【解析】黑龙江省大庆市实验中学2023-2023学年高一上学期11月月考数学试题

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一、单选题

1．（2023高一上·大庆月考）函数的定义域为（）

A．B．

C．D．

2．（2023高一上·大庆月考）函数在上的最小值为（）

A．2B．1C．D．

3．（2023高一上·大庆月考）若且为第三象限角，则的值等于（）

A．B．C．D．

4．（2023高一上·大庆月考）设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

5．（2023高一上·大庆月考）已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系是（）

A．B．C．D．

6．（2023高一上·大庆月考）已知，则（）

A．2B．0C．D．

7．（2023高一上·大庆月考）已知函数则（）．

A．B．C．D．

8．（2023高一上·大庆月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

9．（2023高一上·大庆月考）已知恒为正数，则取值范围是（）

A．B．

C．D．

10．（2023高一上·大庆月考）化简得（）

A．B．

C．D．

11．（2023高一上·大庆月考）在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（）

A．B．C．D．

12．（2023高一上·兰州期中）若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（）

①是常数函数中唯一的“特征函数”；

②不是“特征函数”；

③“特征函数”至少有一个零点；

④是一个“特征函数”．

A．1B．2C．3D．4

二、填空题

13．（2023高一上·大庆月考）已知幂函数的图像过点，则

14．（2023高一上·大庆月考）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为．

15．（2023高一上·大庆月考）20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中，A是被测量地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差），众所周知，5级地震已经比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.

16．（2023高一上·大庆月考）已知函数满足，函数，且与的图像的交点为，则

三、解答题

17．（2023高一上·大庆月考）

（1）计算；

（2）已知，求的值.

18．（2023高一上·大庆月考）设

（1）求

（2）若，求实数的取值范围.

19．（2023高一上·大庆月考）已知幂函数

（1）求的解析式；

（2）①若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.

②若图像经过坐标原点，解不等式.

20．（2023高一上·大庆月考）已知函数其反函数为

（1）求证：对任意都有，对任意都有

（2）令，讨论的定义域并判断其单调性（无需证明）.

（3）当时，求函数的值域；

21．（2023高一上·大庆月考）已知函数是定义在上的奇函数；

（1）求实数的值.

（2）试判断函数的单调性的定义证明；

（3）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围.

22．（2023高一上·大庆月考）已知二次函数满足①对于任意，都有；②；③的图像与轴的两个交点之间的距离为4.

（1）求的解析式；

（2）记

①若为单调函数，求的取值范围；

②记的最小值为，讨论函数零点的个数.

答案解析部分

1．【答案】A

【知识点】对数函数的概念与表示

【解析】【解答】要使函数有意义，则，解得且，

所以函数定义域为.

故答案为：A

【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.

2．【答案】C

【知识点】函数的最大（小）值

【解析】【解答】因为函数，

所以函数在上是减函数，

所以当时，.

故答案为：C

【分析】根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值.

3．【答案】C

【知识点】同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】因为且为第三象限角，

所以，

则.

故答案为：C

【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.

4．【答案】D

【知识点】集合关系中的参数取值问题

【解析】【解答】当时，原不等式为，A为空集；

当时，因为A为空集

所以无解，

只需满足，

解得，

综上实数的取值范围是.

故答案为：D

【分析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足即可求解.

5．【答案】B

【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】因为函数为奇函数，

所以，

因为，

且函数在上是增函数，

所以，

故答案为：B

【分析】根据函数为奇函数，只需比较，利用对数性质及指数性质比较，，即可求解.

6．【答案】D

【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则

【解析】【解答】

.

故答案为：D

【分析】将自变量代入函数解析式，利用对数的运算化简求值即可.

7．【答案】D

【知识点】对数的性质与运算法则；分段函数的应用

【解析】【解答】,

故答案为：D.

【分析】利用分段函数的解析式结合对数的运算性质，从而求出函数值。

8．【答案】C

【知识点】复合函数的单调性

【解析】【解答】设g（x）＝x2﹣ax+1，

则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，

由复合函数单调性可得：

满足，即，

得a，

即实数a的取值范围是，

故答案为：C．

【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.

9．【答案】A

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当时，是减函数，，

则，解得；

当时，是增函数，，

则，解得，又，所以；

综上取值范围是.

故答案为：A

【分析】分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.

10．【答案】A

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】

故答案为：A

【分析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到。

11．【答案】B

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】作出函数与图象：

设与图象交于不同的两点，设为，，不妨设，则，

在R上递减，

，即，

，

即，

故答案为：B

【分析】利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出.

