【解析】北京市房山区2023-2022学年高二上学期数学期中学业水平调研试卷

第第页【解析】北京市房山区2023-2022学年高二上学期数学期中学业水平调研试卷北京市房山区2023-2022学年高二上学期数学期中学业水平调研试卷

一、单选题

1．（2023高二上·房山期中）复数在复平面内对应的点的坐标为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】复数在复平面中的表示

【解析】【解答】复数在复平面内对应的点的坐标为.

故答案为：A.

【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义，即可得出答案。

2．（2023高二上·房山期中）已知向量，，则平面的一个法向量为（）

A．B．

C．D．

【答案】D

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面的法向量

【解析】【解答】设平面的法向量为，

则，令，可得，

即平面的法向量为.

故答案为：D.

【分析】首先设出平面的法向量，再由数量积的坐标公式计算出x与y的值，从而得出平面的法向量。

3．（2023高二上·房山期中）如图，在平行六面体中，（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】向量加减混合运算

【解析】【解答】

故答案为：C

【分析】根据题意由向量的加、减运算性质，整理化简即可得出答案。

4．（2023高二上·房山期中）已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【知识点】正切函数的单调性；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

【解析】【解答】如图，延长.

直线的倾斜角是锐角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以；

直线的倾斜角是钝角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以；

所以，

故答案为：C

【分析】由已知条件即可得出四条直线的倾斜角的取值范围，结合斜率公式和正切函数的单调性即可得出斜率的大小，从而得出答案。

5．（2023高二上·房山期中）已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的方向向量；异面直线

【解析】【解答】若，不平行，则直线，可能异面，可能在同一平面内，不是充分条件；

若直线，异面，则，不平行，是必要条件；所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件

故答案为：B

【分析】根据题意由直线的方向向量之间的关系，即可得出直线的位置关系即是否为异面直线，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

6．（2023高二上·房山期中）平行直线与之间的距离等于（）

A．B．C．D．

【答案】A

【知识点】平面内两条平行直线间的距离

【解析】【解答】将直线化为，

根据两平行线间的距离公式，可得与间的距离为.

故答案为：A.

【分析】根据题意由两条平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。

7．（2023高二上·房山期中）若直线平分圆的周长，则a的值为（）

A．6B．-6C．2D．-2

【答案】B

【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：圆的圆心坐标为，

直线平分圆的周长，则直线必经过圆心，

点在直线上，

，所以，

故答案为：B.

【分析】首先由圆的一般方程即可求出圆心坐标以及半径的值，结合题意圆心在直线上，再把点的坐标代入到直线的方程，计算出a的值即可。

8．（2023高二上·房山期中）若圆：与圆：外切，则（）

A．-11B．16C．21D．9

【答案】D

【知识点】平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定

【解析】【解答】解：圆：的圆心为，半径；

圆：，即圆：，圆心：半径，所以，所以；

故答案为：D

【分析】首先求出两圆的圆心坐标以及半径，再由两点间的距离公式求出两圆的圆心距，再由两圆外切，从而得到关于m的方程，求解出m的值即可。

9．（2023高二上·房山期中）如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）

A．等于B．和EF的长度有关

C．等于D．和点Q的位置有关

【答案】A

【知识点】直线的斜率；空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算

【解析】【解答】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B不符合题意．

又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D不符合题意．

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，

∴，，，

设是平面的法向量，则由得

令，则，所以是平面的一个法向量．

设点Q到平面的距离为d，则，A对，C不符合题意．

故答案为：A．

【分析】由已知条件取BG的中点G，连接PG，CG，DP，由中点的性质，利用线面平行判断出选项B、D错误；建立空间直角坐标系，求出各个点以及斜率的坐标，再利用平面的法向量结合空问向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出选项A正确，由此即可得出答案。

10．（2023高二上·房山期中）已知平面内一点，若直线l上存在点P，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中不是点的“2域直线”的是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】平面内点到直线的距离公式

【解析】【解答】A：到直线的距离为，故直线存在P使，符合“2域直线”；

B：到直线的距离为，故直线存在P使，符合“2域直线”；

C：到直线的距离为，故直线不存在P使，不符合“2域直线”；

D：到直线的距离为，故直线存在P使，符合“2域直线”；

故答案为：C

【分析】根据题意，当点M到直线1的距离时，直线l为点M(3，4)的“2域直线”，据此依次分析选项，再结合点到直线的距离公式，计算点M到直线l的距离，由此对选项逐一判断即可得出答案。

二、填空题

11．（2023高二上·房山期中）复数的实部是.

