2013年江苏省高考数学复习专题12空间平行与垂直

2013年江苏省高考数学复习专题12空间平行与垂直回顾2009～2012年的考题，主要考查线面平行和面面垂直，几何体为常见的锥体和柱体，其中2009年考查了位置关系基本定理判定的小题，2010年考查了点到平面的距离，2011年考查了线面平行与面面垂直，2012年考查了一道体积小题和线面平行与面面垂直的证明；其他基本考查证明位置关系如：平行、垂直的大题，难度不大.柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的.对于立体几何表面积和体积考查要求不高.预测在2013年的高考题中：1填空题依然主要是会出现考查判断位置关系基本定理真假的问题，以及表面积和体积的求解的问题.2在解答题中，主要是空间几何体的位置关系的证明，可能是双证，也可能是一证一算.1.(2012·江苏高考)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝3cm，AA1＝2cm，则四棱锥A－BB1D1D的体积为________解析：连结AC交BD于点O，则四棱锥A－BB1D1D的体积为eq\f(1,3)SBB1D1D·AO＝6.答案：62.(2012·南师大信息卷)在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点P是棱上一点，则满足|PA|＋|PC1|＝2的点P的个数为________．解析：点P在以A，C1为焦点的椭圆上，若P在AB上，设AP＝x，有PA＋PC1＝x＋eq\r(1－x2＋\r(2)2)＝2，解得x＝eq\f(1,2).故AB上有一点P(AB的中点)满足条件．同理在AD，AA1，C1B1，C1D1，C1C上各有一点满足条件又若点P在BB1上，则PA＋PC1＝eq\r(1＋BP2)＋eq\r(1＋B1P2)>2.故BB1上不存在满足条件的点P，同理DD1，BC，A1D1，DC，A1B1上不存在满足条件的点P.答案：63．在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，以BC边所在直线为轴旋转一周，则形成的几何体的侧面积为________．解析：将矩形ABCD以BC边所在直线为轴旋转一周后得到的几何体为是以2为底面半径，以3为高的圆柱体，故它的侧面积为2π×2×3＝12π.答案：12π4．(2012·南京三模)已知α，β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a，a⊥α，a⊥β；②存在一个平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α.其中是平面α∥平面β的充分条件的为________．(填上所有符合要求的序号)解析：②③中的α与β可以相交．答案：①④5．(2012·江苏最后一卷)给出下列四个命题：①如果平面α与平面β相交，那么平面α内所有的直线都与平面β相交；②如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β；③如果平面α⊥平面β，那么平面α内与它们的交线不垂直的直线与平面β也不垂直；④如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β.真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)解析：①中α内存在与β平行的直线；②中α内只有垂直于交线的直线才垂直于β；③、④正确．答案：③④eq\a\vs4\al([典例1])如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD＝DC＝BC＝1，AB＝2，AB∥DC，∠BCD＝90°.(1)求证：PC⊥BC；(2)求点A到平面PBC的距离．[解](1)证明：因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以PD⊥BC.由∠BCD＝90°，得CD⊥BC.又PD∩DC＝D，PD，DC⊂平面PCD，所以BC⊥平面PCD.因为PC⊂平面PCD，故PC⊥BC.(2)法一：分别取AB，PC的中点E，F，连结DE，DF，易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D，E到平面PBC的距离相等．又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍．由(1)知，BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC.因为PD＝DC，PF＝FC，所以DF⊥PC.所以DF⊥平面PBC于F.易知DF＝eq\f(\r(2),2)，故点A到平面PBC的距离等于eq\r(2).法二：体积法：连结AC，设点A到平面PBC的距离为h.因为AB∥DC，∠BCD＝90°，所以∠ABC＝90°.从而AB＝2，BC＝1，得△ABC的面积S△ABC＝1.由PD⊥平面ABCD及PD＝1，得三棱锥P－ABC的体积V＝eq\f(1,3)S△ABC·PD＝eq\f(1,3).因为PD⊥平面ABCD，DC⊂平面ABCD，所以PD⊥DC.又PD＝DC＝1，所以PC＝eq\r(PD2＋DC2)＝eq\r(2).由PC⊥BC，BC＝1，得△PBC的面积S△PBC＝eq\f(\r(2),2).