二次函数的中考二次函数知识点总结中学教育中考

抛物线的对称轴在y轴右侧；0，即抛物线的对称轴就是y轴；0，抛物线的对称轴在y轴右侧；0，即抛物线的对称轴就是y轴；0，09年市)如图，在第一象限作射线OC,与x轴的夹角为30o,为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y4a2bc0；⑤ca1其中所有正确结论的序号是（）A．①②B 二次函数知识点总结及相关典型题目第一部分二次函数基础知识相关概念及定义数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a0，而b，c可以为零．二次函数的定二次函数各种形式之间的变换hbk4acb2二次函数解析式的表示方法注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交函数解析式的这三种形式可以互化.二次函数yax2的性质开口方向顶点坐标对称轴性质大值0．aa的符号开口方向顶点坐标对称轴性质性质>1；⑧当x>-1时，y随x的增大而减小；或当x<-1时，y元．4.（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(2即抛物线对称轴在>1；⑧当x>-1时，y随x的增大而减小；或当x<-1时，y元．4.（1）y=(60-x-40)(300+20x)=(2即抛物线对称轴在y轴的左侧．总结起来，在a确定的前提下，b决y45．（1）求一次函数ykxb的表达式；（2）若该商场获得抛物线b 二次数y性质号向上h，0X=h开口方向顶点坐标对称轴性质aa的符号开口方向顶点坐标对称轴性质X=hX=ha的符号决定抛物线的开口方向：当a0时，开口向上；当a0时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同.对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作x：（b4acb2开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.二次项系数a一次项系数bb2ab2ab2a）--可修编.-.2（2009年XX）如图，直角坐标系中，两1③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y＝kx＋b(k）--可修编.-.2（2009年XX）如图，直角坐标系中，两1③斜截直线的斜截式方程，简称斜截式:y＝kx＋b(k≠0)-3，1；⑦y>0时，-3<x<1；或y<0时，x<-3或x········（4分）抛物线的开口向下，当x90时，W随x方程组 ⑵在a0的前提下，结论刚好与上述相反，即b2ab2ab2a常数项c⑴当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；⑵当c0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；求抛物线的顶点、对称轴的方法直线xbb2b2a4ab4acb2对称轴是对称轴是直线xh.运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.用待定系数法求二次函数的解析式直线与抛物线的交点抛物线与x轴的交点:二次函数yax2bxc的图像与x轴的两个交点的横坐标x、x，是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根.抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：①有两个交点0抛物线与x轴相交；②有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；③没有交点0抛物线与x轴相离.平行于x轴的直线与抛物线的交点横坐标是ax2bxck的两个实数根.一次函数ykxnk0的图像l与二次函数yax2bxca0的图像G的交点，由x1的顶点坐标为。28.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩如图所示，有以下结论：①abc0；②abc1；③abc0；④为100×100=10000。当x=50时，可获最大包房收入acb2)最大（小）值4a.6.．（2009年）某商场试销一2 抛物线与xx1的顶点坐标为。28.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩如图所示，有以下结论：①abc0；②abc1；③abc0；④为100×100=10000。当x=50时，可获最大包房收入acb2)最大（小）值4a.6.．（2009年）某商场试销一2 抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线yax2是方程ax2Bx022平移b.1caABxxxx二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达yax2bxc关于x轴对称后，得到的解析式是yax2yaxh2k关于x轴对称后，得到的解析式是yyax2bxc关于y轴对称后，得到的解析式是yax2yaxh2k关于y轴对称后，得到的解析式是y关于原点对称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yyaxh2k关于原点对称后，得到的解析式是y关于顶点对称yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式是yax2bxyaxh2k关于顶点对称后，得到的解析式是ya关于点m，n对称yaxh2k关于点m，n对称后，得到的解析式是yaxh2m22nk总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．平移步骤：⑴将抛物线解析式转化成顶点式yaxh2k，确定其顶点坐标h，k；规律在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．该单位最多应付旅游费多少元？--可修编..（2009年滨州）面积为ym2，该单位最多应付旅游费多少元？--可修编..（2009年滨州）面积为ym2，y与x的函数图象如图（2）所示。观察图象，当x的增大而增大，而60≤x≤87，当x87时，W(8790)2图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）111（212 22、已知抛物线y=-x2+ax+4,交x轴于A,B（点A在点B左边）两点，交y轴于点C,且OB-OA=OC，求此41.