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223向量数乘运算及其几何意义1掌握向量的数乘运算及几何意义；2掌握向量数乘运算律，并会运用它们进行计算；3理解两个向量共线的条件，能表示与某个非零向量共线的向量，能判断两个向量共线；4通过本节课的学习，体会类比和化归思想．如何用三角形法则求作两个非零向量的和向量？首尾相接连端点OAB如何用三角形法则求作两个非零向量的差向量？共起点，连终点，方向指向被减向量OAB问题：一条细绳横贯东西，一只蚂蚁在细绳上做匀速直线运动，若蚂蚁向东方向一秒钟的位移对应的向量为，那么它在同一方向上3秒钟的位移对应的向量怎样表示？蚂蚁向西3秒钟的位移对应的向量又怎样表示？你能用图形表示吗？定义：一般地，我们规定：实数λ与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘记作λ，该向量的长度与方向规定如下：（1）|λ|=|λ|||；（2）λ>0时,λ与方向相同；λ<0时,λ与方向相反；λ=0时,λ=学习新知思考：如图，设点M为△ABC的重心，D为BC的中点，那么向量与，与分别有什么关系？ABCDM向量数乘的运算律及共线向量基本定理思考1：你认为－2×（5

），

，2

（

＋）

可分别转化为什么运算？-2×

(5

)=-10

；(3＋)

=3

＋2

（

＋

）=

2

+

2

；数乘运算律：一般地，设λ，μ为实数，则λ(μ

)=(λμ)

；(λ＋μ)

=λ

＋μ

；λ(

＋

)=λ

＋λ

.思考2：你能理解上述运算律的几何意义吗？思考1：对于向量（≠）和，若存在实数λ，使=λ，则向量与的方向有什么关系？思考2：若向量

（

≠）与

共线，则一定存在实数λ，使

=λ

成立吗？思考3：若

＝，上述定理成立吗？共线向量基本定理：向量

（

≠）与

共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使

=λ

.共线向量基本定理ABPO思考4：若存在实数λ，使，则A、B、C三点的位置关系如何？A、B、C三点共线思考5：如图，若P为AB的中点，则与、的关系如何？向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量、，以及任意实数λ、、y，恒有λ(x

±y

）=λx

±λy

.例1计算（1）（－3）×4；（2）3（＋）－2（－）－；（3）（2＋3－）－（3－2＋）23O例2如图，已知任意两个非零向量试作你能判断A、B、C三点之间的位置关系吗？为什么？ABCA、B、C三点共线例3如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且=，=，试用,表示向量、、、MABDC1计算：2若向量方程，则向量等于（）3在中，已知是边上的一点，若，则等于（）ABCDA4根据下列各小题中给出的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明简析:（1）平行四边形，一组对边平行且相等（2）梯形，一组对边平行且不相等（3）菱形，一组对边平行且相等，一组邻边相等5如图，在平行四边形ABCD中，点M是AB中点，点N在线段BD上，且

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