等式的性质与方程的解集

等式的性质与方程的解集TOC\o"13"\h\z\u题型1等式性质 2题型2恒等式 5题型3因式分解 8题型4完全平方式 12题型5化简求值 14题型6方程的解集 17题型7含参取值范围问题 20题型8新定义题型 22知识点一：等式的基本性质(1)等式的两边同时加上(减去)同一个数或代数式，等式仍成立；(2)等式的两边同时乘以(除以)同一个不为零的数或代数式，等式仍成立．整理如下：1．如果a＝b，那么b＝a.2．如果a＝b，b＝c，那么a＝c.3．如果a＝b，那么a±c＝b±c.4．如果a＝b，那么ac＝bc.5．如果a＝b，c≠0，那么eq\f(a,c)＝eq\f(b,c).知识点二：恒等式一般地，含有字母的等式，如果其中的字母取任意实数时等式都成立，则称其为恒等式，也称等式两边恒等．知识点三：.“十字相乘法”对任意的x，a，b，都有（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab.可以利用这个恒等式来进行因式分解．给定式子x2＋Cx+D，如果能找到a和b，使得D=ab且C=a+b，则x2＋Cx+D=(x+a)(x+b).为了方便记忆，已知C和D，寻找满足条件的a和b的过程，通常用右图来表示∶其中两条交叉的线表示对应数相乘后相加要等于C，也正因为如此，这种因式分解的方法称为“十字相乘法”.特别提醒运用x²+（a+b）x+ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件∶①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和.知识点四：方程的解集1.方程的有关概念方程方程：含有未知数的等式叫方程.方程的解（或根）：能使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.方程的解集：把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集.解方程：求方程的解的过程叫解方程.2.一元一次方程一元一次方程：方程两边都是整式，都只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫一元一次方程.满足的条件：①必须是整式方程；②只含有一个未知数；③未知数的次数都是1.表示形式：ax+b=0（a≠0）或ax=b（a≠0）.题型1等式性质【方法总结】等式性质的延伸：①对称性：等式左右两边互换，所得结果仍是等式，即如果a=b，那么b=a；②传递性：如果a=b，b=c，那么a=c（也叫等量代换）.【例题1】（2022秋·山东德州·高一校考阶段练习）已知等式mx=my，则下列变形正确的是（

）A．my=mx B．mx+2=my+2【答案】B【分析】利用等式的性质和举反例对每个选项进行判断即可【详解】解：对于A，x=y=0满足mx=my，但my对于B，mx=my两边同时加上2，该等式仍然成立，故正确；对于C，当m=0，x=1,y=2，满足mx=my，但得不到x=y，故错误；对于D，当mx=my<0时，无法得到mx=故选：B【变式11】1.（2022秋·全国·高一专题练习）下列运用等式的性质进行的变形中，正确的是（

）A．如果a=b，那么a+c=b-c B．如果a2=6aC．如果a=b，那么ac=bc【答案】D【分析】取c≠0，可判断A；a2=6a⇔a=6或a=0，可判断B；取【详解】选项A，当c≠0时，显然不成立；选项B，如果a2=6a，那么a=6或选项C，当c=0时，ac选项D，如果ac=bc，则c≠0，故故选：D【变式11】2.（2022秋·上海浦东新·高一校考阶段练习）设a,b,c,d∈RA．若a=b，则a=bC．若a+bc+d=ac，则a【答案】C【分析】根据等式的性质即可判断ABD，举例即可判断C.【详解】解：对于A，若a=b，两边平分可得对于B，a=b,c所以ac对于C，当d=0时，bd对于D，若a2n+1=b故选：C.【变式11】3.（2021秋·高一课时练习）在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a>b）（如图甲），将余下的部分剪接拼成一个长方形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证的等式为（