【答案】-3

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】，故实部为-3.

故答案为：-3.

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的概念即可得出答案。

12．（2023高二上·房山期中）若复数是纯虚数，则实数.

【答案】-1

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解：由是纯虚数，

得，即．

故答案为：-1．

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由题意复数为纯虚数即可得出答案。

13．（2023高二上·房山期中）已知点P是圆心为，半径为1的圆上一点，点P到原点的距离的最小值为.

【答案】4

【知识点】函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】圆心到原点的距离为，

点P到原点的距离的最小值为.

故答案为：4.

【分析】首先由点到直线的距离公式代入数值计算出，圆心到直线的距离再结合圆的几何性质，即可求出点P到原点的距离的最小值。

14．（2023高二上·房山期中）在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为.

【答案】

【知识点】空间中两点间的距离公式

【解析】【解答】解：空间直角坐标系中，点到轴的距离为．

故答案为：．

【分析】由空间直角坐标系中点到直线的距离公式，代入数值计算出结果即可。

15．（2023高二上·房山期中）已知点在直线上，当时，的取值范围是.

【答案】

【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

【解析】【解答】满足且

当，，设点；

当，，设点；

的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率.

由题意画出图形如图，

根据两点求斜率公式：求得

的取值范围是

故答案为：

【分析】由题意画出图形，再由的几何意义为：线段AB上的点与定点P(1，-1)连线的斜率，结合斜率的坐标公式计算出取值范围即可。

16．（2023高二上·房山期中）如图，在正方体中，点E，F分别是棱，上的动点.给出下面四个命题：

①点B，D到平面ACE的距离相等；

②点E，F到直线AC的距离相等；

③直线AF与直线CE所成角的最大值是；

④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是.

其中，真命题的序号为.

【答案】①③④

【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角

【解析】【解答】对①如图，连接BD，则线段BD的中点在线段AC上，

又面ACE，则点B，D到平面ACE的距离相等，①正确

对②，若点E，F到直线AC的距离相等，则必有，

但点E，F分别是棱，上的动点，则不一定与平行，②错误；

对③如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则，设，

，

当时，取最小值，

此时直线AF与直线CE所成角的最大值是，③正确；

对④，设平面CDF的法向量为，

又，

则，则平面CDF的一个法向量为，

设平面ACE的法向量为，

又，

则，则平面CDF的一个法向量为，

设平面CDF与平面ACE所成角为，

则，

当时，，此时，

故平面CDF与平面ACE所成角的最大值是，④正确.

故答案为：①③④.

【分析】由正方体的几何性质，结合线线平行的几何意义即可判断出①正确、②错误；根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，由此点到平面的法向量结合数量积的坐标公式，计算出线线角和二面角的最大值，从而判断出③正确、④正确；由此即可得出答案。

三、解答题

17．（2023高二上·房山期中）如图，在复平面内，复数对应的点为.

（1）写出复数及的值；

（2）若，求，并在复平面内标出对应的点B.

【答案】（1）复数

（2）且

对应的点，如图所示.

【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【分析】(1)由图可知，再由复数模的计算公式求出|z|的值。

(2)利用复数代数形式的乘除运算求，由此得到B的坐标，从而即可在复平面内标出对应的点。

18．（2023高二上·房山期中）已知直线：，：，：，其中直线，的交点为.

（1）求点a与b的值；

（2）求过点且与直线平行的直线方程；

（3）求过点且与直线垂直的直线方程.

【答案】（1）解：因为直线，的交点为，可得，解得.

（2）解：将直线的方程可化为，可得，

因为过点且与直线平行，可得所求直线的斜率为，

又由点，可得直线的方程为，即.

（3）解：将直线的方程可化为，所以，

因为点且与直线垂直，可得所求直线的斜率为，

又由点，可得直线的方程为，即.

