高等代数论文-线性代数在实际问题中的应用

《高等代数》论文学院：理学院班级：数学1202姓名：童立夏学号：20122507指导教师：赵芬霞线性代数在实际问题中的应用数学类1202班童立夏学号20122507内容摘要：线性代数作为数学的一个重要的分支，具有较强的逻辑性、抽象性和较强的实用性。线性代数是以矩阵、线性空间结构及线性变换为基本研究对象，其核心是研究线性代数方程组解的情况以及如何更快地求解线性方程组、线性空间结构及线性变换。线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中：通过解析几何，线性代数得以被具体表示。本文通过一些实例讨论线性代数在实际问题中的应用，说明线性代数理论的应用意义及方法从而使抽象的线性代数理论更直接、更形象。关键词：线性代数、应用、矩阵、行列式导言：线性代数主要研究有限维线性空间中的线性关系和线性映射，具有代数学的实用性和抽象性特点。线性代数在数学、力学、物理学和技术学科中各有重要地位，本文将给出几个典型的应用实例，包括矩阵、行列式、线性组合等几个部分的应用以及线性组合在经济领域、数学建模中的应用，在解决问题的过程中引出概念和方法。线性代数在经济领域中的应用行列式是线性代数的重要组成部分，它是解决线性方程组的常用工具，而线性方程组在经济领域的应用比较广泛。实例：成本问题。某些产品在生产过程中能获得另外几种产品或副产品，但是对每种产品的单位成本难以确定，这类问题可以通过几次测试，列出方程组求解。例如：在一次投料生产中能获得四种产品，每次测试的总产品如表一所示，试求每种产品的单位成本。解：设A、B、C、D四种产品的单位成本分别为x1、x2、x3、x4，可列出方程组 将方程化简如下：运行行列式解得：x1=10,x2=5,x3=3,x4=2,所以A、B、C、D四种产品的单位成本分别为10元/公斤，5元/公斤，3元/公斤，2元/公斤。表一A=，δT=（a14a24a34）,αT=(xyz),二次曲面的方程可以表示为（αT,1）=0.由线性代数的知识，对因此可以通过正交变换将二次曲面方程的左边化为==从而二次曲面的方程化简为由于正交变换保持向量的内积，故保持向量的长度和向量间的夹角。可以证明，当时，就是绕空间某一条过原点的直线的旋转。根据二次型的秩为3，方程可化为又如果的正惯性指数为3或0，则经移轴变换，二次曲面的方程可化为此时，当d分别大于0、等于0、小于0时，二次曲面分别是椭球面、一个点、虚椭球面。四、线性组合的应用实例n+1个人看n种不同的书，若每个人至少看过其中的一种，则必可从这n+1个人中找出两组人，这两组人看过的书集中在一起，其种类是完全你相同的。证明以n维列向量，记第个人的阅读记录。若他看了第种书，则=1，若他不曾看过第种书，则=0.于是每个向量均为非零向量。且各分向量不是0就是1.由于该向量组由n+1个n维向量组成，向量组中向量的个数大于向量的维数则向量组相关，因此至少由一个向量可以表示为其余向量线性组合，不妨设有不全为零。因为，且分量，则线性组合系数中至少有一个为正，否则的各分量现把系数为正的项留在组合式子的右边，系数为负的2项移至左边，略去系数为零的项后有式中与皆为证书，故左右两边的线性组合给出的向量均非负其正分量正是左右两组人看书的记录，根据向量相等的定义，它们是完全相等的。五、利用行列式解决行星轨道方程的问题一天文学家要确定一颗小行星绕太阳运行的轨道，他在轨道平面内建立一个以太阳为原点的直角坐标系，在两坐标轴上取天文测量单位（1天文单位为地球到太阳的平均距离：9300万里）。他在五个不同时间对小行星作五次观测，得到轨道上五个点的坐标分别为（5.764,0.648），（6.286，1.202），（6.759,1.823），（7.168,2.562）与（7.408,3.360）。由开普勒第一定律知小行星轨道为一椭圆，试建立它的方程。解平面上圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的一般方程为：，该方程含六个待定系数，用与上面类似的方法，通过五个不同点与的一般圆锥曲线方程为：将五个点的坐标代入上述方程后展开并化简得：这里，根据椭圆上给定五个点的数据信息，通过插值构造代数多项式曲线来逼近椭圆方程曲线，将问题巧妙转化为行列式并得到所求的近似曲线。结论：线性代数问题广泛存在于自然科学和社会科学的各个领域，总之，随着社会的进步，科技的飞跃发展，线性代数都在不断吸收其他领域的新成果。著名数学家M.Kline曾经说过：“这门学科是在直观的和经验的基础上起始的。严密性在希腊时代就变成了一个目标……但是，过分追求严密性，将引入绝境而失去它的真正意义。数学仍然是活跃而富有生命力的，但是它只能建立在实用的基础上。”希望此次线性代数在实际问题中的应用讨论能在自己和其他同学在今后数学的学习上有所帮助。参考文献：[1]张莹华.线性代数及其在经济领域中的应用与作用.科教文化[2]李秀兰，张红玉.线性代数在数学建模中的应用.山西大同学报.2010:26[3]周金明，项立