四年级数学奥数培优讲义-专题12商的变化规律的实际应用（含解析）

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在除法中，若除数不变，被除数乘（或除以）几，商也乘（或除以）儿；若被除数不变，除数来（或除以）几，商反而除以（或乘）几；被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。这些都是商的变化规律，运用商的变化规律可以判断商的变化情况，也可以运用商不变的性质使一些除法计算简便。

1．小明说：“根据商不变性质，因为13÷2＝6……1，所以130÷20＝6……1”。你同意小明的说法吗？请写出你的理由。

2．解释说明商不变的规律。

（1）根据64÷32＝2，写出一组商为2的除法算式（至少写3道）。

（2）根据你写的算式，说说它们的商为什么都是一样的？

3．计算980÷50时，李林是这样做的：

（1）他这样做的依据是什么？

（2）请你帮李林验算下，他的答案是否正确？如果不正确，帮他改正一下。

4．一个分数的分母不变，分子乘5，这个分数的大小有什么变化？如果分子不变，分母除以3呢？

5．我国是一个缺水的国家，人均淡水资源量约是2300立方米，世界人均淡水资源量约是9200立方米。世界人均淡水资源量约是我国人均淡水资源量的多少倍？

6．小红算完这个题组后，有了如下想法，她的想法对吗？写出你的理由。

7．小马虎在计算一个数除以6.85时，忘记写除数的小数点，结果得到的商是0.096，写出这个除法算式，并算一算正确的商是多少？

8．根据聪聪和明明的想法，完成“270÷45”的简便计算。

270÷45270÷45

9．下面是小强计算400÷25的过程：

400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16

请你解释这样计算的理由。

10．计算下面三组题，计算后观察，你发现了什么？

540÷27＝144÷16＝180÷36＝

540÷9÷3＝144÷2÷8＝180÷6÷6＝

（1）请你用自己的语言描述你的发现。

（2）请你再写出一组算式验证你发现的规律。

11．一辆汽车每小时行50千米，行200千米需要多少小时？行400千米、600千米、800千米呢？把下面的表格填写完整。

行驶的路程/千米200400600800

行驶的时间/时

你有什么发现？把你的发现写在下面。

12．皮皮的外婆家养了很多猪。外婆问：“开始咱家养了6头猪，一个月吃了540千克饲料。如今，咱家养了18头猪，每个月大约要吃掉多少千克饲料？”你能想出几种做法。

13．王叔叔带900元买了25箱果汁，平均每箱果汁多少元？如果果汁的价钱降到原来的一半，王叔叔可以买多少箱？

14．我们已经学习了积的变化规律。想一想：有没有商的变化规律、和的变化规律、差的变化规律呢？请你选择其中的一个，先提出猜想，再进行验证。

我的猜想：

我的验证：

我的结论：

15．在计算275÷25时，小通是这样做的：

275÷25

（1）你能解释小通这样做的道理吗？请写一写。

（2）请你再举一个例子，说明这个道理是成立的。

16．学校要买25个篮球，每个102元。李老师带了3000元钱，够吗？同学们用不同的方法解决了这道题，谁的解答方法是不正确的？请说明错误的理由。

奇思：300010230↓10030＞25答：李老师的钱够。淘气：300025＝（30004）（254）＝12000100＝120（元）120＞102答：李老师的钱够。妙想：25102＝251002＝25002＝5000（元）3000＜5000答：李老师的钱不够。

17．两数相除，得到的商是3，余数为20，如果被除数和除数同时扩大8倍，商是多少？余数是多少？你能从中发现什么？

18．善于观察分析，寻找规律，并根据数学基础知识加以分析验证。这是一个非常好的学习方法。下面是淘气计算400÷25的过程，观察思考。

400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16

①淘气是怎样算的？

②他这样算的目的是什么？

③这样算，正确吗？为什么？

④你能利用这样的思想方法计算下面各题吗？

6000÷125＝

2700÷15＝

19．小刚在计算一道除法题时，把除数15错看成了45，结果得到的商是24。

20．在探究0.4÷0.08如何计算时，两位同学分别想出了下面方法。

你认为（）的方法不合理，把原因写在下面。

21．本学期我们学习了“商的变化规律”，积累了探索规律的经验。如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商会怎样变化？请你探索规律，并完成下面的问题。