）.A．(a+2b)(a-b)=a2C．(a+b)2=【答案】B【分析】图甲中阴影部分的面积为两正方形的面积之差,即为a2-b2，边长分别为a+b和【详解】图甲中阴影部分的面积为a2-b因为两个图形中阴影部分的面积相等，所以a2故选：B【变式11】4.（多选）（2021秋·福建厦门·高一厦门市湖滨中学校考期中）已知a>0，b>0，a+b=1，则下列等式不可能成立的是（

）A．a2+b2=1 B．【答案】ABC【分析】根据题设条件，应用二次函数、不等式的性质及基本不等式判断各选项的正误即可.【详解】A：由a+b=1，则(a+b)2=a2+B：由题设，a+b≥2ab得：ab≤(a+b2)2=C：由a2+b=aD：若a2-b2=(a+b)(a-b)=a-b=故选：ABC．题型2恒等式【方法总结】恒等式是进行代数变形的依据之一.平方差公式、两数和（差）的平方公式都是恒等式.【例题2】（2023·高一课时练习）下列等式中，哪些是恒等式？（1）a+b=b+a（2）(a+b)+c=a+(b+c)（3）(x+2y)（4）x【答案】（1）（2）（4）【解析】利用实数运算律和乘法公式可得正确答案.【详解】（1）满足加法交换律，故（1）正确；（2）满足加法结合律，故（2）正确；（3）(x+2y)2（4）利用平方差公式可得正确，故（4）正确.综上所述，（1）（2）（4）是恒等式.【点睛】本题考查利用实数运算律和乘法公式，考查基本运算能力.【变式21】1.（2022秋·全国·高一专题练习）下列等式中，属于恒等式的是（

）A．a2=1 B．a2=【答案】B【分析】等式两边对任意使式子有意义的a成立，依次验证即可【详解】选项A，只有a=±1时，等式成立，故不是恒等式，A错；选项B，a2=a选项C，只有a=1时，等式成立，故不是恒等式，C错；选项D，1a故选：B【变式21】2.（2021·高一单元测试）若对任意实数x，等式ax+2=3x+b恒成立，则a=，b=.【答案】32【分析】对应系数相等即可直接求出结果.【详解】对应系数相等可得a=3b=2故答案为：3；2.【变式21】3.（2023·高一课时练习）已知等式x2-2mx-y【答案】{(1,2),(-1,-2)}.【分析】根据恒成立，将式子变形为x2-y2+3=m【详解】由于x2则x2-y2+3=m所以x2当x=1,y=2，当x=-1,y=-2，故满足条件的实数对(x,y)的集合为{(1,2),(-1,-2)}【变式21】4.（多选）（2023秋·江苏镇江·高一扬中市第二高级中学校考开学考试）若x3+a3=(x+a)(A．-9 B．9 C．-3 D．3【答案】CD【分析】利用立方和公式化简题设中的恒等式，从而可求a的值.【详解】因为x3故x3+a(x+a)(x2-ax+所以x2-ax+a2=故选：CD.题型3因式分解【方法总结】（1）运用x2＋（a＋b）x＋ab=（x+a）（x+b）进行因式分解时需满足的条件：①分解因式的多项式是二次三项式；②二次项系数是1，常数项可以分解为两个数的积，且一次项系数是这两个数的和.（2）对于x2+Cx+D的因式分解，当常数项是正数时，可以分解成两个同号的数的积，符号与一次项系数的符号相同；当常数项是负数时，可以分解成两个异号的数的积，绝对值大的因数的符号与一次项系数的符号相同.【例题3】（2022秋·全国·高一专题练习）用十字相乘法分解因式：（1）x2（2）3x（3）2x（4）x4【答案】（1）x+3x+4；（2）x+33x-2；（3）x+y2x-3y【分析】由十字相乘法即得.【详解】（1）x2+7x+12=（2）3x2+7x-6（3）2x2-xy-3（4）x4y4【变式31】1.