七年级数学上册专题3.2 一元一次方程与新定义（强化）（原卷版）

/专题3.2一元一次方程与新定义【例题精讲】定义一种新运算：☆，例如：☆，3☆．若☆，则的值是A．9 B． C．9或 D．无法确定【阅读】在数轴上，若点表示数，点表示数，则点与点之间的距离为．例如：两点，表示的数分别为3，，那么．（1）若，则的值为．（2）当是整数）时，式子成立．（3）在数轴上，点表示数，点表示数．我们定义：当时，点叫点的1倍伴随点，当时，点叫点的2倍伴随点，当时，点叫点的倍伴随点．试探究下列问题：若点是点的1倍伴随点，点是点的2倍伴随点，是否存在这样的点和点，使得点恰与点重合，若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由．

【题组训练】一．选择题（共15小题）1．定义运算，下面给出了关于这种运算的四个结论：①；②；③若，则；④．其中正确结论有A．①③④ B．①③ C．②③ D．①②④2．在有理数范围内定义运算“☆”：☆，如：1☆．如果2☆☆成立，则的值是A． B．5 C．0 D．23．任意四个有理数、、、，定义了一种新运算：，若，则的值为A．2 B．3 C．6 D．5．如图表示的数表，数表每个位置所对应的数都是1，2或3．定义为数表中第行第列的数，例如，数表第3行第1列所对应的数是2，所以．若，则的值为A．0，2 B．1，2 C．1，0 D．1，36．定义新运算：※．例如3※，已知4※，则A． B．6 C．4 D．7．现定义运算“”，对于任意有理数，满足．如，，若，则有理数的值为A．4 B．11 C．4或11 D．1或118．定义运算“”，其规则为，则方程的解为A． B． C． D．9．定义：“”运算为“”，若，则的值为A．1 B． C． D．210．用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定☆，若☆，则的值为A． B． C． D．11．在有理数范围内定义运算“”，其规则为，则方程的解为A． B．3 C．2 D．412．定义符号“”表示的运算法则为，若，则A． B． C．4 D．13．定义一种新的运算：，例如：，如果，则的值为A．1 B． C． D．14．定义“”的运算规则为，若，则的值是A． B．1 C． D．215．定义“”运算为，若，则A． B．1 C． D．2二．填空题（共14小题）16．若规定“”的意义为：，则方程的解是．17．已知，，，为有理数，现规定一种新的运算：．求当时的值．18．我们规定，若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“差解方程”，例如：的解为2，且，则该方程是“差解方程”．若关于的一元一次方程是“差解方程”，则的值为．19．，，，为有理数，现规定一种运算：，那么当时的值是．20．已知，，，为有理数，现规定一种新运算：，若，则．21．对于任意四个有理数，，，可以组成两个有理数对与，我们规定★．例如：★．（1）有理数★；（2）当满足等式★的是正整数时，整数的值是．22．将4个数，，，排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，上述记号就叫做2阶行列式．，则．23．对于有理数，，定义※，在此定义下，若9※，则．24．规定，若，则．25．解方程时，移项将其变形为的依据是．26．对于有理数，，都有△，例如3△．若△，则．27．现在定义一种运算，其规则为，根据此规则，如果满足，那么的值为．28．定义新运算※满足：※※，※※，并规定：1※，则关于的方程※※的解是．

三．解答题（共11小题）30．材料阅读：在数轴上，对于不重合的三点，，，给出如下定义：若点到点的距离是点到点的距离的2倍．我们就把点叫做，的二倍点．例如：如图，如果点表示的数为1，点表示的数为4．表示数3的点到点的距离是2，到点的距离是1．那么点是，的二倍点；但点不是，的二倍点，点是，的二倍点．问题解决：（1）当点表示的数为，点表示的数为3时，①若点表示的数为，则点（填“是”或“不是”，的二倍点；②若点是，的二倍点，则点表示的数是；（2）若，在数轴上表示的数分别为和5，现有一点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向数轴正半轴方向运动，当点到达点时停止，问点运动多少秒时，点恰好是，两点的二倍点？

31．定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：⊕，如：1⊕．在以上运算规则下，解决下列问题．（1）计算：2⊕；（2）解方程：⊕．32．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定※．例如：1※．（1）求※4的值；（2）若※，求的值．

33．在数轴上有，两点，点表示的数为．对点给出如下定义：当时，将点向右移动2个单位长度，得到点；当时，将点向左移动个单位长度，得到点．称点为点关于点的“联动点”．如图，点表示的数为．（1）在图中画出当时，点关于点的“联动点”；（2）点从数轴上表示的位置出发，以每秒1个单位的速度向右运动．点从数轴上表示7的位置同时出发，以相同的速度向左运动，两个点运动的时间为秒．①点表示的数为（用含的式子表示）；②是否存在，使得此时点关于点的“联动点”恰好与原点重合？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．

34．新定义题：小明在课外阅读中对有关“自定义型题”有了一定的了解，他也尝试着自定义了“颠倒数”的概念：从左到右写下一个自然数，再把它按从右到左的顺序写一遍，如果两数位数相同，这样就得到了这个数的“颠倒数”，如286的颠倒数是682．请你探究，解决下列问题：（1）请直接写出2022的“颠倒数”为．（2）能否找到一个数字填入空格，使由“颠倒数”构成的等式□□成立？请你用下列步骤探究“□”所表示的数字．①设这个数字为，将自然数“6□”和“□6”转化为用含的代数式表示分别为和；②列出关于的满足条件的方程，并求出的值；③经检验，所求的值符合题意吗？（填“符合”或“不符合”

35．在有理数范围内定义运算“※”，其规则为※．（1）求2021※2022的值；（2）求方程※的解．36．数轴上有，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“关联点”．例如，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“关联点”．（1）若点表示数，点表示数1，下列各数，2，4，6所对应的点分别是，，，，其中是点，的“关联点”的是；（2）点表示数，点表示数15，为数轴上一个动点：①若点在点的左侧，且点是点，的“关联点”，求此时点表示的数；②若点在点的右侧，点，，中，有一个点恰好是其它两个点的“关联点”，请求出此时点表示的数．

37．用“※”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定如下：※．例如：※．（1）求2※的值；（2）化简：※※；（3）若※※，求的值．38．用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定，如：．（1）求的值；（2）若，求的值．

39．观察下列两个等式：，，