如果：被除数÷除数＝100

那么：（被除数×2）÷（除数÷2）＝（）

举例：

我发现：

22．（1）计算下面两组题目的得数。

（2）你有什么发现？用语言或数学符号概括你发现的结论。

（3）试着从数学的角度分析这个结论背后的原因。

23．（1）计算时，四年级的张博同学想用商不变的规律计算，请你帮他把计算过程补充完整：＝÷（）＝（）。

（2）赵鹏也利用商不变的规律计算下面这道题：

＝＝＝

你认为赵鹏这样做的结果对吗？请说明道理。

24．说理题。

根据商不变规律，计算940÷40时可以想成94÷4。下面是小红的计算过程，你认为小红说得对吗？请说明理由。

25．王丽在计算1.8除以一个两位小数时，发现：如果被除数不变，仅把除数当成整数来算，结果是0.024，这个两位小数是多少？

26．本学期我们通过观察、猜想、验证探究了商不变的规律。

（1）小林是一个爱思考的学生，他想：“既然除法有商不变的规律，那么减法会有类似的规律吗？”请观察下面这组算式：

20－10＝1025－15＝1030－20＝10

我发现：（）。

（2）请你举例验证这个规律是否正确。（至少写出三个算式）

答：通过探究，我认为这个规律是（）的。（填正确或不正确）

27．根据第一行题的商快速写出下面两行题的商，再回答问题。

28÷7＝481÷9＝9

280÷70＝810÷90＝

2800÷700＝8100÷900＝

（1）被除数扩大10倍，要使商不变，除数应该（）。

（2）如果把除数扩大8倍，要使商不变，被除数应该（）。

28．200÷50的商是多少？如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商是多少？如果被除数和除数同时缩小到原来的呢？

29．观察发现：

你发现什么规律：

。

30．已知A4纸每包约厚5厘米，可知规格是500张/包。算一算1亿张这样的A4纸摞起来大约有多厚？

31．有两捆同样规格的铁丝，其中一捆铁丝长5米，重250克。另一捆铁丝重1000克，这捆铁丝长多少米？

32．列竖式计算。

亮亮的想法：

在亮亮的算法中，横线上的这一步的依据是（），你的竖式算式和亮亮的算式的共同点是先把除数（），再计算。

33．除数是20，增加100以后，要使商不变，被除数应该要扩大多少倍？

34．佳佳在计算时，采用了下面的简便方法。他的做法对吗？请说明理由。

35．两个数相除，商是8，余数是5，如果被除数扩大到原来的3倍，除数也扩大到原来的3倍，那么商是多少？余数是多少？余数是原来的多少倍？（请举例说明）

36．两个数相除的商是15，如果被除数乘5，除数除以2，那么现在的商是多少？

37．小马虎在计算一道除法题时，把被除数25.6写成了256，结果比正确的商多1.8，正确的商是多少？

38．下面是妙妙计算的过程，观察计算的每一步，你受到什么启发？

你能用这个方法计算下面各题吗？

39．红红和亮亮谁说得对？你能验证一下并说明理由吗？

40．一个数除以500，利用商不变的规律，被除数和除数的末尾同时去掉两个0，这时商不变，还是5，但余数减少了99。原来的被除数和余数分别是多少？

41．根据商不变性质可知“9700÷300＝97÷3”，又因为“97÷3＝32……1”所以聪聪认为“9700÷300＝32……1”。你认同聪聪的观点吗？请在下面解释你的具体想法。