12．【答案】C

【知识点】函数的连续性；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”，

所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；

对于②中，函数，

则，即，

当时，，

当时，方程由唯一的解，

所以不存在常数使得对任意实数都成立，

所以函数不是“特征函数”，所以②正确．

对于③中，令，可得，所以，

若，显然有实数根，若，，

又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，

因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，

所以③是正确；

对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，

则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的，

所以正确命题共有②③④．

故答案为：C．

【分析】利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．

13．【答案】9

【知识点】幂函数的概念与表示

【解析】【解答】因为幂函数的图像过点，

所以，解得，

故，

所以.

故答案为：9

【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求出，利用函数解析式即可求值.

14．【答案】

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】设扇形的半径为，由题意可得：，

据此可得这个扇形中心角的弧度数为。

【分析】利用扇形的弧长公式结合扇形的面积公式，从而建立扇形中心角的弧度数和圆的半径方程组，从而求出这个扇形中心角的弧度数。

15．【答案】1000

【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】由可得，即，

当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；

所以，两次地震的最大振幅之比是：，即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.

故答案为：1000

【分析】先根据求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可.

16．【答案】40

【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象

【解析】【解答】因为函数满足，

所以函数图象关于成中心对称，

又，

所以的图象也关于成中心对称，

因此与的图像的交点为关于成中心对称，

所以

故答案为：40

【分析】由知函数图象关于成中心对称，，图象关于点成中心对称，故交点关于成中心对称，即可求解.

17．【答案】（1）解：

（2）解：

.

【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值

【解析】【分析】（1）根据终边相同的角同名三角函数值相等化简求值即可（2）先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系化为正切即可.

18．【答案】（1）解：由解得，故，

因为，所以，即,

所以.

（2）解：因为，

所以，

故.

【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算

【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由可知，结合数轴求解即可.

19．【答案】（1）解：因为幂函数，

所以，解得或，

所以函数为或.

（2）解：①因为图像不经过坐标原点，

所以，

函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

②因为图像经过坐标原点，

所以，

因为为偶函数，且在上为增函数，

所以，

又在上为增函数，

所以，

解得，

所以不等式的解为.

【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】【分析】（1）根据幂函数可得，求出m即可（2）①根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可②根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.

20．【答案】（1）证明：因为，

所以对任意都有.

因为其反函数为，

当时，

，

所以对任意都有.

（2）解：因为，

所以，

当时，解得，且函数在上为增函数

当时，解得，且函数在上为增函数

所以时函数定义域为，函数在上为增函数；当时函数定义域为，函数在上为增函数.

（3）解：当时，,

令，

则

因为对称轴为，

所以当时，，当时，，

故函数的值域为.

【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；二次函数在闭区间上的最值

【解析】【分析】（1）写出其反函数为，根据解析式即可证明（2）写出，分类讨论，写出定义域及单调性即可（3）写出，利用换元法求其值域即可.

21．【答案】（1）解：因为函数是定义在上的奇函数，

所以，即，经检验符合题意

（2）解：由（1）知

函数为R上的减函数，证明如下；

设，

则

因为，，

故，

则是R上的减函数.

（3）解：因为为奇函数，

所以

又是R上的减函数，

所以恒成立，

令，

因为，

所以，

当时，，

所以时，不等式恒成立.

故实数的取值范围..

【知识点】函数单调性的判断与证明；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题；二次函数的性质

【解析】【分析】（1）根据题意由函数为定义在上的奇函数知，代入计算即可（2）首先对解析式变形，用作差法判断函数单调性即可（3）根据函数的奇偶性，单调性可得恒成立，只需求函数的最小值即可.

22．【答案】（1）解：因为二次函数中，

所以对称轴，

又的图像与轴的两个交点之间的距离为4，

所以与轴交点为

设，

又，

所以

即.

（2）解：①,

对称轴为，

因为为单调函数，

所以或

解得或.

故的取值范围是或.

②,

对称轴为，

当，即时，，

当，即时，，

当，即时，

综上

函数零点即为方程的根，

令，即的根，

作出的简图如图所示：

（i）当时，，或，

解得或，有3个零点.

（ii）当时，有唯一解，解得，有2个零点.

（iii）当时，有两个不同的解，

解得或，有4个零点.

（iv）当时，，，解得，有2个零点.

（v）当时，无解，无零点.

综上：当时，无零点；

当时，4个零点；

当时，有3个零点；

当或时，有2个零点

【知识点】二次函数的性质；二次函数在闭区间上的最值；函数的零点与方程根的关系

【解析】【分析】（1）根据条件可知二次函数对称轴，的图像与轴的两个交点之间的距离为4可求出交点，利用交点式求函数解析式（2）①写出二次函数，根据对称轴与区间关系可求出的取值范围②分类讨论求出函数的最小值，换元后作出函数图象，再利用数形结合研究函数的零点，注意分类讨论思想在解题中的应用.