由VA－PBC＝VP－ABC，eq\f(1,3)S△PBC·h＝V＝eq\f(1,3)，得h＝eq\r(2)，故点A到平面PBC的距离等于eq\r(2).本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空间想象能力、推理论证能力和运算能力．eq\a\vs4\al([演练1])如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形且AB∥CD，∠BAD＝90°，PA＝AD＝DC＝2，AB＝4.(1)求证：BC⊥PC；(2)四面体A－PBC的体积．解：(1)证明：作CE⊥AB于点E，则AE＝EB＝CE＝2，BC＝2eq\r(2)，则AC＝2eq\r(2)，故∠ACB＝90°，即AC⊥CB.又PA⊥平面ABCD，故PA⊥BC，所以BC⊥平面PAC.又PC⊂面PAC，因此BC⊥PC.(2)因为PA⊥平面ABC，所以VA－PBC＝VP－ABC＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AC·BC·PA＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2eq\r(2)×2eq\r(2)×2＝eq\f(8,3).故四面体A－PBC的体积为eq\f(8,3).eq\a\vs4\al([典例2])(2012·泰州模拟)已知四面体ABCD中，AB＝AC，BD＝CD，平面ABC⊥平面BCD，E，F分别为棱BC和AD的中点．(1)求证：AE⊥平面BCD；(2)求证：AD⊥BC；(3)若△ABC内的点G满足FG∥平面BCD，设点G构成集合T，试描述点集T的位置．(不必说明理由)[解](1)证明：∵在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，∴AE⊥BC.又∵平面ABC⊥平面BCD，AE⊂平面ABC，平面ABC∩平面BCD＝BC，∴AE⊥平面BCD.(2)证明：连结DE，∵BD＝CD，E为BC的中点，∴BC⊥DE.由(1)知AE⊥BC，又AE∩DE＝E，AE，DE⊂平面AED，∴BC⊥平面AED.又AD⊂平面AED，∴BC⊥AD.(3)取AB，AC的中点M，N，所有的点G构成的集合T即为△ABC的中位线MN.本题的第(3)问考查线面平行，没有直接给出点G的位置，而是需要探究点的位置．根据面面平行的性质得到线面平行，并且利用面面的交线确定点G的位置．eq\a\vs4\al([演练2])如图ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，P为平面ABCD外一点，且PB⊥BD.(1)求证：PA⊥BD；(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD.解：(1)证明：∵ABCD为直角梯形，∠BCD＝∠CDA＝90°，AD＝2BC＝2CD，∴AD＝eq\r(2)AB＝eq\r(2)BD.∴AB⊥BD.∵PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB⊂平面PAB，∴BD⊥平面PAB.∵PA⊂面PAB，∴PA⊥BD.(2)证明：假设PA＝PD，取AD中点N，连结PN，BN，则PN⊥AD，BN⊥AD，∴AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD，∴PB⊥CD，又∵BC⊥CD，且PB∩BC＝B，∴CD⊥平面PBC，∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，∴假设不成立，∴PA≠PD.eq\a\vs4\al([典例3])(2011·江苏高考)请你设计一个包装盒．如图所示，ABCD是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．E、F在AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x((1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．[解]设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)．由已知得a＝eq\r(2)x，h＝eq\f(60－2x,\r(2))＝eq\r(2)(30－x)，0＜x＜30.(1)S＝4ah＝8x(30－x)＝－8(x－15)2＋1800，所以当x＝15时，S取得最大值．(2)V＝a2h＝2eq\r(2)(－x3＋30x2)，V′＝6eq\r(2)x(20－x)．由V′＝0得x＝0(舍)或x＝20.当x∈(0,20)时，V′＞0；当x∈(20,30)时，V′＜0.所以当x＝20时，V取得极大值，也是最大值．此时eq\f(h,a)＝eq\f(1,2).即包装盒的高与底面边长的比值为eq\f(1,2).本题主要考查空间几何体中的最值问题，综合考查数学建模能力及应用导数解决实际问题的能力．eq\a\vs4\al([演练3])某加工厂有一块三角形的铁板余料(如图)，经测量得知：AC＝3，AB＝3eq\r(3)，BC＝6.工人师傅计划利用它加工成一个无盖直三棱柱型水箱，设计方案为：将图中的阴影部分切去，再把它沿虚线折起．