第3讲 枚举法一-完整版

第3讲枚举法一兴趣篇（1）1-20共有多少个数？（2）20-40共有多少个数？答案：（1）20个；（2）21个解答：（1）20-1+1=20（个）（2）40-20+1=21（个）如图3-1所示，桌子上有一些围棋，共有多少枚黑棋？答案：16枚^墨莫在一张纸上画了一些图形，如图3-2所示，每个图形都是由若干条线段连接组成的，请你数一数，纸上一共有多少条线段？（最外面的大长方形是纸的边框，不算在内）3.答案：24条解答：整个纸片上有6个图形，为了便于说明，把各个图形编号为A、B、C、D、E、F，如下图所示A号图形由5条线段连成，B号图形由3条线段连成，C号图形由4条线段连

成，D号图形由3条线段连成，E号图形由5条线段连成，F号图形由4条线段连成，因此，这些图形中一共有线段5+3+-4+3+5+4=24(条)．^小明决定去香山、颐和园、圆明园这三个景点旅游.要走遍这三个景点，他一共有多少种不同的游览顺序？答案：6种解答：小明游览这三个旅游景点共有6种不同路线，如下图所示：如下图所示：^★小王准备从青岛、三亚、桂林、杭州这4个地方中选2个去旅游，小王有多少种不同的选择？如果小王想去其中的3个地方，又有多少种选择？答案：6种；4种解答：(1)①如果小王去青岛，那么他还要从三亚、桂林、杭州中选择一个去旅游，有3种情况，即：青岛与三亚，青岛与桂林，青岛与杭州；如果小王不去青岛而去第二个城市三亚，那么他还要从桂林、杭州中选择一个去旅游，有2种情况，即：三亚与桂林，三亚与杭州；如果小王青岛、三亚都不去，那么池只能去桂林、杭州，有1种情况.如下图所示：综上所示，小王的选择有3+2+1=6（种）（2）从反面思考问题，4个城市中选择了3个。相当于选出一个城市不去，因此每个城市都有可能被小王排除而选择其他3个城市游览方案自然也有4种了。§.★★小烧饼每个5角钱，大烧饼每个2元钱.墨莫一共有6元钱，如果把这些钱全部用来买烧饼，一共有多少种不同的买法？答案：4种解答：由于买的大烧饼不能超过3个，则分别考虑买的大烧饼有0个、1个、2个、3个这四种情况：如果没有买大烧饼，他的6元钱就都用来买小烧饼了，小烧饼就要买12个；、如果买了1个大烧饼，他还剩6-2=4（元）就只能买8个烧饼；如果买了2个大烧饼，他还剩6-2x2=2（元），只能买4个烧饼；如果买了3个大烧饼，此时他的钱都用完了，不能再买小烧饼了。即：\、沁毅1雷3小烧饼敷8q0因此，如果墨莫把钱都花完，就可以有以上4种买法．

．★★在一次知识抢答比赛中，小高和墨莫两个人一共答对了10道题，并且每人都有答对的题目，如果每道题答对得1分，那么小高和墨莫分别可能得多少分？请把所有的可能填写到下面的表格里．11小高的总分111111111111■11■11■11111■11墨莫的总分111111111111111111111111111111答案：个人最多得9分，我们不妨从小高考虑起，依次考虑当小高的得分为1~9分时，墨莫的得分情况，即可得到答案．．★★两个海盗分20枚金币．请问：(1)如果每个海盗最少分到5枚金币，一共有多少种不同的分法？(2)如果每个海盗最多分到16枚金币，一共有多少种不同的分法？答案：(1)11种；(2)13种解答：(1)由两个海盗每人最少分得5枚金币，最多分得20-5=15(枚)金币．我们把两个海盗可能分得金币的情况填入下面的表格中：(2)医每个海盗最多分得16枚金币，那么每人最少分得20-16=4(枚)金币．我们同样可以把两个海盗可能分得金币的情况填入下面的表格中：「斑逼A45791011121131115晦盗B1U15141312111098165i(T数一数即可得到，这样的分法有13种．．★★有15个玻璃球，要把它们分成两堆，一共有几种不同的分法？这两堆球的个数可能相差几个？9.答案：7种；可能相差13，1l，9，7．5，3，1个解答：两堆玻璃球没有次序之分，但这两堆玻璃球中一定有一堆较多而另一堆较少，或者两堆一样多（实际上不会出现两堆一样多的情况，因为玻璃球总数15是奇数）．此时较少的一堆中至少有1个球，至多有7个球，我们根据两堆之和有15个球列出下表较少亠■堆的球数1234567较多一堆的球数141312:11108从表格中看出，一共有7种分球的方法，两堆中球的个数可能相差14-1=13（个），13-2=11（个），12-3=9（个），11-4=7（个），10-5=5（个），9-6=3（个），8-7=1（个）．．★★张奶奶去超市买了12盒光明牛奶，这些牛奶需要装在2个相同的袋子里，并且每个袋子最多只能装10盒．张奶奶一共有几种不同的装法？答案：5种解答：由每个袋子最多只能装10盒，装得少的“小袋子”中最少放2盒牛奶，而共买了12盒牛奶，则装得少的“小袋子”中最多放6盒牛奶，那么就有2盒，3盒，4盒，5盒，6盒这5种情况．把相应的分法填人下表以上就是所求的5种分牛奶的方法，