根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。11，在直角坐标系中，不论a取何值，抛物线yx22x2a2经过x轴上一定点Q，直线2，抛物线y=x2+(2m-1)x-2m与x轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。3，抛物线y=ax2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A，求抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m0)与x轴交于A、B两点，与轴交于C点，且AB=BC,求此抛物线的解1、抛物线y=x2-2x+(m2-4m+4)与x轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y轴距离的2倍，求31，平行四边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0AC=16，D（2，6）。AD交y轴于E，将三角形ABC沿x轴折叠，点B到B的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2，求与抛物线y=x2+4x+3关于y轴（或x轴）对称的抛物线的解析式。知识点一、二次函数的概念和图像1、二次函数的概念2的最小值是（）A.2（B）1（C）-1（D）-22（20022向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达点B2的最小值是（）A.2（B）1（C）-1（D）-22（20022向上平移一个单位后，得以新的抛物线，那么新的抛物线的表达点B到B的位置，求经过A,B,E三点的抛物线的解析式。2，求得ayx25x4x52x25x4．（2）（答案不唯一，合理即22最值b是否在自变量取值围x12 bb.2、二次函数的图像二次函数的图像是一条关于x对称的曲线，这条曲线叫抛物线。①有开口方向；②有对称轴；③有顶点。3、二次函数图像的画法（1）先根据函数解析式，求出顶点坐标，在平面直角坐标系中描出顶点M，并用虚线画出对称轴当抛物线与x轴有两个交点时，描出这两个交点A,B及抛物线与y轴的交点C，再找到点C的对称点D。将这五个点按从左到右的顺序连接起来，并向上或向下延伸，就得到二次函数的图像。当抛物线与x轴只有一个交点或无交点时，描出抛物线与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数的解析式二次函数的解析式有三种形式：口诀-----（2）有实11知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值即当x时，4acb2如果自变量的取值围是x12a0；②b0；③c0；④abc0.其中正确结论的序号是；35离:b若l//la0；②b0；③c0；④abc0.其中正确结论的序号是；35离:b若l//l，则有l--可修编..抛物线yax2bxc中区旅游，设有x人参加，应付旅游费y元．(1)请写出y与x的函xc；axh2k；yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式2最小ax212 .bb4acb24a12最大2最小22最大2最小21ax2bxc。2☆、几种特殊的二次函数的图像特征如下：最大最大ax2bx1开口方向开口向上开口向下对称轴x顶点坐标b4acb2bkk知识点四、二次函数的性质1、二次函数的性质二次函数二次函数yyxx00为0；⑶当c0时，抛物线与y为0；⑶当c0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与yxc；axh2k；yax2bxc关于顶点对称后，得到的解析式利润为W元，试写出利润W与销售单价x之间的关系式；销售单价定3(2009年)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，b与对称轴有关：对称轴为x=.4acb2b的增大而减小；在对称轴的右侧，即当b2a4acb24a4acb2b的增大而增大；在对称轴的右侧，即当b2a4acb24a4a4a最小值最大值bba<0时，抛物线开口向下b2a：（3、二次函数与一元二次方程的关系一元二次方程的解是其对应的二次函数的图像与x轴的交点坐标。知识点五中考二次函数压轴题常考公式（必记必会，理解记忆）1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）y则AB间的距离，即线段AB的长度为xx2yy2AB.②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与3，2).；2（-1，0），（4，0）；23；2(－1.②方程组只有一组解时l与G只有一个交点；③方程组无解时l与3，2).；2（-1，0），（4，0）；23；2(－1，5)a），对称轴是配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为y。给出四个结论：①a>0；②b>0；③c>0；④a+b+c=12kk且d00k21 yOxAyOBxyOCxk.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.c(a0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是（）（）yyODx说明①函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，ab值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右②向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减b为直线在y轴上的截距4、直线方程：4、①两点由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两b1121k2k1121k2k1221002kx)【或下(k<0)】平移|k|个单位规律在原有函数的基础上“)【或下(k<0)】平移|k|个单位规律在原有函数的基础上“；(1，5)；yx21；4；335；1；yx22xx22x3卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件b,c是常数，a0)叫做二次函数的一般式。二次函数的图像二次 .（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2中的a完全一样.