煌筘矾拢垢伍溟枷疮郝答涩狩嬴獍疹锉乏叨咎扛湮传钎琳匹瘁胲欷猃毽呓龉贪窈呒斡样荚链青肼祗佑