拓展篇1.^★如图3-3，小高画了一个小房子，如果每画一笔都不能拐弯，那么她最少画了几笔？答案：31笔解答：图中两扇窗户都只能单独画，门也要单独画，所以我们可以把图形分成3部分看：先数③，由于每一笔都不能拐弯，一笔只能画出一条线段，所以③要画4笔；再看②，每扇窗户的外框需要画4笔，里面的一横一竖还要画2笔，每扇窗户一共要画6笔，则②共要画6x2=12（笔）；最后看①，烟囱需画4笔，去掉烟囱后的图形至少要画11笔，则①最少要画4+11=15（笔）．综上所述，把所有笔画都加起来一共要画4+12+15=31（笔）．2.^★小高把82.^★小高把8块绿豆糕摆成如图3-4所示的图形，让墨莫挑两块挨在一起的绿豆糕，请问：墨莫一共有多少种不同的挑法？答案：7种解答：将绿豆糕分别标上编号1、所示的图形，让墨莫挑两块挨在一起的绿豆糕，请问：墨莫一共有多少种不同的挑法？答案：7种解答：将绿豆糕分别标上编号1、2、3、4、5、6、7、8．从左上往右下数，挨在一起的两块绿豆糕有：1和2，2和3，3和4，4和5．从左下往右上数，挨在一起的两块绿豆糕有：8和7，7和6，6和3．一共有7种不同的挑法．3．★★要沿着如图3-5所示的道路从A点走到B点，并且每段路最多只能经过一次，一共有多少种不同的走法？图3—5答案：4种解答：从A点出发，可以先向上走，也可以先向右走。①若从A点出发向上走，而遇到岔路时可以向上也可以向右．但这两种方式都只有一种走法到达B，否则就有路线会重复经过，如下图所示：可以到达8可枚到达B不能到达可以到达8可枚到达B不能到达E若从A出发向右走，则遇到岔路口时可以向上也可以向左，如下图所示，共有2种符合题意的走法综上所述，从A点到B点共有4种符合题意的走法。★★小高、萱萱、卡莉娅三个人去看电影，他们买了三张座位相邻的票.他们三人的座位顺序一共有多少种不同的安排方法？答案：6种解答：一共有2+2+2—6（种）安排座位的方法，如下图所示：小高/萱萱一亠卡莉姻下图所示：小高/萱萱一亠卡莉姻'卡莉娅一萱聲萱萱萱萱—»小高小高一萱萱萱萱—»小高小高一萱聲小高一*卡莉娅卡範娅一小篙

^★小李摆摊卖货，小木偶每个卖1元，大木偶每个卖2元，他今天共卖出了5个木偶．小李今天一共可能卖了多少钱？答案：5元、6元、7元、8元、9元或10元解答：小李可能卖的钱数有5元，6元，7元，8元，9无以及10元，如下表所示：卖出的小木偶数/X卖出的小木偶数/X个)54321*卖出的大本偶数八;个)0124.卖的钱数元》5678910^^(1)老师给小高14个相同的作业本，如果小高把这些本子全都分给墨莫和卡莉娅，有多少种不同的分法？(可以只分给一个人)(2)老师给小高14个相同的作业本，如果小高只需要把这些本子分成2堆，又有多少种不同的分法？答案：(1)15种；(2)7种解答：(1)墨莫分得的作业本个数可以是从O到14本，一共有15种情况，当墨莫分完后，剩下的作业本就全部归卡莉娅了，所以一共就会有15种不同的分法：(2)分成2堆时，每堆至少要有l本作业本．因此从表格中可以看出，14本作业本共有7种不同的分法：较少一一靈的冬数12345Ji7较多一堆的今数1312n1097^★盘子里一共有20颗花生，小高和墨莫一起吃.每人一口吃2颗，两个人一起把花生吃完(每人至少吃一口)．请列举出他们吃花生数量的所有情况．答案：他们吃花生数量的所有情况如下表：小高246g101214161818161412108642解答：注意到每人一口吃2颗花生，所以每个人吃的花生颗数都是偶数．我们对小高吃的花生颗数进行枚举，他可能吃了2、4、6、8、10、12、14、16、18颗花生，对应可求出墨莫吃的颗数，如图3-6，有7个按键，上面分别写着：1〜7这7个数字，请问：从中选出2个按键，使它们上面数字的差等于2，一共有多少种选法？从中选出2个按键，使它们上面数字的和大于9，一共有多少种选法？图3-6答案：(1)5种；(2)6种解答：(1)按键上最小的数字是1，则减数最小是1；按键上最大的数字是7，则减数最大是7-2=5；因此减数共有1、2、3、4、5这5种情况，则按键共有5种取法：減数112345被减数134567(2)如果选出的较小的数是1，和最大为1+7=8，不满足要求．如果较小的数是2，和最大为2+7—9，不满足要求，如果较小的数是3，和要大于9，另一个数只能是7．如果较小的数是4，则另一个数可能是6、7．如果较小的数是5，则另一个数可能是6、7．如果较小的数是6，则另一个数只能是7．因此共有6种取法：较小数34455较大数167679.小高、墨莫、卡莉娅三个人一共有7本课外书，每个人至少有一本，小高、墨莫、卡莉娅分别有几本课外书？请写出全部可能的情况．解答：首先，小高至少有1本课外书．此时，墨莫和卞7-1=6(本)课外书，又每人至少有1本，因此列出表来共有5种情况，如图1所示．又墨莫和卡莉娅是两个不同的人，因此本题的枚举有顺序．