42．探索与发现。奇思想既然乘法有分配律，是不是除法也有分配律呢？让我们一起来探索吧。

①（A＋B）÷C与A÷C＋B÷C相等吗，请举个例子试试。

②生活中的例子：五（1）班有男生20人，女生24人，乘船游西湖，每条船乘坐4人，一共需要多少条船？（用两种方法计算，验证是否相等）

③如果调换位置后，C÷（A＋B）与C÷A＋C÷B还相等吗？请举例验证。

43．在计算“120÷15”时，为使计算简便，小英同学是这样做的：

（1）小英这样做对吗？为什么？

（2）如果用简便方法计算“210÷42”，你打算怎样计算？请你把计算过程写出来。

44．如图是小明计算820÷50时的过程与结果。他做得对吗？为什么？请说明你的理由。

1．不同意，理由见详解

【分析】根据商不变性质可知，被除数和除数同时乘10，商不变，仍是6，余数要乘10，不是1，而是10。可以根据被除数＝除数×商＋余数验证小明的说法是否正确。

【详解】20×6＋1

＝120＋1

＝121

20×6＋10

＝120＋10

＝120

则我不同意小明的说法，因为被除数和除数同时乘10，商不变，余数也要乘10，正确计算应是：130÷20＝6……10。

【分析】本题考查商不变的性质：被除数和除数同时扩大相同倍数，商不变，余数也同时扩大相同倍数。

2．见详解

【分析】被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。根据商的变化规律可解此题。

【详解】（1）64÷32＝2，被除数，除数同时除以2，商不变：32÷16＝2

64÷32＝2，被除数，除数同时除以4，商不变：16÷8＝2

64÷32＝2，被除数，除数同时乘2，商不变：128÷64＝2（答案不唯一）

（2）根据商不变性质可得，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。

【分析】商的变化规律

（1）被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。

（2）除数不变，被除数乘或除以一个数（0除外），商就乘或除以这个数。

（2）被除数不变，除数乘或除以一个数（0除外），商反而除以或乘这个数。

3．（1）见详解过程

（2）不正确；

改正如下：

【分析】（1）根据商不变的性质，在除法算式中，被除数、除数同时乘或除以几（0除外），商不变，所以980÷50可以看作98÷5，这样被除数和除数同时除以10，商不变，运用的是商不变的性质；

（2）在有余数除法中，当被除数、除数同时乘或除以几（0除外），商不变，但余数也随之乘或除以几（0除外），商×除数＋余数＝被除数，由此判断改正即可。

【详解】（1）依据是：980÷50可以看作98÷5，这样被除数和除数同时除以10，商不变，运用的是商不变的性质。

（2）19×50＋3

＝950＋3

＝953

所以他的答案不正确。

改正如下：

【分析】本题主要考查商不变的规律在有余数的除法算式中的灵活应用。注意余数的变化。

4．见详解

【分析】分数与除法的关系：分子相当于被除数，分母相当于除数，分数线相当于除号。

商的变化规律：除数不变，被除数乘几，商就乘几；被除数除以几，商就除以几；

被除数不变，除数乘几，商反而除以几；除数除以几，商反而乘几。

【详解】（1）一个分数的分母不变，分子乘5，相当于除数不变，被除数乘5；

根据商的变化规律可知，商要乘5，即这个分数扩大到原来的5倍。

（2）如果分子不变，分母除以3，相当于被除数不变，除数除以3；

根据商的变化规律可知，商要乘3，即这个分数扩大到原来的3倍。

答：一个分数的分母不变，分子乘5，这个分数扩大到原来的5倍；如果分子不变，分母除以3，这个分数扩大到原来的3倍。

【分析】根据分数与除法的关系以及商的变化规律，得出分子或分母变化，分数大小相应的变化。

5．4倍

【分析】求一个数是另一个数的几倍，用除法计算。据此可知，要求世界人均淡水资源量约是我国人均淡水资源量的多少倍，用世界人均淡水资源量除以我国人均淡水资源量，再根据商的变化规律解答即可。