【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标

【解析】【分析】(1)根据题意联立直线的方程，由此得到直线的交点坐标，代入M的坐标，求出a，b的值即可。

(2)首先把直线的方程化为斜截式，由此即可求出直线的斜率，再由直线平行的斜率的性质结合点斜式，代入数值即可求出直线的方程。

(3)首先把直线的方程化为斜截式，由此即可求出直线的斜率，再由直线垂直的斜率的性质结合点斜式，代入数值即可求出直线的方程。

19．（2023高二上·房山期中）如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

【答案】（1）连结交于点，连结，

因为四边形为正方形，所以是中点，

是的中点，，

又平面，平面，平面.

（2）因为两两互相垂直，以为坐标原点，以的方向分别为轴轴轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，

，，.

设平面的一个法向量为，则即，

令，则得，此时，

平面，

直线到平面的距离即为点到平面的距离，

，

线到平面的距离为；

（3），，

设直线与平面所成角为，.

直线与平面所成角的正弦值为.

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】(1)根据题意做出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。

(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，结合题意由线面平行的性质即可得出直线到平面的距离即为点到平面的距离，结合点到平面的距离公式代入数值计算出结果即可。

(3)由(2)的点的坐标即可求出向量的坐标，再由线面角与向量夹角之间的关系，代入数值到数量积的坐标公式，由此即可计算出直线与平面所成角的正弦值。

20．（2023高二上·房山期中）已知圆M的圆心坐标为，圆上一点.

（1）求圆的标准方程；

（2）求过点A的圆的切线方程；

（3）若在圆M上存在两点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形，求直线PQ的方程.

【答案】（1）解：由题意可得圆的半径，

所以圆的标准方程为；

（2）解：如果切线的斜率不存在，则切线方程为，不符合题意.

所以，所求切线的斜率存在，设过点的圆的切线方程为；

依题意得

解得：

所以过点的圆的切线方程为

即

（3）解：因为四边形为菱形，所以，

可设直线的方程为.

又因为四边形为菱形，

所以是边长为的等边三角形，，

所以圆心到直线的距离，

解得，

所以直线的方程为，即.

【知识点】平面内点到直线的距离公式；圆的标准方程；圆的切线方程；直线与圆的位置关系

【解析】【分析】(1)首先由两点间的距离公式计算出半径的值，然后由圆的标准方程代入数值即可得出答案。

(2)根据题意分情况讨论斜率存不存在，然后由斜截式设出直线的方程，由已知条件圆与直线的位置关系，结合点到直线的距离公式整理即可求出k与b的值，由此即可得出直线的方程。

(3)由菱形的几何性质即可得出斜率之间的关系，由此得出直线的方程，然后由三角形的几何性质即可得出边之间的关系，结合点到直线的距离公式即可求出圆心到直线的距离，由此计算出b的值，从而得出直线的方程。

21．（2023高二上·房山期中）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，.

（1）求证：；

（2）求平面PDC与平面PBC所成角的余弦值；

（3）若PB的中点为M，判断直线AM与平面PDC是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离.

【答案】（1）证明：，，，，

，.

在中，由余弦定理得，即，所以.

..

又平面，平面.

.

又，平面，

平面.

平面，

.

（2）解：取中点，连结.

，，，，

.

四边形是平行四边形.

，.平面，.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，.

，，.

设平面的一个法向量为，则

令，则得，此时

设平面的一个法向量为，则

令，则得，此时.

.

设平面与平面所成角为，

平面与平面所成角的余弦值为.

（3）解：，，.

.

直线与平面相交.

设，所以.

.

，

解得

，

到交点的距离为1.