小高1111小高11111墨莫12345卡莉娅543£1小高墨莫212223]24卡莉嫩4321小高333墨莫123卡莉娅321/k^r44♦Ot-xjnt^12卡莉孃2151卡莉孃1类似地，可以得到小高有2本、3本、4本、5本课外书时，墨莫和卡莉娅两人的课外书的数量，分别如图2、图3、图4、图5所示．但小高是不可能有6本课外书的，否则墨莫和卡莉娅两人一共只有1本课外书，与题意矛盾，综上所述，三人的课外书一共有5+4+3+2+1=15(种)10．小王有5个相同的飞机模型，他要把它们放在一个3层的货架上，每层至少要放1个，小王一共有多少种不同的放法？过了几天，他又要把18个相同的汽车模型放到另一个3层货架上，每层最少要放5个，这时有多少种不同的放法？答案：6种；10种解答：(1)解答：(1)(2)先在每层都放5辆，还剩下18-5x3-3辆没有放.第一层—第一层第一层—第一层003012021030102第一层i色第三层111120201210300因此共有4+3+2+1=10(种)不同的放法，只要把上表中的数字都加上5，就能够得到所有可能的放法，如下表所示：第一层■/第一层■/*********Jjl&i'558557576535657第一层第二层S£c第二层666675756765855所以一共有10种不同的放法．(1)小明买回来一袋糖豆，他数了一下，一共有10个．现在他要把这些糖豆分成3堆，一共有多少种不同的分法？(2)如果小明有两袋糖豆，每袋10个，要把这两袋糖豆分成3堆，每堆最少要有5个，一共有多少种不同的分法？答案：(1)8种；(2)5种