【详解】9200÷2300

＝（9200÷100）÷（2300÷100）

＝92÷23

＝4

答：世界人均淡水资源量约是我国人均淡水资源量的4倍。

【分析】商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。

6．不对；理由见详解

【分析】计算700÷40时，被除数和除数末尾同时划掉1个0，商不变，所得余数末尾添上1个0后得到实际的余数。可以根据除法的验算方法判断小红想法是否正确，也可以根据两个算式的余数表示的意义判断，还可以根据商的变化规律进行判断。

【详解】她的想法不对。

理由：第一，我通过验算发现这样的想法不对。70÷4＝17……2，17×4＋2＝70，计算正确。17×40＋2＝682，则700÷40的结果不是17……2。17×40＋20＝700，700÷40的结果是17……20。

第二，70÷4的余数表示2个一，700÷40的余数表示2个十，二者只有商相同，余数是不同的；

第三，根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），只是商不变，余数会变。则70÷4与700÷40的商相同，余数不同。

【分析】本题考查被除数和除数末尾有0的除法计算，计算时，被除数和除数末尾同时划掉几个0后，商不变，应在所得余数末尾添上相同个数的0，即可得到实际的余数。

7．9.6

【分析】商的变化规律：被除数不变，除数扩大多少倍，商反而缩小多少倍；6.85的小数点没点，是扩大了100倍，此时的商相当于除以了100，所以原来的商应该是0.096×100。

【详解】0.096×（685÷6.85）

＝0.096×100

＝9.6

答：正确的商是9.6。

【分析】本题考查小数除法、商的变化规律，解答本题的关键是掌握商的变化规律。

8．见详解

【分析】根据商的变化规律可知，聪聪的想法是被除数和除数同时除以一个相同的数，则被除数和除数可以同时除以9，被除数变为30，除数变为5，再进行计算。明明的想法是被除数和除数同时乘一个相同的数，则被除数和除数可以同时乘2，被除数变为540，除数变为90，再进行计算。

【详解】270÷45＝（270÷9）÷（45÷9）＝30÷5＝6

270÷45＝（270×2）÷（45×2）＝540÷90＝6

【分析】商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变。

9．见详解

【分析】被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；据此可知，400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16，小强在计算的过程中正确的应用了商的变化规律。

【详解】400÷25

＝（400×4）÷（25×4）

＝1600÷100

＝16

根据“被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变”可知，小强这样计算应用了商不变的性质，使计算简便。

【分析】正确理解商的变化规律，是解答此题的关键。

10．20；9；5

20；9；5

（1）被除数除以除数，当除数可以写成两个数相乘的形式时，可以用被除数连续除以这两个数，商不变。

（2）360÷12＝30

360÷2÷6＝180÷6＝30

【分析】先根据整数除法计算出结果，再观察规律。

（1）观察上下两个算式，发现被除数相同，除数27＝9×3；16＝2×8；36＝6×6，商也相同，由此得出规律。

（2）按规律写出算式即可。（答案不唯一）

【详解】540÷27＝20144÷16＝9180÷36＝5

540÷9÷3＝60÷3＝20144÷2÷8＝72÷8＝9180÷6÷6＝30÷6＝5

（1）被除数除以除数，当除数可以写成两个数相乘的形式时，可以用被除数连续除以这两个数，商不变。

（2）360÷12＝30

360÷2÷6＝180÷6＝30

【分析】一个数连续除以两个数，可以除以这两个数的积。

11．4；8；12；16

我的发现：除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。

【分析】时间＝路程÷速度，据此分别求出所需时间，填入表中即可；规律就是：除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。