1/1黑龙江省大庆市实验中学2023-2023学年高一上学期11月月考数学试题

一、单选题

1．（2023高一上·大庆月考）函数的定义域为（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】对数函数的概念与表示

【解析】【解答】要使函数有意义，则，解得且，

所以函数定义域为.

故答案为：A

【分析】根据函数解析式，写出自变量满足的条件，即可求解.

2．（2023高一上·大庆月考）函数在上的最小值为（）

A．2B．1C．D．

【答案】C

【知识点】函数的最大（小）值

【解析】【解答】因为函数，

所以函数在上是减函数，

所以当时，.

故答案为：C

【分析】根据函数解析式可知函数的单调性，利用单调性求最小值.

3．（2023高一上·大庆月考）若且为第三象限角，则的值等于（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】同角三角函数间的基本关系

【解析】【解答】因为且为第三象限角，

所以，

则.

故答案为：C

【分析】根据同角三角函数的基本关系及角所在的象限，即可求解.

4．（2023高一上·大庆月考）设集合，若A为空集，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】集合关系中的参数取值问题

【解析】【解答】当时，原不等式为，A为空集；

当时，因为A为空集

所以无解，

只需满足，

解得，

综上实数的取值范围是.

故答案为：D

【分析】分两种情况分类讨论，时符合题意，时只需满足即可求解.

5．（2023高一上·大庆月考）已知奇函数在上是增函数，若则的大小关系是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】奇偶性与单调性的综合；对数函数的单调性与特殊点

【解析】【解答】因为函数为奇函数，

所以，

因为，

且函数在上是增函数，

所以，

故答案为：B

【分析】根据函数为奇函数，只需比较，利用对数性质及指数性质比较，，即可求解.

6．（2023高一上·大庆月考）已知，则（）

A．2B．0C．D．

【答案】D

【知识点】函数的值；对数的性质与运算法则

【解析】【解答】

.

故答案为：D

【分析】将自变量代入函数解析式，利用对数的运算化简求值即可.

7．（2023高一上·大庆月考）已知函数则（）．

A．B．C．D．

【答案】D

【知识点】对数的性质与运算法则；分段函数的应用

【解析】【解答】,

故答案为：D.

【分析】利用分段函数的解析式结合对数的运算性质，从而求出函数值。

8．（2023高一上·大庆月考）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）

A．B．C．D．

【答案】C

【知识点】复合函数的单调性

【解析】【解答】设g（x）＝x2﹣ax+1，

则要使f（x）＝ln（x2﹣ax+1）在区间（2，+∞）上单调递增，

由复合函数单调性可得：

满足，即，

得a，

即实数a的取值范围是，

故答案为：C．

【分析】根据复合函数单调性之间的关系进行求解即可.

9．（2023高一上·大庆月考）已知恒为正数，则取值范围是（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】对数函数的图象与性质

【解析】【解答】当时，是减函数，，

则，解得；

当时，是增函数，，

则，解得，又，所以；

综上取值范围是.

故答案为：A

【分析】分两种情况分类讨论，根据对数函数的性质即可求解.

10．（2023高一上·大庆月考）化简得（）

A．B．

C．D．

【答案】A

【知识点】同角三角函数基本关系的运用

【解析】【解答】

故答案为：A

【分析】利用求出，第一个根号分子分母同时乘以，第二个根号分子分母同时乘以，结合平方关系即可得到。

11．（2023高一上·大庆月考）在平面直角坐标系中，集合设集合中所有点的横坐标之积为，则有（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质

【解析】【解答】作出函数与图象：

设与图象交于不同的两点，设为，，不妨设，则，

在R上递减，

，即，

，

即，

故答案为：B

【分析】利用指数函数与对数函数的图象可知，图象有两交点，设两交点，，根据指数函数、对数函数性质可知，即可得到，进而求出.

12．（2023高一上·兰州期中）若对于定义在上的函数，其图象是连续不断的，且存在常数使得对任意实数都成立，则称是一个“特征函数”．下列结论中正确的个数为（）

①是常数函数中唯一的“特征函数”；

②不是“特征函数”；

③“特征函数”至少有一个零点；

④是一个“特征函数”．

A．1B．2C．3D．4

【答案】C

【知识点】函数的连续性；函数的零点与方程根的关系

【解析】【解答】对于①中，设，当时，函数是一个“特征函数”，

所以不是唯一的一个常值的“特征函数”，所以①不正确；

对于②中，函数，

则，即，

当时，，

当时，方程由唯一的解，

所以不存在常数使得对任意实数都成立，

所以函数不是“特征函数”，所以②正确．

对于③中，令，可得，所以，

若，显然有实数根，若，，

又因为的函数图象是连续的，所以在上必由实数根，

因此任意的“特征函数”必有实根，即任意“特征函数”至少有一个零点，

所以③是正确；

对于④中，假设是一个“特征函数”，则对任意的实数成立，

则有，而此式有解，所以是“特征函数”，所以④正确的，

所以正确命题共有②③④．

故答案为：C．

【分析】利用新定义“特征函数”，对选项逐个进行判定，即可求解，得到答案．

二、填空题

13．（2023高一上·大庆月考）已知幂函数的图像过点，则

【答案】9

【知识点】幂函数的概念与表示

【解析】【解答】因为幂函数的图像过点，

所以，解得，

故，

所以.