（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线ybaxba③（3）c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置.以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y轴右侧，则ba0开口方向顶点对称轴最值对称轴左右侧在对称轴的左增大而减小.在对称轴的右在对称在对称在对称在对称在对称在对称轴的左着x的增对称轴的右侧,y随着x在对称轴的左着x的增对称轴y随着x在对称轴的左增大而减小.在对称轴的右在对称轴的左增大而减小.在对称轴的右，abc,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理，abc,的作用（1）a决定开口方向及开口大小，这与yax2出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理线y=ax2+bx+c与x轴有两个不同的交点，则关于x的一元物线y=4(x+a)2-2a的顶点为（3，1），求抛物线的解12.注：图形呈上升状态→拍马屁→y随着x的增大而增大第26章二次函数同步学习检测（一）一、选择题（每小题2分，共102分）（）A2，3）B2，3）C23）D23）4、（2009年）如图，动点P从点A出发，沿线段AB运动至点B后，立即按原路返回，点P在运动过程中速度大小不变，则以点A为圆心，线段AP长为半径的圆的面积S与点P的运动时间t之间的函数图象大DD23n（m，n是常数）的顶点坐标是（）A．只有一个交点B．有两个交点，且它们分别在y轴两侧该单位最多应付旅游费多少元？--可修编..（2009年滨州）.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、该单位最多应付旅游费多少元？--可修编..（2009年滨州）.如图所示，二次函数y＝x2－4x＋3的图象交x轴于A、B两但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点降价x元、每星期售出商品的利润为y元，请写出y与x的函数关系 CDC.C．有两个交点，且它们均在y轴同侧D．无交点（）（）yy1oy1xy1（）D．不能确定A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．由b2-4ac的值确定水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如y水面在l时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，水面宽4m．如y轴交于负半轴．给出四个结论：①abc＜0；②2a＋b＞0；。29．(2010年宁阳一模)根据yax2bxc的图象，思考每小题2分，共102分）抛物线y=x2向左平移8个单位，再向.（）16、（2009年XX）已知二次函数yax2bxc（a0）的图象如图所示，有下列四个结论：（）（）（）A．点C的坐标是（0，1）B．线段AB的长为2x点，与y轴的交点.点，与y轴的交点.☆、已知二次函数yax2bxA、a0，b0解析式。2，已知抛物线y=a(x-1)２+4，经过点A（2，随x的增大而增大．等等；111；1或12.5；13,3；1；1个单位，然后向上平移3个单位，则平移(x1)23C．y(x.：（a02）c13）b04）abc05）abc0.你认为其中正确信息的个数有A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位（）A.2（B）1（C）-1（D）-229、（2009年XX市）在平面直角坐标系中，先将抛物线yx2x2关于x轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）（）列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数xxxx.12直线与抛物线的交点y轴与抛物线yax2bxc得列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c＞0时且函数xxxx.12直线与抛物线的交点y轴与抛物线yax2bxc得，故caABxxxx1212二次函数图象的对称:二次函数图象B，然后顺次连接五点，画出二次函数的图像。知识点二、二次函数yx242.33、(2009年)已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图：（a02）c13）b04）abc05）abc0.你认为其中正确信息的个数36、（2009年）在同一直角坐标系中，函数ymxm和函数ymx22x2（m是常数，且m0）4y4y4y4y4112（）4a后抛物线的解析式为x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移2-9B.y=(x-8)2+9C.y=(x-8)2-9D.y图象如图所示，则此抛物线的解析式为．x2的图象，则阴影部分的式。判别式式。已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m2-9B.y=(x-8)2+9C.y=(x-8)2-9D.y图象如图所示，则此抛物线的解析式为．x2的图象，则阴影部分的式。判别式式。已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m线经过点C(0,2),求抛物线的解析式.距离式。1，抛物线y-.41、(2009年)某车的刹车距离y（m）与开始刹车时的速度x（m/s）之间满足二次函数y1x2（x＞0若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为42、（2009年市）已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，有以下结论：①abc0；②（）（）x（）34（）与y轴的交点C与y轴的交点C及对称点D。由C、M、D三点可粗略地画出二次函线的交点可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，边形ABCD对角线AC在x轴上，且A（-10，0），AC=1个。27.抛物线y2x24x3的顶点坐标是;抛物线y2x28.二、解答题1．已知一次函ym2x2m3xm2的图象过点（0，5）3．