【详解】200÷50＝4（小时），400÷50＝8（小时），600÷50＝12（小时），800÷50＝16（小时）。填入表中如下：

行驶的路程/千米200400600800

行驶的时间/时481216

我的发现：除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。

【分析】此题考查商的变化规律，以及速度、时间、路程的关系及应用。

12．1620千克

【分析】第一种方法，先求出每头猪一个月吃饲料的重量为540÷6千克，再用每头猪一个月吃饲料的重量乘猪的数量解答，即18头猪每个月大约要吃掉540÷6×18千克饲料。

第二种方法，一个月吃饲料的总重量÷猪的数量＝每头猪一个月吃饲料的重量，因为每头猪一个月吃饲料的重量是不变的，根据商的变化规律可知，猪的数量从6头变成18头，18÷6＝3，除数扩大了3倍，要使商不变，则被除数也扩大3倍，即18头猪一个月吃饲料的总重量变成540×3千克。

【详解】（1）540÷6×18

＝90×18

＝1620（千克）

（2）540×（18÷6）

＝540×3

＝1620（千克）

答：18头猪每个月大约要吃掉1620千克饲料。

【分析】第一种方法考查的归一问题，先求单一量，再求总量；第二种方法考查商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。

13．36元；50箱

【分析】用王叔叔带的钱除以箱数等于每箱果汁的价钱；总价不变，单价降到原来的一半，根据商的变化规律，箱数要乘2。

【详解】900÷25＝36（元）

25×2＝50（箱）

答：平均每箱果汁36元，如果果汁的价钱降到原来的一半，王叔叔可以买50箱。

【分析】熟练掌握总价、单价和数量及商的变化规律是解答本题的关键。

14．见详解

【分析】可以选择其中一个，先写出规律，再用算式进行验证。

【详解】我的猜想：商的变化规律是，除数不变，被除数乘（或除）几，商就乘（或除以）几；被除数不变，除数乘（或除以）几，商就除以（或乘）几；被除数和除数同时乘（或除以）几，商不变。