故答案为：9

【分析】将点的坐标代入函数解析式即可求出，利用函数解析式即可求值.

14．（2023高一上·大庆月考）一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为．

【答案】

【知识点】扇形的弧长与面积

【解析】【解答】设扇形的半径为，由题意可得：，

据此可得这个扇形中心角的弧度数为。

【分析】利用扇形的弧长公式结合扇形的面积公式，从而建立扇形中心角的弧度数和圆的半径方程组，从而求出这个扇形中心角的弧度数。

15．（2023高一上·大庆月考）20世纪30年代，里克特（C.F.Richter）制定了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为其中，A是被测量地震的最大振幅，是“标准地震”的振幅（使用标准地震振幅是为了修正测震仪距实际的距离造成的偏差），众所周知，5级地震已经比较明显，计算8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的倍.

【答案】1000

【知识点】对数的性质与运算法则；对数函数图象与性质的综合应用

【解析】【解答】由可得，即，

当时，地震的最大振幅为；当时，地震的最大振幅为；

所以，两次地震的最大振幅之比是：，即8级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的1000倍.

故答案为：1000

【分析】先根据求得地震最大振幅关于M的函数，将震级代入分别求出最大振幅，最后求出两次地震的最大振幅之比即可.

16．（2023高一上·大庆月考）已知函数满足，函数，且与的图像的交点为，则

【答案】40

【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的图象

【解析】【解答】因为函数满足，

所以函数图象关于成中心对称，

又，

所以的图象也关于成中心对称，

因此与的图像的交点为关于成中心对称，

所以

故答案为：40

【分析】由知函数图象关于成中心对称，，图象关于点成中心对称，故交点关于成中心对称，即可求解.

三、解答题

17．（2023高一上·大庆月考）

（1）计算；

（2）已知，求的值.

【答案】（1）解：

（2）解：

.

【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值

【解析】【分析】（1）根据终边相同的角同名三角函数值相等化简求值即可（2）先根据诱导公式化简，再利用同角三角函数间的关系化为正切即可.

18．（2023高一上·大庆月考）设

（1）求

（2）若，求实数的取值范围.

【答案】（1）解：由解得，故，

因为，所以，即,

所以.

（2）解：因为，

所以，

故.

【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算

【解析】【分析】（1）化简集合，根据集合的交集运算即可求解（2）由可知，结合数轴求解即可.

19．（2023高一上·大庆月考）已知幂函数

（1）求的解析式；

（2）①若图像不经过坐标原点，直接写出函数的单调区间.

②若图像经过坐标原点，解不等式.

【答案】（1）解：因为幂函数，

所以，解得或，

所以函数为或.

（2）解：①因为图像不经过坐标原点，

所以，

函数的单调递减区间为，无单调递增区间.

②因为图像经过坐标原点，

所以，

因为为偶函数，且在上为增函数，

所以，

又在上为增函数，

所以，

解得，

所以不等式的解为.

【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的单调性、奇偶性及其应用

【解析】【分析】（1）根据幂函数可得，求出m即可（2）①根据图象不过原点确定函数解析式，写出单调区间即可②根据图象过原点确定函数解析式，利用函数单调性解不等式.

20．（2023高一上·大庆月考）已知函数其反函数为

（1）求证：对任意都有，对任意都有

（2）令，讨论的定义域并判断其单调性（无需证明）.

（3）当时，求函数的值域；

【答案】（1）证明：因为，

所以对任意都有.

因为其反函数为，

当时，

，

所以对任意都有.

（2）解：因为，

所以，

当时，解得，且函数在上为增函数

当时，解得，且函数在上为增函数

所以时函数定义域为，函数在上为增函数；当时函数定义域为，函数在上为增函数.

（3）解：当时，,

令，

则

因为对称轴为，

所以当时，，当时，，

故函数的值域为.

【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；二次函数在闭区间上的最值

【解析】【分析】（1）写出其反函数为，根据解析式即可证明（2）写出，分类讨论，写出定义域及单调性即可（3）写出，利用换元法求其值域即可.

21．