【知识点】直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究二面角；余弦定理

【解析】【分析】(1)根据题意由三角形中的几何计算关系，即可求出角的大小，再由余弦定理代入计算出AD的值，然后由线面垂直的性质定理即可得出线线垂直，再由线面垂直的判定定理和性质定理即可得证出结论。

(2)由已知条件结合中点的性质即可得出线线平行，再由线面垂直的性质定理即可得到线线垂直，由此建立的空间直角坐标系，求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐标公式即可求出平面的法向量的坐标，同理即可求出平面的法向量；结合空间数量积的运算公式代入数值即可求出夹角的余弦值，由此得到平面与平面所成角的余弦值。

(3)根据题意由(2)的结论即可求出各个点以及向量的坐标，然后由数量积的坐标公式计算出由此得到直线与平面相交，由此设出由向量的坐标运算结合已知条件，计算出由此即可得出，从而得出答案。

1/1北京市房山区2023-2022学年高二上学期数学期中学业水平调研试卷

一、单选题

1．（2023高二上·房山期中）复数在复平面内对应的点的坐标为（）

A．B．C．D．

2．（2023高二上·房山期中）已知向量，，则平面的一个法向量为（）

A．B．

C．D．

3．（2023高二上·房山期中）如图，在平行六面体中，（）

A．B．C．D．

4．（2023高二上·房山期中）已知平面直角坐标系中，四边形ABCD的四条边AB，BC，CD，DA所在的直线分别为，，，，如图所示，它们的斜率分别为，，，，则（）

A．B．

C．D．

5．（2023高二上·房山期中）已知，分别是直线，的方向向量，那么“，不平行”是“，异面”的（）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

6．（2023高二上·房山期中）平行直线与之间的距离等于（）

A．B．C．D．

7．（2023高二上·房山期中）若直线平分圆的周长，则a的值为（）

A．6B．-6C．2D．-2

8．（2023高二上·房山期中）若圆：与圆：外切，则（）

A．-11B．16C．21D．9

9．（2023高二上·房山期中）如图，在棱长为1的正方体中，P为的中点，Q为上任意一点，E，F为CD上两个动点，且EF的长为定值，则点Q到平面PEF的距离（）

A．等于B．和EF的长度有关

C．等于D．和点Q的位置有关

10．（2023高二上·房山期中）已知平面内一点，若直线l上存在点P，使，则称该直线为点的“2域直线”，下列直线中不是点的“2域直线”的是（）

A．B．C．D．

二、填空题

11．（2023高二上·房山期中）复数的实部是.

12．（2023高二上·房山期中）若复数是纯虚数，则实数.

13．（2023高二上·房山期中）已知点P是圆心为，半径为1的圆上一点，点P到原点的距离的最小值为.

14．（2023高二上·房山期中）在空间直角坐标系中，点到x轴的距离为.

15．（2023高二上·房山期中）已知点在直线上，当时，的取值范围是.

16．（2023高二上·房山期中）如图，在正方体中，点E，F分别是棱，上的动点.给出下面四个命题：

①点B，D到平面ACE的距离相等；

②点E，F到直线AC的距离相等；

③直线AF与直线CE所成角的最大值是；

④平面CDF与平面ACE所成角的最大值是.

其中，真命题的序号为.

三、解答题

17．（2023高二上·房山期中）如图，在复平面内，复数对应的点为.

（1）写出复数及的值；

（2）若，求，并在复平面内标出对应的点B.

18．（2023高二上·房山期中）已知直线：，：，：，其中直线，的交点为.

（1）求点a与b的值；

（2）求过点且与直线平行的直线方程；

（3）求过点且与直线垂直的直线方程.

19．（2023高二上·房山期中）如图，在棱长为的正方体中，点是的中点.

（1）求证：平面；

（2）求直线到平面的距离；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

20．（2023高二上·房山期中）已知圆M的圆心坐标为，圆上一点.

（1）求圆的标准方程；

（2）求过点A的圆的切线方程；

（3）若在圆M上存在两点P，Q，使得四边形MAPQ为菱形，求直线PQ的方程.

21．（2023高二上·房山期中）如图，在四棱锥中，面ABCD，，且，，.

（1）求证：；

（2）求平面PDC与平面PBC所成角的余弦值；

（3）若PB的中点为M，判断直线AM与平面PDC是否相交，如果相交，求出P到交点H的距离.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】复数在复平面中的表示

【解析】【解答】复数在复平面内对应的点的坐标为.

故答案为：A.

【分析】根据题意由复数代数形式的几何意义，即可得出答案。

2．【答案】D

【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面的法向量

【解析】【解答】设平面的法向量为，

则，令，可得，

即平面的法向量为.

故答案为：D.