（2023·高一课时练习）把下列各式分解因式：（1）x2（2）x2（3）x3（4）x3【答案】（1）(x+2n)(x-2n-4m)（2）(x+y-1)(x-y+5)（3）(x-7)(x-1)(x-3)（4）(x+2y)【解析】（1）直接利用分组分解法分解因式；（2）利用配方法，再借助平方差公式分解；（3）利用配凑法得原式=x（4）直接利用分组分解法分解因式．【详解】解：（1）原式==(x+2n)(x-2n)-4m(x+2n)=(x+2n)(x-2n-4m).（2）原式===(x+y-1)(x-y+5).（3）原式===(x-7)=(x-7)(x-1)(x-3).（4）（方法一）原式==(x+2y)=(x+2y)=(x+2y)(x-2y)（方法二）原式===(x-2y)=(x+2y)(x-2y)【点睛】本题主要考查分组分解法分解因式，考查提取公因式法、十字相乘法分解因式，属于中档题【变式31】2.（2023·高一课时练习）阅读材料：常用的分解因式方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法就无法分解，如x2x==x-2y这种分解因式的方法叫分组分解法.利用这种方法解决下列问题：（1）分解因式x2（2）△ABC三边a，b，c满足a2-ab-ac+bc=0，判断【答案】（1）x-y+5x-y-5【分析】（1）利用分组分解法和平方差公式，对代数式进行因式分解.（2）利用分组分解法和提公因式法，对代数式进行因式分解.【详解】（1）x2（2）∵a2-ab-ab+bc=0，∴∴a=b或a=c，∴△ABC的形状为等腰三角形.【点睛】本小题主要考查分组分解法、提公因式法因式分解，考查平方差公式，属于基础题.【变式31】3.（2023·高一课时练习）阅读材料题：在因式分解中，有一类形如x2+（m+n）x+mn的多项式，其常数项是两个因数的积，而它的一次项系数恰是这两个因数的和，则我们可以把它分解成x2+（m+n）x+mn＝（x+m）（x+n）．例如：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．运用上述方法分解因式：（1）x2+6x+8；（2）x2﹣x﹣6；（3）x2﹣5xy+6y2；（4）请你结合上述的方法，对多项式x3﹣2x2﹣3x进行分解因式．【答案】（1）(x+2)(x+4)（2）(x+2)(x-3)；（3）(x-2y)(x-3y)（4）x(x-3)(x+1).【分析】根据题意观察常数项和一次项系数的关系，看是否满足题设条件，然后分别求解即可.【详解】(1)x(2)x(3)x(4)xx2【变式31】4.（2023秋·全国·高一专题练习）通过计算几何图形的面积，可表示一些代数恒等式，如图所示，我们可以得到恒等式：a2【答案】a+2b【分析】根据矩形的面积公式，求得总面积的表达式，进而求得恒等式a2【详解】由面积可得a2故答案为a+2b【点睛】本小题主要考查利用几何图形的面积对二次三项式因式分解，属于基础题.题型4完全平方式【例题4】（2023秋·高一课时练习）将下列代数式化简或展开：（1）a2-6a+9=（2）2x+12-x-1（3）t3-1=（4）t+1t2-t+1（5）a-b-c2=【答案】a-323x2+6xt-1【分析】（1）利用完全平方公式求解；（2）利用完全平方公式求解；（3）利用立方差公式求解；（4）利用立方和公式求解；（5）利用完全平方公式求解.【详解】（1）a2-6a+9=（2）2x+12-x-1（3）t3-1=（4）t+1t2-t+1（5）a-b-c2=a2故答案为：a-32，3x2+6x，t-1【变式41】1.（2023秋·高一课时练习）若a2+（k﹣3）a+9是一个完全平方式，则k的值是．【答案】9或﹣3【分析】根据完全平方式中间项系数的特点即可求解.【详解】∵a2+（k3）a+9是一个完全平方式，∴k3=±6，解得：k=9或3，故答案为9或3【点睛】本题主要考查了完全平方式的知识，属于基础题.【变式41】2.（2021秋·湖南怀化·高一校考期中）若x2+1A．m2 B．14m2【答案】D【详解】x2+1【变式41】3.（2023·高一课时练习）阅读材料：对于多项式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解为x+a2x2+2ax-3解题过程如下：x=x=x=x+a=x+3a根据上述材料，回答问题.上述因式分解的过程，从第二步到第三步，其中用到的因式分解方法是（

