2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题 12.2复数的运算（含解析）

第第页2023-2024学年高中数学苏教版2023必修二同步试题12.2复数的运算（含解析）12.2复数的运算

一、单选题

1．己知（为虚数单位），则（）

A．B．1C．D．3

【答案】D

【解析】

【分析】

按照复数运算法则，以及复数相等的原理即可.

【详解】

，所以；

故选：D.

2．已知复数，若满足方程，则实数的值为（）

A．2B．C．1D．

【答案】B

【解析】

【分析】

将代入方程化简，再由复数的概念，计算的值.

【详解】

将代入，得，所以可得.

故选：B

3．i为虚数单位，则（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

利用复数的乘法和除法运算法则，运算即得解

【详解】

由题意，

故选：B

4．已知，则的虚部是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据复数代数形式的除法运算法则化简复数，即可判断；

【详解】

解：因为，所以，所以的虚部是，

故选：B.

5．已知，则复数（）

A．B．C．D．

【答案】C

【解析】

【分析】

设（a，），代入，利用复数相等求解.

【详解】

设（a，），则.

因为，所以,

即，

整理得，

所以，

解得，

所以.

故选：C

6．复数（为虚数单位），则（）

A．1B．

C．D．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据复数的周期性进行求解即可.

【详解】

，

，

所以，

故选：A

二、多选题

7．已知是复数，则下列说法一定正确的有（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则至少有一个是虚数

【答案】BD

【解析】

【分析】

根据复数的性质，结合特例法逐一判断即可.

【详解】

A：若，显然满足，但是不满足，因此本选项说法不正确；

B：当成立时，显然有，因此本选项说法正确；

C：当时，显然满足，但是不成立，因此本选项说法不正确；

D：当成立时，假设都不是虚数，则它们是实数，显然不成立，假设不成立，因此至少有一个是虚数，所以本选项说法正确，

故选：BD

8．复数，则下列选项一定正确的是（）

A．B．C．D．

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据共轭复数的定义，结合复数的四则运算法则逐一判断即可.

【详解】

因为，所以.

A：因为，，所以，因此本选项正确；

B：因为，，所以，因此本选项不正确；

C：因为，，所以，因此本选项正确；

D：因为，

所以，因此本选项不正确，

故选：AC

三、填空题

9．化简：___________.

【答案】

【解析】

【分析】

根据复数的乘方法则计算可得.

【详解】

解：因为，，，所以

故答案为：

10．若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．

【答案】

【解析】

【分析】

根据关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，由求解.

【详解】

因为关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，

所以，

即，即，

解得，

所以m的取值范围是，

故答案为：

11．在复数范围内因式分解：______

【答案】

【解析】

【分析】

利用二倍角公式及计算可得；

【详解】

解：

故答案为：

12．已知复数对应的点在复平面第一象限内，甲、乙、丙三人对复数的陈述如下为虚数单位：甲：；乙：；丙：，在甲、乙、丙三人陈述中，有且只有两个人的陈述正确，则复数______．

【答案】##

【解析】

【分析】

设，则，然后分别求出甲，乙，丙对应的结论，先假设甲正确，则得出乙错误，丙正确，由此即可求解．

【详解】

解：设，则，

甲：由可得，则，

乙：由可得：，

丙：由可得，即，所以，

若，则，则不成立，，则，解得或，

所以甲，丙正确，乙错误，

此时或，又复数对应的点在复平面第一象限内，

所以，

故答案为：．

四、解答题

13．求（，且）的所有能取到的值构成的集合.

【答案】

【解析】

【分析】

应用复数乘方、除法运算可得，讨论n的奇偶性确定取值集合.

【详解】

，

当n为奇数时，；当n为偶数时，.

∴所有能取到的值构成的集合为.

14．设，求证：

(1)

(2)

(3)

【答案】(1)证明见解析

(2)证明见解析

(3)证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由，求得，即可证得；

（2）由，求得，进而求得；

（3）由，分别求得和，即可证得.

(1)

解：由，可得，

所以.

(2)

解：由，可得，

则

(3)

解：由，可得，，

则，所以.12.2复数的运算

一、单选题

1．己知（为虚数单位），则（）

A．B．1C．D．3

2．已知复数，若满足方程，则实数的值为（）

A．2B．C．1D．

3．i为虚数单位，则（）

A．B．C．D．

4．已知，则的虚部是（）

A．B．C．D．

5．已知，则复数（）

A．B．C．D．

6．复数（为虚数单位），则（）

A．1B．

C．D．

二、多选题

7．已知是复数，则下列说法一定正确的有（）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则至少有一个是虚数

8．复数，则下列选项一定正确的是（）

A．B．C．D．

三、填空题

9．化简：___________.

10．若关于x的实系数一元二次方程有两个共轭虚数根，则m的取值范围是________．

11．在复数范围内因式分解：______

12．已知复数对应的点在复平面第