我的验证：320÷16＝20

除数不变，被除数乘（或除）几，商就乘（或除以）几，640÷16＝40，160÷16＝10；

被除数不变，除数乘（或除以）几，商就除以（或乘）几，320÷32＝10，320÷8＝40；

被除数和除数同时乘（或除以）几，商不变，640÷32＝20，160÷8＝20；

我的结论：猜想正确。

【分析】本题主要考查学生对商的变化规律、和的变化规律、差的变化规律的掌握，选取其中一个规律进行猜想和验证是解决本题的关键。

15．（1）被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变。

（2）见详解

【分析】（1）商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以同一个数（0除外），商不变；

（2）按照商不变的规律写出算式即可。

【详解】（1）小通运用了除法中商不变的规律，将被除数和除数同时乘4，这样将被除数变成几千几百数，除数变成整百数，商不变，计算更加方便。

（2）用竖式计算210÷42，如下：

210÷42

＝（210÷7）÷（42÷7）

＝30÷6

＝5

所以商不变的规律是成立的。

（答案不唯一）

【分析】熟练掌握商不变的规律是解答此题的关键。

16．妙想；因为他没有掌握乘法分配律的特点，脱式计算的第一步计算错误了。

【分析】单价×数量＝总价，总价÷单价＝数量，总价÷数量＝单价，此题中数量为25个，单价是102元，总价是3000元，依此计算并解答即可。

【详解】奇思是根据“总价÷单价＝数量”计算的：

102≈100

3000÷100＝30

即3000÷102≈30

30个＞25个，够，因此奇思的解答方法是正确的；

淘气是根据“总价÷数量＝单价”计算的：

3000÷25

＝（3000×4）÷（25×4）

＝12000÷100

＝120（元）

120元＞102元，够，因此淘气的解答方法是正确的；

妙想是根据“单价×数量＝总价”计算的：

25×102

＝25×（100＋2）

＝25×100＋25×2

＝2500＋50

＝2550（元）

2550元＜3000元，够，因此妙想的解答方法是不正确的；

答：妙想的解答方法是不正确的；因为他没有掌握乘法分配律的特点，脱式计算的第一步计算错误了。

【分析】此题考查的是经济问题的计算，应熟练掌握乘法分配律的特点，商的变化规律，以及总价、单价、数量之间的关系。

17．3；160；商不变，余数与被除数、除数扩大的倍数相同

【解析】略

18．①淘气是根据商不变的规律进行计算；

（2）为了简便计算；

（3）正确，因为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；

（4）48；180

【分析】（1）淘气根据商不变的规律，先算小括号里的，再算小括号外的；

（2）他这样算的目的是为了简便计算；

（3）这样算正确，因为根据商不变的规律：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；

（4）根据商不变的规律，6000÷125被除数和除数同时乘8，2700÷15被除数和除数同时除以3，即可解答。

【详解】①淘气是根据商不变的规律进行计算；

（2）为了简便计算；

（3）正确，因为被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变；

（4）6000÷125＝（6000×8）÷（125×8）＝48000÷1000＝48

2700÷15＝（2700÷3）÷（15÷3）＝900÷5＝180

【分析】本题主要考查商不变规律的灵活应用，牢记规律，结合算式的特点，能正确进行解答。

19．72

【分析】由题意可知，把除数15错看成了45，被除数不变，所以先用得到的商乘上除数45，求出被除数，再用被除数除以除数15即可。

【详解】45×24÷15

＝1080÷15

＝72

答：正确的商是72。

【分析】本题关键是理解题意，求出不变的被除数，再用被除数除以正确的除数即可。

20．亮亮，原因见详解

【分析】刚刚的方法是把0.4和0.08都看成以米为单位的数据，根据长度单位之间的换算，把单位米换算成厘米，小数转化为整数，按照整数的除法进行计算，方法正确；亮亮如果想要把被除数和除数同时转化为整数进行计算，根据商不变的性质，被除数和除数需要同时乘100，才能保证结果正确，据此答题即可。

【详解】由分析可知，亮亮的方法不合理，原因如下：

根据商不变的性质，被除数和除数需要同时乘100，正确的解法为：

0.4÷0.08

＝（0.4×100）÷（0.08×100）

＝40÷8

＝5

【分析】掌握小数除法的计算方法是解题的关键。

21．400；举例和发现均见详解；（举例答案不唯一）

【分析】在商不为0的除法算式里，如果被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商就乘这两个相同数的积，依此解答。

【详解】2×2＝4，100×4＝400，

（被除数×2）÷（除数÷2）＝400

举例：400÷4＝100

（400×2）÷（4÷2）＝800÷2＝400

我发现：在商不为0的除法算式里，被除数乘一个数，除数同时除以相同的数（0除外），则商要乘这两个相同数的积。

【分析】熟练掌握商的变化规律是解答此题的关键。

22．（1）见详解

（2）见详解

（3）见详解

【分析】（1）按照小数乘法、除法的计算法则，计算出各算式的得数。

（2）观察左边的乘法算式，发现其中一个因数不变；观察右边的除法算式，发现被除数不变；结合计算结果以及各算式的特点，找出题中的规律，从而概括出发现的结论。

（3）根据积的变化规律、商的变化规律来解释。

【详解】（1）

（2）因数2.5不变，另一个因数越大，积就越大；另一个因数越小，积就越小。

被除数15.2不变，除数越大，商越小；除数越小，商反而越大。

（3）两数相乘，如果一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍；另一个因数缩小到原来的几分之一，积也缩小到原来的几分之一。

两数相除，被除数一定时，除数越大，商就越小；除数缩小到原来的几分之一，商反而扩大到原来的几倍。

【分析】通过计算，发现积的变化规律、商的变化规律，并总结规律是解题的关键。

23．（1），28；

（2）赵鹏这样做的结果不对，因为在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。

【分析】商的变化规律：被除数不变，除数乘几或除以几（0除外），商就除以几或乘几；除数不变，被除数乘几或除以几，商就乘几或除以几；被除数和除数都乘或者除以相同的数（0除外），商不变；有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数，据此解答。