）A．提公因式法 B．平方差公式法 C．完全平方公式法 D．十字相乘法【答案】C【分析】根据第二步到第三步，前面三项合成完全平方公式，后面两项为指数运算，由此确定正确选项.【详解】由题知从第二步到第三步用到的因式分解方法是完全平方公式法.故选C.【点睛】本小题主要考查因式分解方法的识别，属于基础题.题型5化简求值【方法总结】化简的一般步骤为"一提""二套""三检查""四检验"：先看是否能提取公因式；（2）再看能否套用公式；（3）再检查因式分解是否彻底；【例题5】（多选）（2022秋·湖北十堰·高一校考期中）若正数a,b满足a2+ab+bA．10 B．12 C．73 D．【答案】BCD【分析】将8=4【详解】由a2即8-a因为a,b>0，所以(a+b)8-由a2又a2故(a+b)8-因为10<6故选：BCD.【变式51】1.（2021秋·高一单元测试）若实数a≠b，且a，b满足a2-8a+5=0，b2A．2 B．－20 C．2或－20 D．2或20【答案】B【解析】利用韦达定理可求b-1a-1【详解】因为a2-8a+5=0，b2-8b+5=0，故故a+b=8,ab=5.又b-1=64-16-10+2故选：B.【点睛】本题考查一元二次方程的解、韦达定理，注意利用同构的思想来构建方程，另外注意将代数式整合成与两根和、两根积有关的代数式，本题属于基础题.【变式51】2.（多选）（2023秋·高一单元测试）若x2＋xy－2y2＝0，则x2A．－52 B．－15 C．1【答案】BD【分析】由x2＋xy－2y2＝0得x=-2y或x=y，分别代入原式可得结果.【详解】由x2＋xy－2y2＝0得(x+2y)(x-y)=0，得x=-2y或x=y，当x=-2y时，x2+3xy+y当x=y时，x2+3xy+y故选：BD.【点睛】本题考查了分解因式，属于基础题.【变式51】3.（2022秋·北京·高一校考阶段练习）如果m,n是两个不相等的实数，且满足m2【答案】2031【分析】由题可判断m，n为方程x2-x=3的不相等的两个实根，结合韦达定理可得m+n=1，【详解】由题可知，m，n为方程x2则根据韦达定理可得：m+n=1，mn=-3，所以2=2n故答案为：2031【变式51】4.（2023·高一课时练习）已知a+b=23，ab=2，求代数式【答案】8【解析】a3【详解】解：a3【点睛】本题主要考查多项式的求值，通常先分解因式，属于基础题．题型6方程的解集【例题6】（2022秋·高一单元测试）若x+43【答案】26【分析】根据题意列方程组，解方程组求得x的值.【详解】由已知得x+4由①得y=4x-23由②得z=5x-43把④⑤代入③并化简，得12x－6＝306，解得x＝26.故答案为：26【点睛】本小题主要考查方程组的解法，属于基础题.【变式61】1.（2022秋·山东日照·高一校考阶段练习）《九章算术》记载了一个方程的问题，译为：今有上禾6束，减损其中之“实”十八升，与下禾10束之“实"相当；下禾15束，减损其中之“实”五升，与上禾5束之“实”相当.问上、下禾每束之实各为多少升?设上下禾每束之实各为x升和y升，则可列方程组为（