【分析】首先设出平面的法向量，再由数量积的坐标公式计算出x与y的值，从而得出平面的法向量。

3．【答案】C

【知识点】向量加减混合运算

【解析】【解答】

故答案为：C

【分析】根据题意由向量的加、减运算性质，整理化简即可得出答案。

4．【答案】C

【知识点】正切函数的单调性；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

【解析】【解答】如图，延长.

直线的倾斜角是锐角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以；

直线的倾斜角是钝角，直线的倾斜角大于直线的倾斜角，所以；

所以，

故答案为：C

【分析】由已知条件即可得出四条直线的倾斜角的取值范围，结合斜率公式和正切函数的单调性即可得出斜率的大小，从而得出答案。

5．【答案】B

【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的方向向量；异面直线

【解析】【解答】若，不平行，则直线，可能异面，可能在同一平面内，不是充分条件；

若直线，异面，则，不平行，是必要条件；所以“，不平行”是“，异面”的必要不充分条件

故答案为：B

【分析】根据题意由直线的方向向量之间的关系，即可得出直线的位置关系即是否为异面直线，再结合充分和必要条件的定义即可得出答案。

6．【答案】A

【知识点】平面内两条平行直线间的距离

【解析】【解答】将直线化为，

根据两平行线间的距离公式，可得与间的距离为.

故答案为：A.

【分析】根据题意由两条平行线间的距离公式，代入数值计算出结果即可。

7．【答案】B

【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】解：圆的圆心坐标为，

直线平分圆的周长，则直线必经过圆心，

点在直线上，

，所以，

故答案为：B.

【分析】首先由圆的一般方程即可求出圆心坐标以及半径的值，结合题意圆心在直线上，再把点的坐标代入到直线的方程，计算出a的值即可。

8．【答案】D

【知识点】平面内两点间的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定

【解析】【解答】解：圆：的圆心为，半径；

圆：，即圆：，圆心：半径，所以，所以；

故答案为：D

【分析】首先求出两圆的圆心坐标以及半径，再由两点间的距离公式求出两圆的圆心距，再由两圆外切，从而得到关于m的方程，求解出m的值即可。

9．【答案】A

【知识点】直线的斜率；空间向量的数量积运算；点、线、面间的距离计算

【解析】【解答】取的中点G，连接，则，所以点Q到平面的距离即点Q到平面的距离，与的长度无关，B不符合题意．

又平面，所以点到平面的距离即点Q到平面的距离，即点Q到平面的距离，与点Q的位置无关，D不符合题意．

如图，以点D为原点，建立空间直角坐标系，则，

∴，，，

设是平面的法向量，则由得

令，则，所以是平面的一个法向量．

设点Q到平面的距离为d，则，A对，C不符合题意．

故答案为：A．

【分析】由已知条件取BG的中点G，连接PG，CG，DP，由中点的性质，利用线面平行判断出选项B、D错误；建立空间直角坐标系，求出各个点以及斜率的坐标，再利用平面的法向量结合空问向量数量积公式求得点到面的距离，从而得出选项A正确，由此即可得出答案。

10．【答案】C

【知识点】平面内点到直线的距离公式

【解析】【解答】A：到直线的距离为，故直线存在P使，符合“2域直线”；

B：到直线的距离为，故直线存在P使，符合“2域直线”；

C：到直线的距离为，故直线不存在P使，不符合“2域直线”；

D：到直线的距离为，故直线存在P使，符合“2域直线”；

故答案为：C

【分析】根据题意，当点M到直线1的距离时，直线l为点M(3，4)的“2域直线”，据此依次分析选项，再结合点到直线的距离公式，计算点M到直线l的距离，由此对选项逐一判断即可得出答案。

11．【答案】-3

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】，故实部为-3.

故答案为：-3.

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由复数的概念即可得出答案。

12．【答案】-1

【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的混合运算

【解析】【解答】解：由是纯虚数，

得，即．

故答案为：-1．

【分析】由复数代数形式的运算性质整理化简，再由题意复数为纯虚数即可得出答案。

13．【答案】4

【知识点】函数的最大（小）值；平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系

【解析】【解答】圆心到原点的距离为，

点P到原点的距离的最小值为.

故答案为：4.

