解析几何知识点

解析几何一.知识网络曲线与方程•—直线的倾斜角和斜率厂点斜式—直线方程的基本形肝两点式1-一般式在线上在线外-直釦一点和直线的位置关系匚点到直线的距离厂垂直 交占八、、—夹角L一兀一次不等式表示平面区域—简单的线性规划十线性规划线性规划的实际应用I-重合—两条直线的位置关系平行—相交閉的定义厂标准式一一般式-参数式直线与圆的位置关系圆的方程—圆与圆的位置关系一一点与圆的位置关系-圆锥曲线一一椭圆、曲线、直线•直线与圆知识要点交点相交I弦长-曲线与方程•—直线的倾斜角和斜率厂点斜式—直线方程的基本形肝两点式1-一般式在线上在线外-直釦一点和直线的位置关系匚点到直线的距离厂垂直 交占八、、—夹角L一兀一次不等式表示平面区域—简单的线性规划十线性规划线性规划的实际应用I-重合—两条直线的位置关系平行—相交閉的定义厂标准式一一般式-参数式直线与圆的位置关系圆的方程—圆与圆的位置关系一一点与圆的位置关系-圆锥曲线一一椭圆、曲线、直线•直线与圆知识要点交点相交I弦长--相切-'L相等圆的切线位置关系判定方法：圆心到直线的距离d与半径R的比较「外切、相交、内切、内含位置关系—应用两立方程的解式位置关系L圆心点与两半径和（差）比较L判定方法：圆心距离与两半径和（差）的比较-圆内 1厂位置关系—圆外L圆上JL判定方法：点到圆心的距离与半径R的比较厂外切、相交、内切、内含一圆心点与两半径和（差）比较一・一一、…....疋—性质：对称性、焦点、顶点、义一标准方程一离率、准线、焦半径等冷线与圆锥曲线的位置关系1.直线的倾斜角与斜率k=tana，直线的倾斜角a一定存在，范围是［0,n），但斜率不一定存在；斜率不存在时，倾斜角为直角；牢记下列图像。2.3.4.5.斜率的求法：①依据直线方程;②依据倾斜角;③依据两点的坐标;④依据方向向量注意点：（1）注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解直线方程的几种形式，能根据条件，合理的写出直线的方程；能够根据方程，说出几何意义。两条直线的位置关系，能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。（斜率相等还有可能重合）两条直线的交角：区别到角和夹角两个不同概念。点到直线的距离公式。有关点、直线对称问题；会用一兀不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题曲线与方程的概念，会由几何条件列出曲线方程。圆的标准方程：（x－a）2+（y－b）2=r2

)，r=圆的一般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件（D2+E2-4F>0）,圆心)，r=「x二a+rcos0圆的参数方程：［y=b+rsin6掌握圆的几何性质，会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。三、圆锥曲线主要考察的是：2．圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。2.3.4.5.6.7.8.9.曲线的第一，第二定义;二种曲线的标准方程;有关a,b,c,e,准线，渐进线的计算公式;焦点的位置;焦半径公式;过焦点的三角形的运算;直线与曲线的位置关系计算：（交点的距离，斜率，中点，代入曲线方程）;利用渐进线求双曲线的一般标准方程；应用：求最值时考虑椭圆的参数方程。一、椭圆及其标准方程<、双曲线及其标准方程：J2.3.4.5.6.7.8.9.曲线的第一，第二定义;二种曲线的标准方程;有关a,b,c,e,准线，渐进线的计算公式;焦点的位置;焦半径公式;过焦点的三角形的运算;直线与曲线的位置关系计算：（交点的距离，斜率，中点，代入曲线方程）;利用渐进线求双曲线的一般标准方程；应用：求最值时考虑椭圆的参数方程。一、椭圆及其标准方程<、双曲线及其标准方程：J「第一定义、第二定义标准方程（注意焦点在哪个轴上）椭圆的简单几何性质：（a、b、椭圆的参数方程x=a可用参数方程第一定义、第二定义（注意与椭圆相类比）标准方程（注意焦点在哪个轴上）双曲线的简单几何性质：（a、b、c、e的几何意义，准线方程，焦半径，渐近线）c、e的几何意义，准线方程，焦半径）cos6,y=bsin6，当点P在椭圆上时，设点的坐标，把问题转化为三角函数问题。» ［定义，以及定义在解题中的灵活应用、抛物线及其标准方程» ［定义，以及定义在解题中的灵活应用、抛物线及其标准方程■（抛物线上的点到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。）［标准方程（注意焦点在哪个轴上，开口方向，p的几何意义）四种形式