解答：（1）共有4+3+1=8（种）分法，如下表所示：（2）2袋共有2x10-20（个）糖豆，先给每堆都放人5个，则已经分出去5x3—15（个）糖豆，还剩下5个糖豆要分•5个糖豆往3堆中放，按照小堆个数从小到大的顺序枚举如下：只要把上表中的数字都加上5，就能够得到所有可能的放法，所以一共有5种不同的放法.A、B、C、D、E这五个人一起回答一道题目，结果只有两个人答对了，所有可能的回答情况一共有多少种？答案：10种解答：①如果A答对了，那么另一个答对的人可能是B、C、D、E,共有4种情况．如果A答错了，而B答对了，那么另一个答对的人可能是C、D、E，共有3种情况．如果A、B答错了，而C答对了，那么另一个答对的人可能是D、E，共有2种情况．如果A、B、C答错了，而D答对了，那么另一个答对的人只能是E，共有1种情况因此两人答对共有4+3+2+1=10(种)可能，(1)有2个相同的白球和1个红球，如果把这3个小球排成一排，有多少种不同的排法？(2)有2个相同的白球和3个相同的红球，如果把这5个小球排成一排，有多少种不同的排法？答案：(1)3种；(2)10种解答：(1)由于红球只有1个，只要它的位置确定了，其他两个白球兢确定了，则共有3种不同的排法：(白，白，红)；(白，红，白)；(红，白，白)．(2)可以先考虑个数比较少的白球，因为只要两个白球的位置确定了，红球就确定了．如果第一个白球放在第一位，那么另外一个白球可以放在第二、三、四、五位，有4种排法；如果第一个白球放在第二位，那么另外一个白球可以放在第三、四、五位，有3种排法；如果第一个白球放在第三位，那么另外一个白球可以放在第四、五位，有2种排法；如果第一个白球放在第四位，那么另外一个白球可以放在第五位，有1种排法；第一个白球不可能放在第五位，综上所述，2个白球3个红球排成一排，共有4+3+2+1=10（种）不同的排法.班主任要从甲、乙、丙、丁、戊这五个小朋友里面选出四个人参加乒乓球赛，有多少种不同的选法？如果已经选出了甲、乙、丙、丁，现在要把他们分成两组，进行双打比赛，有多少种不同的分法？答案：15种；3种解答：（1）要从5个人中去掉一个不选，那只有5种可能性，分别是去掉甲、乙、丙、丁、戊．所以从5个小朋友中选4个人有5种选法．（2）与甲搭档的只可能是乙、丙、丁3个人中的一人，也就是说只有甲乙（丙丁），甲丙（乙丁），甲丁（乙丙）3种分组方式．超越篇1.小明参加了一次小测验，每个小题2分，每个大题5分，两种题目各有3道．小明的得分一共有多少种不同的可能？答案：16种解答：由于小题和大题各有3道，则小明答对小题的数目可能是0道、1道、2道、3道，答对大题的数目也是如此，对于以上的4种情况，可以列一个总表来表示：小题对0這小题对小題对2道小题对3道大题对0這0分2分4分6分大题对［遴5分7分9分11分大题对2道分芻分14分諾分大题对3道1$分17分19分21分在上面的表格中，小明的总分各不相同，因此一共有4x4=16（种）不同的得分。2．几个小朋友在屋子里玩石头剪子布，墨莫在门外问他们一共有几个人，其中一个小朋友说：“不能直接告诉你人数，不过我们现在一共伸出来了22根手指，并且有3个人出石头，”请问：屋子里可能有几个人在玩游戏？（出石头的不伸手指，出剪子的伸2根，出布的伸5根）答案：14人、11人或8人解答：出石头的有3人，而出石头的不伸手指头，那么伸出的这22根手指头就只能是出剪子和出布的人伸出的，与出石头的人无关．由于出剪子的伸2根手指头，出布的伸j根手指头，而一共伸出了22根手指头，因此出剪子的不超过11个，出布的不超过4个．当出布的有0人时，伸出的22根手指头都是出剪子的人伸出的，那么出剪子的人有22-2=11（个）;当出布的有1人时，出剪子的人一共伸出了22-5=17（根）手指头，但是出剪子的每人伸出2根手指头，而17是奇数，这就出现了矛盾；当出布的有2人时，出剪子的人一共伸出了22-5x2=12（根）手指头，那么出剪子的人就有12-2=6（个）；当出布的有3人时，出剪子的人一共伸出了22-5x3=7（根）手指头.7也是奇数，于是又出现矛盾；当出布的有4个人时，出剪子的人一共伸出了22-4x5=2（根）手指头，那么此时出剪子的人就只有1个.综上所述，出石头、出布和出剪子的人数可能是：对应的屋里总人数也有3种情况：3+0+11=14（人），或3+2+6=11（人），或3+4+1=8（人）．3．一次小测验一共4道题，最初每位同学都有4分的基础分，然后每答对一道题加3分，每答错一道题扣1分，不答不扣分，同学们的得分可能是多少？答案：目得分可能是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13或16分，有14种惰况解答：一共有4道题目，那么答对的题目可能是0~4道.如果答对了0道题，则答错的和不答的一共有4道题，有5种情况：类似地，可以得到答对1道、2道、3道、4道题时的所有得分情况：综上所述，一共有5+4+3+2+1=15（种）答题结果．其中4道题都不答，与答对1道答错3道得分一样，都是4分，而其他的答题结果对应的得分各不相同，因此每位同学的得分有14种可能，分别是：0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、12、13或16分．4．现在有1分、2分、5分的硬币各5枚，要用这些硬币凑出2角钱，一共有多少种不同的凑法？答案：8种解答：因1分和2分的硬币加在一起只有1角5分，要凑出2角，则5分的硬币至少有1枚．当5分硬币只取1枚时，1分和2分的硬币必须全都选出，才能凑够2角钱，有1种凑法．当取2枚5分硬币时，我们还要用5枚1分硬币和5枚2分硬币凑出1角钱，有3种凑法：当取3枚5分硬币时，还要用5枚1分硬币和5枚2分硬币凑出5分钱，也有3种凑法：3分硬币的伞数3332分硬币的个数2101分硬币的个数135当取4枚5分硬币时，已经凑够2角钱了，1分和2分硬币只能一个都不取，不可能取5枚5分硬币，否则就超过2角钱了，综合上面4种情况可得，凑出2角钱一共有1+3+3+1=8（种）凑法．5．如图3-7，妈妈在5张卡片上分别写了1、1、1、2、2这5个数字，让小明从里面挑出3张来组成一个三位数．小明可能组成多少个不同的三位数？图3-7答案：7个解