(2009年市)面对国际金融危机，某铁路旅行社为吸引市民组团去某风景区旅游，推出如下标准：人数人数不超过25人超过25人但不超过50人超过50人人均旅游费1500元每增加1人，人均旅游费降低20元1000元作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m0时，图像与x作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y轴作轴对称变换，那么经两抛物线的解析式。2，已知抛物线y=mx2+3mx-4m(m0时，图像与x轴有一个交点；当<0时，图像与x轴没有交点。知识析式。交点式。1，已知抛物线与x轴两个交点分别为（3，0）,3 .理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题：第26章二次函数同步学习检测（一）答案1A18D35C2B19B36D3A20D37D421D38A5A22C39C6B23B40D7B24A41A8A25C42C9C26B43C10D27D44B11C28A45D12C29C46D1330A47B14B31A48D15C32D49C16C33C50A17A34C51C：（．式。判别式式。已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a式。判别式式。已知关于X的一元二次方程（m+1）x2+2(m函数yax2bxc的图象中，观察得出了下面五条信息：（1）a对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交象如图所示，对称轴是直线x1，则下列四个结论错误--可修编.1且图象与x轴的另一交点到原点的距离为.因为a200，所以抛物线开口向下．又因为对称轴是直线x50．最大值第26章二次函数同步学习检测（二）1、（2009年市）若把代数式x22x3化为xm2k的形式，其中m,k为常数，则m+k=__________.1，则该二次函数的解析式为______________．的正半轴的交点在(0，2)的下方．下列结论：①4a2bc0；②abx19、（2009年省黔东南州）二次函数yx22x3的图象关于原点O（0,0）对称的图象的解析式是_________________。，但会减少y间包房租出，请分别写出y、y与x之间的函数关系式ybxb24ac与反比例函数abcx2（2009年市）已知a,k是常数，a0)知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值围次函数同步学习检测（二）答案－3；yx2x，y1x21；-1，但会减少y间包房租出，请分别写出y、y与x之间的函数关系式ybxb24ac与反比例函数abcx2（2009年市）已知a,k是常数，a0)知识点三、二次函数的最值如果自变量的取值围次函数同步学习检测（二）答案－3；yx2x，y1x21；-12ABA10、已知二次函数yx222x112C是函数y=2.2面积是.x3．其中，正确的说法有．（请写出所有正确说法的序号）bxc的部分图象如图所示，请写出与其关系式、图象相关的2个正确结216、（2009年）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是cm2．加利润，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施。经调查发现：如果每件衬衫降价1元，商场平均每天可多售出2件。则商场降价后每天盈利y（元）与降价x（元）的函数关系式为_________。19、（2009年）出售某种文具盒，若每个获利x元，一天可售出6x个，则当x元时，一天出售该种21．(2009年市)已知A、B是抛物线yx24x3上位置不同的两点，且关于抛物线的对称轴对称，则点A、B的坐标可能是_____________写出一对即可）y轴的正半轴上，点B，123B2x2的图象如图所示，点A位于坐标原点，点A，A，A，…，A在，B，…，B在二次函数yx2位于第一象限的图象上，若△ABA,△ABA，△ABA，…，△200720082008都为等边三角形，则△ABA的边长＝抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2抛物线y=ax2+k的唯一公共点A（2，1）,求抛物线的解析，但会减少y间包房租出，请分别写出y、y与x之间的函数关系式向，然后再写出其对称抛物线的表达式．二次函数图象的平移平移步b为直线在y轴上的截距直线方程：①两点由直线上两点确定的直线.O，Q为顶点的三角形与△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是.28.用长度一定的绳子围成一个矩形，如果矩形的一边长x（m）与面积y（m2）满足函数关系yx－12）2＋144（0＜x＜24那么该矩形面积的最大值为_____m2。分别为________________．34、二次函数yax2bxc的图象开口向上，图象经过点1，2）和（1，0且与y轴相交于负半35．将二次函数yx2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数表达式是。36．将抛物线y=-3x2向上平移一个单位后，得到的抛物线解析式是。37．用铝合金型材做一个形状如图（1）所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光序号是_____________________。由。5．(09)大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长中，a,b,c由。5．(09)大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长中，a,b,c与函数图像的关系二次项系数a二次函数yax2b2009市）二次函数yax2bxc的图象如图所示，则一次函数3；3；；1.（1）（1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小125.则另一个动点也停止运动，则三角形APQ的最大面积是_____.；（(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．二、解答题(共40分)1.已知二次函数yx22x（二、解答题(共40分)1.已知二次函数yx22x（1）求出抛个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向b2ac表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）二次函数与一元A．y2(x1)2B．y2(x1)2C．y2x21D．y2x2（参考公式：二次函数y＝ax2bxc（a≠0当xb2a.yy