【详解】（1）计算时，四年级的张博同学想用商不变的规律计算，请你帮他把计算过程补充完整：＝÷＝（28）。

（2）赵鹏也利用商不变的规律计算下面这道题：

＝＝＝

赵鹏这样做的结果不对，因为在有余数的除法里，被除数和除数都乘相同的数或都除以相同的数（0除外），商不变，但余数也随着乘或除以相同的数。

【分析】本题考查商的变化规律，熟练掌握并灵活运用。

24．不对，理由见解析

【分析】在有余数的整数除法里，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变，但是余数也同时扩大或缩小相同的倍数（0除外）。

【详解】计算错误，正确的是：

940÷40＝23……20

【分析】此题需要学生熟练掌握两位数除两、三位数的竖式计算方法。

25．0.75

【详解】1.8÷（0.024×100）

＝1.8÷2.4

＝0.75

答：这个两位小数是0.75。

26．（1）被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变

（2）40－20＝20

45－25＝20

50－30＝20

正确

【分析】根据被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变。结合题意分析解答即可。

【详解】（1）我发现：被减数和减数同时加上或者减去相同的数，差不变。

（2）举例验证：

40－20＝20

45－25＝20

50－30＝20（答案不唯一）

答：通过探究，我认为这个规律是正确的。

【分析】本题考查了商的变化规律知识以及减法计算知识，旨在考查学生观察算式之间的关系，总结规律，再依据规律解答。

27．4；9

4；9

（1）扩大10倍

（2）扩大8倍

【分析】商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。据此解答即可。

【详解】28÷7＝481÷9＝9

280÷70＝（280÷10）÷（70÷10）＝28÷7＝4810÷90＝（810÷10）÷（90÷10）＝81÷9＝9

2800÷700＝（2800÷100）÷（700÷100）＝28÷7＝48100÷900＝（8100÷100）÷（900÷100）＝81÷9＝9

（1）被除数扩大10倍，要使商不变，除数应该扩大10倍。

（2）如果把除数扩大8倍，要使商不变，被除数应该扩大8倍。

【分析】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。

28．4；4；4

【分析】根据商不变的性质，被除数和除数同时乘或除以一个相同的数（0除外），商不变。据此解答即可。

【详解】200÷50＝4

（200×10）÷（50×10）

＝2000÷500

＝4

（200÷10）÷（50÷10）

＝20÷5

＝4

答：200÷50的商是4，如果被除数和除数同时扩大到原来的10倍，商还是4，如果被除数和除数同时缩小到原来的，商还是4。

【分析】本题考查商不变的性质，熟记商不变的性质是解题的关键。

29．2；2；2；2；在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商的大小不变。

【分析】先分别计算出每个算式的商，然后再根据计算出结果进行观察，再写出发现的规律即可。

【详解】6÷3＝2

60÷30＝2

600÷300＝2

6000÷3000＝2

从上往下观察：

从下往上观察：

因此我发现：在除法算式里，被除数和除数同时乘或除以一个不为零的数，商的大小不变。

【分析】此题考查的是根据算式发现商的变化规律，应熟练掌握。

30．1000000厘米

【分析】先求出1亿张纸共多少包，再用包数乘每包厚度，求出1亿张纸的总厚度。

【详解】100000000÷500＝1000000÷5＝200000（包）

200000×5＝1000000（厘米）

答：1亿张这样的A4纸摞起来大约有1000000厘米厚。

【分析】熟练掌握商的变化规律：被除数和除数同时扩大（或缩小）相同倍数，商不变。

31．20米