|抛物线的简单几何性质：（焦点坐标，准线方程，与焦点有关的结论）'位置关系，经常转化为方程的解的情况。四、直线与圆锥曲线：［弦长。运用韦达定理解决面积。注意合理分析解析几何中的一些常用结论：x2x2y21•焦半径公式：在椭圆石+厉"中，JF2分别左右焦点，P（xo，yo）是椭圆是一点,则：(1)|PF|=a+ex10则：(1)|PF|=a+ex10|PF2|=a-ex0（2）三角形PFxF2的面积如何计算3．直线y=kx+b和圆锥曲线f（x,y）=0交于两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）贝y弦长PP二a/1+k2|x—xI1212双曲线的渐近线的求法（注意焦点的位置）已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。抛物线中与焦点有关的一些结论：（要记忆）解题思路与方法：（了解）高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外，就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题•且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等•其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系•在复习过程中要注意下述几个问题：（1） 在解答有关圆锥曲线问题时，首先要考虑圆锥曲线焦点的位置，对于抛物线还应同时注意开口方向，这是减少或避免错误的一个关键.F（2） 在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时，可以利用方程组消元后得到二次方程，用判别式进行判断•但对直线与抛物线的对称轴平行时，直线与双曲线的渐近线平行时，不能使用判别式，为避免繁琐运算并准确判断特殊情况，此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法画出方程所表示的曲线，通过图形求解.当直线与圆锥曲线相交时：涉及弦长问题，常用“韦达定理法”设而不求计算弦长即应用弦长公式）；涉及弦长的中点问题，常用“点差法”设而不求，将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来，相互转化•同时还应充分挖掘题目的隐含条件，寻找量与量间的关系灵活转化，往往就能事半功倍（3） 求圆锥曲线方程通常使用待定系数法，若能据条件发现符合圆锥曲线定义时，则用定义求圆锥曲线方程非常简捷•在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题，也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程一般求已知曲线类型的曲线方程问题，可采用“先定形，后定式，再定量”的步骤定形一一指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置.定式一一根据“形”设方程的形式，注意曲线系方程的应用，如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时，可设方程为mx2+ny2=1（m>0,n>0）.定量一一由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系，通过解方程得到量的大小（4） 在解与焦点三角形（椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形）有关的命题时，一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义.（5） 要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用.（6） 求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一，它是各种知识的综合运用，具有较大的灵活性，求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”，将“形”化成“数”，使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质.求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等，解题时，注意求