【分析】首先由点到直线的距离公式代入数值计算出，圆心到直线的距离再结合圆的几何性质，即可求出点P到原点的距离的最小值。

14．【答案】

【知识点】空间中两点间的距离公式

【解析】【解答】解：空间直角坐标系中，点到轴的距离为．

故答案为：．

【分析】由空间直角坐标系中点到直线的距离公式，代入数值计算出结果即可。

15．【答案】

【知识点】直线的斜率；斜率的计算公式；直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系

【解析】【解答】满足且

当，，设点；

当，，设点；

的几何意义为线段上的点与定点连线的斜率.

由题意画出图形如图，

根据两点求斜率公式：求得

的取值范围是

故答案为：

【分析】由题意画出图形，再由的几何意义为：线段AB上的点与定点P(1，-1)连线的斜率，结合斜率的坐标公式计算出取值范围即可。

16．【答案】①③④

【知识点】向量的数量积判断向量的共线与垂直；点、线、面间的距离计算；用空间向量求直线间的夹角、距离；用空间向量研究二面角

【解析】【解答】对①如图，连接BD，则线段BD的中点在线段AC上，

又面ACE，则点B，D到平面ACE的距离相等，①正确

对②，若点E，F到直线AC的距离相等，则必有，

但点E，F分别是棱，上的动点，则不一定与平行，②错误；

对③如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，

则，设，

，

当时，取最小值，

此时直线AF与直线CE所成角的最大值是，③正确；

对④，设平面CDF的法向量为，

又，

则，则平面CDF的一个法向量为，

设平面ACE的法向量为，

又，

则，则平面CDF的一个法向量为，

设平面CDF与平面ACE所成角为，

则，

当时，，此时，

故平面CDF与平面ACE所成角的最大值是，④正确.

故答案为：①③④.

【分析】由正方体的几何性质，结合线线平行的几何意义即可判断出①正确、②错误；根据题意建立空间直角坐标系，求出各个点以及向量的坐标，由此点到平面的法向量结合数量积的坐标公式，计算出线线角和二面角的最大值，从而判断出③正确、④正确；由此即可得出答案。

17．【答案】（1）复数

（2）且

对应的点，如图所示.

【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的混合运算；复数的模

【解析】【分析】(1)由图可知，再由复数模的计算公式求出|z|的值。

(2)利用复数代数形式的乘除运算求，由此得到B的坐标，从而即可在复平面内标出对应的点。

18．【答案】（1）解：因为直线，的交点为，可得，解得.

（2）解：将直线的方程可化为，可得，

因为过点且与直线平行，可得所求直线的斜率为，

又由点，可得直线的方程为，即.

（3）解：将直线的方程可化为，所以，

因为点且与直线垂直，可得所求直线的斜率为，

又由点，可得直线的方程为，即.

【知识点】直线的一般式方程与直线的平行关系；直线的一般式方程与直线的垂直关系；两条直线的交点坐标

【解析】【分析】(1)根据题意联立直线的方程，由此得到直线的交点坐标，代入M的坐标，求出a，b的值即可。

(2)首先把直线的方程化为斜截式，由此即可求出直线的斜率，再由直线平行的斜率的性质结合点斜式，代入数值即可求出直线的方程。

(3)首先把直线的方程化为斜截式，由此即可求出直线的斜率，再由直线垂直的斜率的性质结合点斜式，代入数值即可求出直线的方程。

19．【答案】（1）连结交于点，连结，

因为四边形为正方形，所以是中点，

是的中点，，

又平面，平面，平面.

（2）因为两两互相垂直，以为坐标原点，以的方向分别为轴轴轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，，，，

，，.

设平面的一个法向量为，则即，

令，则得，此时，

平面，

直线到平面的距离即为点到平面的距离，

，

线到平面的距离为；

（3），，

设直线与平面所成角为，.

直线与平面所成角的正弦值为.

【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；空间向量的数量积运算；用空间向量研究直线与平面所成的角

【解析】【分析】(1)根据题意做出辅助线，由中点的性质即可得出线线平行，再由线面平行的判定定理即可得证出结论。

(2)根据题意建立空间直角坐标系求出各个点的坐标以及向量和平面法向量的坐标，再由数量积的坐