【分析】用1000除以250求出1000克里面有几个250克，再乘5即可解答。

【详解】1000÷250×5

＝4×5

＝20（米）

答：这捆铁丝长20米。

【分析】本题还可以用250除以5求出1米重多少克，再用1000除以1米重多少克即可解答。

32．竖式见详解；商的变化规律；变成整数

【分析】除数是小数的小数除法：先把除数的小数点去掉使它变成整数，看除数原来有几位小数，就把被除数小数点向右移动相同的几位（位数不够时补0），按照除数是整数的除法进行计算。根据商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以相同的不为0的数，商不变；通过比较竖式算式和亮亮的算式，从而找出它们的共同点，那就是都要先把除数变为整数以后，再去计算。

【详解】

亮亮的想法：

在亮亮的算法中，横线上的这一步的依据是商的变化规律，你的竖式算式和亮亮的算式的共同点是先把除数变成整数，再计算。

【分析】此题的解题关键是通过列竖式和商的变化规律，让学生更深刻的理解小数除法的算理。

33．6倍

【分析】在除法算式中，被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数（0除外），商不变；据此解答即可．

【详解】除数是20，增加100，是120，扩大了120÷20=6倍，要使商不变，被除数也要扩大6倍．

答：被除数应该要扩大6倍．

34．对，理由见详解

【分析】根据的计算过程可知，被除数和除数同时除以9，将算式简化为，再进行计算。这应是运用了商的变化规律。

【详解】佳佳的做法对，因为被除数和除数除以一个不为0的数，商不变。

【分析】本题考查商的变化规律的灵活运用，商的变化规律：被除数和除数同时乘或除以一个不为0的数，商不变。

35．商为8；余数为15；余数是原来的3倍。

【分析】根据商不变规律可知：如果被除数和除数同时扩大相同的倍数（0除外），则商不变，余数相应的也扩大相同的倍数，据此解答即可。

【详解】举例：

53÷6＝8……5

53×3＝159

6×3＝18

159÷18＝8……15

15÷5＝3

答：商是8，余数是15，余数是原来的3倍。

【分析】此题考查了商不变的规律，关键是明确商和余数的变化规律即可。

36．150

【分析】根据商的变化规律可知，除数不变，被除数乘5，商乘5。被除数不变，除数除以2，商乘2。则如果被除数乘5，除数除以2，商应乘5，再乘2。据此解答。

【详解】15×5×2＝150

【分析】熟练掌握商的变化规律是解决本题的关键。

37．0.2

【分析】由于除数不变，被除数扩大10倍，商就扩大10倍，可得多的1.8是正确商的10－1倍，据此解答。

【详解】256÷25.6＝10

1.8÷（10－1）

＝1.8÷9

＝0.2

答：正确的商是0.2.

【分析】解答本题的明确的是除数不变，被除数扩大几倍，商就扩大几倍。

38．除法算式中，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。

22；40

【分析】根据算式400÷25＝（400×4）÷（25×4）＝1600÷100＝16可以看出，是利用除法中被除数和除数同时乘一个不为0的数，商不变的规律，使算式的被除数和除数变成容易计算的成百成千的数。据此进行解答。

【详解】受到的启发：除法算式中，被除数和除数同时乘相同的数（0除外），商不变。

550÷25

＝（550×4）÷（25×4）

＝2200÷100

＝22

1000÷25

＝（1000×4）÷（25×4）

＝4000÷100

＝40

【分析】本题考查了学生对商不变的规律的掌握与运用。

39．亮亮；理由见解析

【分析】余数中的2在十位上，十位的2表示2个十，所以余数应是20，验证时先求出商与除数的积，再加余数。

【详解】740÷60＝12……20

60×12＋20

＝720＋20

＝740

答：亮亮说得对。

【分析】在有余数的除法中，被除数＝商×除数＋余数。

40．原来的被除数为2600，余数为100。

【分析】根据商不变规律：如果被除数和除数同时扩大到原数的几倍或者缩小到