轨迹的步骤：建系、设点、列式、化简、确定点的范围.7）参数方程，请大家熟练掌握公式，后用化归的思想转化到普通方程即可求解.nk=mnk=m（1）给出直线的方向向量u=G,k）或u=（m,n）c~>—►（2） 给出PM+PN=0，等于已知P是MN的中点；（3） AD二1（ab+AC）oD是BC的中点；2（4） 堑出以下情形之一:①AB//AC；②存在实数九,使AB=九AC；③若存在实数a,0,且a+0=1,使OC=aOA+0OB，等于已知A,B,C三点共线.（5） MA-MB=0,oMA丄MB，即ZAMB是直角；mA-mB=m<0,oZAMB是钝角，MA-MB=m>0,oZAMB是锐角，（6） 在平行四边形ABCD中，给出IAB+AD1=1AB-ADI，等于已知ABCD是矩形；（7） 在AABC中，给出OA+OB+OC=0，等于已知O是AABC的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）； 一一——（8） 在AABC中，给出OA-OB=OB-OC=OC-OA，等于已知O是AABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（9） 在AABC中，给出a-OA+b-OB+c-OC=0,等于已知O是AABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；3■圆锥曲线⑴■椭圆的性质1条件{MIMF]l+IMF2l=2a，2a〉IF]F2I}IMF]I IMFI{MI点M到1的距离=点“到1的距离=e，0<e<1}12标准方程x2 y2——+二=1（a〉b〉0）a2 b2匕+丄=1（a〉b〉0）b2a2顶点A]（—a， 0），人2@， 0）B1（0，-b），B2（0，b）A]（0，—a），A?（0，a）B1（-b，0），B2（b，0）轴对称轴：x轴，y轴.长轴长IA]AJ=2a，短轴长IB]BJ=2b焦点F1（-c，0），F2（c，0）F1（0，—c），F2（0，c）焦距IF1F2I=2c（c〉0），c2=a2-b2

离心率e=C(OVeVl)a准线方程, a2 7 a2l:x= ；l:x=—1 c 2 c, a2 , a2l:y ；l:y 1 c 2 c隹占半径八\、八、、 1 1—IMFJ=a+ex。,IMFJ=a—ex0IMFJ=a+ey°,IMF?I=a—ey0点和椭圆的关系> 外+-y0=1o(x,y)在椭圆上a2 b2 oov 内切线方程(k为切线斜率)，y=kx±la2k2+b2(k为切线斜率),y=kx±Jb2k2+a2苹+沁=1a2 b2(x0,y0)为切点苹+雪=1b2 a2(x0,y0)为切点 \切点弦方程(x0,y0)在椭圆外xox y—-=1a2 b2(x0,y0)在椭圆外注+V=1 9b2［亠a2弦长公式Ix—x1Jl+k2或ly—y1J1+丄・2 1 1 ^^k2rW其中(X］，y1)，(x2,y2)为割弦端点坐标，k为割弦所在直线的斜率 ■(2)双曲线的性质切点弦方程,(x0,y0)在双曲线外讨-詈=1甲(x0,y0)在双曲线外1 —xox=1a2 b2弦长公式Ix一xh/1+k2或Iy一yl/1+-12 1 1 2X k2其中(x1,y1),(x2,y2)为割弦端点坐标， k为割弦所在直线的斜率

条件P={MIMF]—IMF2I=2a，a>0，2aVIF^I}.p{mi IMFI IMFI >1}{点M到l的距离 点M到l的距离 ' } 1 2 标准方程F—比=l（a>0，b>0）a2 b2比—F-i（a>0，b>0）a2 b2顶点A]（—a，0），A2（a，0）A]（0，—a），A?（0，a）轴对称轴：x轴，y轴，实轴长IA]A2I=2a，虚轴长IB]B?I=2b焦占八\、八、、F1（—c，0），F2（c，0）F1（0，—c），F2（0，c）焦距IF]F2I=2c（c>0），c2=a2+b2离心率ce=—（e>1）a准线方程, a2 t a2l:x=——；l:x=—1 c 2 ca2 tl:y一——；l:y一—c渐近线方程—丄b 十x2 y2—y一土一x（或 0）a a2 b2丄a/十y2 x2y—丄Tx（或—— 0）b a2 b2共渐近线的双曲线系方程x2 y2——一L一k（kH0）a2 b2竺—乞一规工0） ra2”b2焦占半径八\、八、、 1 1—IMF]1-ex。+a，IMF」一ex。—alIMF1I=%+a，IMF」一e%—a切线方程y一kx丄勺a2k2—b2J（k为切线斜率） °k>-或kV—爪xxayyaky—kx丄*u2k2—a2（k为切线斜率）k>a或k<—-■yyUxx U^0^一屮一1,a2，b2|点！（（x0，y0）为切点 一1a2 b2（（x0，y0）为切点xya2的切线万程