）A．6x+18=10y15y+5=5x B．C．6x-18=15y15y-5=10x D．【答案】B【解析】由题意，一束为一个整体，减损为在原基础上减掉，根据题意列出方程组即可.【详解】解：上下禾每束为x,y升，上禾6束有6x，减损18，即6x-18，下禾10束之“实"相当，即6x-18=10y，同理有15y-5=5x，所以方程组为6x-18=10y15y-5=5x故选：B.【变式61】2.（2023·高一课时练习）已知关于x的方程x-3-2x2=1-【答案】a=1，方程的解集为{1}【解析】先分别解出两个方程，再根据集合相等求出答案．【详解】解：方程x-3-2x2=1-整理，得13x=15-2a，解得x=15-2a方程2x+a3-x-a整理，得3x=-3a+6，解得x=-a+2.由题意，得15-2a13=-a+2，解得a=1，所以综上，a=1，方程的解集为{1}.【点睛】本题主要考查根据集合相等求参数的值，考查含参的一元一次方程的解法，属于基础题【变式61】3.（2023·高一课时练习）求关于x的方程ax=b的解集，其中a,b是常数.【答案】见解析【解析】对a,b分三种情况进行讨论，即a=0,b=0或a≠0或a=0，b≠0.【详解】当a=0,b=0时，方程的解集为R，当a≠0时，方程的解集为{b当a=0时，b≠0时，方程的解集为∅.【点睛】本题考查一元一次方程解的讨论，考查函数与方程思想、分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意讨论的完整性.【变式61】4.（2021·高一课时练习）（1）是否存在实数x，y，使得等式1xy=1（2）计算：43【答案】（1）存在，x,yy=x+1,x∈R,x≠0,-1；（2）20【分析】（1）化简1xy=1x-（2）在（1）中令x=n-12，y=n+1【详解】（1）由题意，1∴1=y-x，且x≠0,y≠0，即x≠0,x≠-1故所有满足条件的实数对x,y的集合为x,yy=x+1,x∈R,x≠0,-1（2）在（1）中令x=n-12，y=n+有1当n=1时，43当n=2时，415当n=3时，435当n=4时，463当n=5时，499将5个式子左右叠加可得：4【变式61】5.（2020秋·山东·高一校联考阶段练习）某人的智能密码是一个六位数字，将前三位数组成的数与后三位数组成的数相加得741，将前两位数组成的数与后四位数组成的数相加得633，该密码对应的六位数是（）A．201126 B．210612 C．110631 D．120621【答案】D【分析】设该密码对应的六位数字是abcdef，根据题意，由a+d×100+【详解】设该密码对应的六位数字是abcdef，由题意得：a+d×100+即a+d=7b+e=4解得a=1,b=2,c=0,d=6,e=2,f=1，所以该密码对应的六位数字是120621故选：D题型7含参取值范围问题【例题7】（2023·高一课时练习）关于x的方程(a-1)(ax+1)=-1的解集为∅，则实数a的值为.【答案】1【分析】根据一元一次方程的解的即可求解.【详解】由(a-1)(ax+1)=-1得a2若该方程的解为空集，则a2-a=0且-a≠0，解得故答案为：1【变式71】1.（2023·高一单元测试）若关于x、y的二元一次方程组y=2x+3y=kx+1的解集为∅，则实数k=【答案】2【分析】将二元一次方程组转化为一元一次方程，根据根的特点，即可得出答案．【详解】解：由题意得2x+1=kx+3，即(2-k)x=2，∵关于x，y的二元一次方程组y=2x+1y=kx+3的解集为∅∴关于x的方程(2-k)x=2的无解，∴2-k=0，即k=2，故答案为：2．【变式71】2.（2023·高一单元测试）若关于x，y的方程组x+y=22x+by=4与3x-ay=112x+4y=b的解集相等，则ab=【答案】4【分析】根据已知可知，4个方程有公共解，可以先求出x+y=22x+4y=b的解，进而代入2x+by=4，即可得出bx,y【详解】由已知可知，4个方程有公共解，先求解方程组x+y=22x+4y=b可得，x=显然该解满足方程2x+by=4，代入整理可得b2-6b+8=0，解得b=2或当b=2时，x=3y=-1，代入3x-ay=11可知a=2，此时有ab=4当b=4时，x=2y=0，代入3x-ay=11综上所述，a=2，b=2，所以ab=4.故答案为：4.【变式71】3.