基本不等式（必修）

341基本不等式问题1：前面，大家学习了等差、等比数列，曾涉及到两个概念：两个数的等差中项和等比中项，那么这两个数的等差中项和等比中项哪个大？问题2：请你证明这个不等式：若a>0，b>0，则

看谁的方法多、方法好！若a>0，b>0，则≥即当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式基本不等式在数学中，我们把叫做正数a，b的算术平均数等差中项），叫做正数a，b的几何平均数（等比中项）；文字叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数适用范围：a>0,b>0对于以上的不等式早在中国古代数学家

赵爽的弦图设计中已有说明。在2002年北京召开的第24届国际数学家大会中，会标也是根据赵爽的弦图设计理念，设计了一个看上去象一个风车的会标。思考：这会标中含有怎样的几何图形？思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ab1、正方形ABCD的面积S=＿＿＿＿＿２、四个直角三角形的面积和S’=＿＿３、S与S’有什么样的不等关系？探究１：S___>__S′问：那么它们有相等的情况吗？ADBCEFGHba重要不等式：一般地，对于任意实数a、b，我们有当且仅当a=b时，等号成立。ABCDEFGHab思考：你能给出不等式的证明吗？证明：（作差法）结论：一般地，对于任意实数a、b，总有当且仅当a=b时，等号成立文字叙述为:两数的平方和不小于它们积的2倍适用范围：a,b∈R问题替换后得到：即：即：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗问题Rt△ACD∽Rt△DCB，ABCDEabO如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD②如何用a,b表示CDCD=______①如何用a,b表示ODOD=______你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗问题三②如何用a,b表示CDCD=______①如何用a,b表示ODOD=______③OD与CD的大小关系怎样OD_____CD＞≥如图,AB是圆的直径,O为圆心，点C是AB上一点,AC=a,BC=b过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD、OD几何意义：半径不小于弦长的一半ADBEOCab适用范围文字叙述“=”成立条件a=ba=b两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数两数的平方和不小于它们积的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比较：注意从不同角度认识基本不等式例1：1如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？解：如图设BC=，CD=y，则y=100，篱笆的长为2ym当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m此时=y=10=yABDC若、y皆为正数，则当y的值是常数P时，当且仅当=y时，y有最小值_______例1：2如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=，CD=y，则2y=36,y=18矩形菜园的面积为ym2得y≤81当且仅当=y时，等号成立因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2即=y=9ABDC若、y皆为正数，则当y的值是常数S时，当且仅当=y时，y有最大值_______；①各项皆为正数；②和或积为定值；③注意等号成立的条件一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值时，要注意已知

x,y

都是正数,P,S

是常数.(1)xy=P

x+y≥2P(当且仅当

x=y时,取“=”号).(2)x+y=S

xy≤S2(当且仅当

x=y时,取“=”号).14变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为ym2ABDC得144≥2y当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即y≤72即=12，y=62y=24=2y变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：如图，设BC=，CD=y，则篱笆的长为矩形花园的面积为ym2ABDCy不是定值2=24为得2y≤144当且仅当时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2即y≤72即=12，y=62y=24=2y变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？分析：设AB=，BC=24－2，ABDC变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个一边靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时，花园的面积最大，最大面积是多少？解：设AB=，BC=24－2，矩形花园的面积为24－2m2当且仅当2=24－2,即=6时，等号成立因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时，花园面积最大，最大面积是72m2其中224-2=24是定值变式：如图，用一段长为24m的篱笆围一个