高三导数专题之对数单身狗指数找朋友题型整理

高三导数专题之对数单身狗指数找朋友题型整理1•口诀：对数单身狗，指数找基友；指对在一起，常常要分手2•对数单身狗设『(玄〕为可导函数+则有Irur)'=/(x)Inx+/(x)Kf(x)为非常数函数,求导式子中含有hid这类问题需要多次求导，处理这类函数的技巧是将Inx前面部分提出+就留下加龙这个单身狗•然后研究剰余部分”这类方法技巧叫对数单身狗.例1.(对数单身狗)已知/(r)=xlnJt「若f{x)>lax1+-(aH0)在xE(Q1+8)上恒成立,求a的最小值，解：恒成立问题一般思路：1参变分离…本题不好操作N谡新函数xlnx-Zax20p分类讨论贅杂，计算麻烦3.xlnx>lax1+彳=Inx>2ox+£X0=>(Inx—2ox—£)戚血>0解：>2ax2+x€(0,+s)上恒直立:inx>2ax+—ax即lnx—2ax—^>0在re(C,4-co)上恒咸立设=Inx—2ctx——-ax7+ax-ax7+ax+2ax7(一ax+2)(ax+1)当(2>0B寸M(x)=0,Xj=-扌;貌=斗:xE>O,h(x)T;策w(£十s),ii(x)<0血⑵I,此时无最小值5不符合题意当£1<0H寸M(x)=0」心=—i；x2=吕:jce一寸)虫(£〕<0,/z(x)X；a:EQ，+8)山〔玄)>0,h(x)T,■AWmtJi二人(一苛二In(—十)+B>0.■—In(—a)>—3In(―a)<3=>In(―a)<3=Ine3=>一a<e3=^.\-e3<a<0m的最小值为一皆3■指数找基友设AX)为可导函数,则有(^-f(x)y=^-rcx)p若兀对为非常数函数T求导式子中还是含有于，针对此类型r可以采用作商的方法,构造［今彳=心严「或者通过变形化为:exfM或竽的形式“从而达到简化证明和求最值的目的店总在找霜于它的基友，此类方法技巧俗称指数找基友一例1.(指数找基友)广东S2021屆高三综合能力测试已知函数fW二沪一曲⑴若a>気判断函数f㈤有几个零点，并说明理由：解：⑴令心)=罗=1—當则由于房>0』f(x)=0且仅当ft(r)=0.因为"爲g)二今兰所以当HV*时rh\x)<0且等号成立当且仅当x=Q，当i>3时Fhr(r)>0.因此,呵在］-呵酊上单调递减,在3,十8)上单调递增，h⑶=1-<0dh(0)=1>0

又一0>x+1,即斗IE(£+8〕，使h(x0)>0由h（Q=1一略二丄一又一0>x+1,即斗IE(£+8〕，使h(x0)>0由h（Q=1一略二丄一45（缶尸P64根据零点存在定理，城工）在（口可，③心〕上各有一个零点。例2.（指数找基友）2021年全国统考试模拟演练（八省联考）设心=1~sinx—cosxrg(x)=ex+sinx+cosx.即证1例2.（指数找基友）2021年全国统考试模拟演练（八省联考）设心=1~sinx—cosxrg(x)=ex+sinx+cosx.即证1一已知函数代町二小-{1）证明:当咒〉一证明：要证=仏）=-SLI1X+COSX①.在工€〔一乎用）这一段期间中,当HE（-字FTh'M>o,h（nT当尤E（—陌0J,h（x）<I

:.h(x)=1-综上x>-4.指对在一起，常常要分手sihx+eusJCh(x)=1-当龙E(0:.h(x)=1-综上x>-4.指对在一起，常常要分手sihx+eusJCh(x)=1-••当XE(-丁向时,=h〔0)=015Ax）为可导函数，则有01Z-/（©）'=讯1Z+竺—厂（心若f（比）为非常数JC函数，求导式子中还是含有^lnx,针对此类型，可以采用作商的方法,构造皆Inx—f(xy=lnx-^,从而达到简化证明和求极值、最值的目的,b11皆Inx—f(xy—起，常常会分手.例1■（指对在一起，常常要分手）已知函数/G）=lnx+⑴证明：fO）>1.证明：要证e^llix十年丄>1即证111X+—>2ex占

即证尤In尤+扌｛这里h(x)=xlnx；5(x)=令为常见函数)设ft(x)=xlnx+占(乂>0);§(咒)=>0)h(x)=lnjr+1令Inx+1=0,得：尤=十11即：当炸(0,£)时，f(x)^;当工丘G,皿)时，f〔Jc”Hx)miu=/Q)=-；+J=i令］.-卞=0得：X=1即：当尤E即：当尤E(-曲J)时，faSxe(1,+«)时，fO)%■二夕时，工二+*丄时，龙=1,即不能同时取等e5.拓展思路(1)口诀：三角函数单身狗正弦正切会朋友不是同类早分手(2)例题：设尤€(0月,证明tanxx三x—sinx即证叱二妇COST即证叱二妇COST即证ycosx证明：工E(0冷

KT'-r也】1咒H-X要证——>—xsanx即证孚二一尤X0Vcosxcos3xsin2xcos3xsin2xcosxVcosx+sin2x•