请计算容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？解：设容器的高为x，∵AC＝3，AB＝3eq\r(3)，BC＝6，∴BC2＝AC2＋AB2，得∠A＝eq\f(π,2)，∠C＝eq\f(π,3)，∠CED＝eq\f(π,3)，∠FEG＝eq\f(π,3)，∴CD＝DE·tan∠CED＝eq\r(3)x.∴GE＝3－x－eq\r(3)x＝3－(eq\r(3)＋1)x.∴GF＝eq\r(3)GE＝eq\r(3)[3－(eq\r(3)＋1)x]．又GE>0，∴0<x<eq\f(3,\r(3)＋1).设容器的容积为V，则V＝eq\f(1,2)x·eq\r(3)·[3－(eq\r(3)＋1)x]2∴V′＝eq\f(\r(3),2)[3－(eq\r(3)＋1)x]2－eq\r(3)x[3－(eq\r(3)＋1)x]·(eq\r(3)＋1)＝eq\f(3\r(3),2)[3－(eq\r(3)＋1)x][1－(eq\r(3)＋1)x]．令V′＝0，又0<x<eq\f(3,\r(3)＋1)，∴x＝eq\f(1,\r(3)＋1)＝eq\f(\r(3)－1,2).当0<x<eq\f(\r(3)－1,2)时，V′>0，eq\f(\r(3)－1,2)<x<eq\f(3,\r(3)＋1)时，V′<0.∴当x＝eq\f(\r(3)－1,2)时，Vmax＝3－eq\r(3).eq\a\vs4\al([专题技法归纳])1．证明线面平行或垂直关系时，要认真体会“转化”这一数学思想方法，既要领会平行、垂直内部间的转化，也要注意平行与垂直之间的转化．2．空间几何体的表面积和体积的研究策略研究空间几何体的结构→计算相关边长→代入公式计算．3．空间几何体的结构的研究策略运用转化的思想，将空间几何体的问题转化为平面问题，如几何体的外接球或内切球问题，转化为多边形的外接圆或内切圆的问题．4．组合体体积的求解组合体的体积求解无论是分割还是补形，关键是有利于求出几何体的高，即找到线面垂直．1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列命题：①若α∥β，则l⊥m；②若α⊥β，则l∥m；③若l∥m，则α⊥β；④若l⊥m，则α∥β.其中正确命题的序号是________．解析：②中l与m可能异面；④中α与β也可能相交．答案：①③2．已知PA，PB，PC两两互相垂直，且△PAB，△PBC，△PAC的面积分别为1.5cm2,2cm2,6cm2，则过P，A，B，C四点的外接球的表面积为________cm2.(注S球＝4πr解析：由题意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)PA·PB＝1.5，,\f(1,2)PB·PC＝2，,\f(1,2)PC·PA＝6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(PA＝3，,PB＝1，,PC＝4.))因为PA，PB，PC两两互相垂直，所以可构造长方体．长方体的体对角线长为eq\r(26)，即为外接球的直径，所以外接球的表面积为26π.答案：26π3．(2012·苏州二模)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α∥β，m⊂β，n⊂α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.上面命题中，所有真命题的序号为________．解析：①③中的直线m与n可以是异面直线．答案：②④4．多面体上，位于同一条棱两端的顶点称为相邻的顶点，正方体的一个顶点A在平面α内，其余顶点在α的同侧，正方体上与顶点A相邻的三个顶点到α的距离分别为1,2和4，P是正方体的其余四个顶点中的一个，则P到平面α的距离可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7以上结论正确的为________．(写出所有正确结论的编号)解析：如图，B，D，A1到平面α的距离分别为1,2,4，则D，A1的中点到平面α的距离为3，所以D1到平面α的距离为6；B，A1的中点到平面α的距离为eq\f(5,2)，所以B1到平面α的距离为5；则D，B的中点到平面α的距离为eq\f(3,2)，所以C到平面α的距离为3；C，A1的中点到平面α的距离为eq\f(7,2)，所以C1到平面α的距离为7；而P为C，C1，B1，D1中的一点，所以所有可能的结果为3,5,6,7.答案：①③④⑤5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是平面α及平面β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m∥n，②α∥β，③m⊥α，④n⊥β，以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________.解析：同垂直于一个平面的两条直线互相平行，同垂直于两个平行平面的两条直线也互相平行，故②③④⇒①.(同理①③④⇒②)．答案：②③④⇒①(或①③④⇒②)6．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，四面体ACB1D1的体积为________．解析：用正方体体积减去4个相同的三棱锥体积(或求棱长为eq\r(2)的正四面体的体积)．答案：eq\f(1,3)7．(2012·南京二模)一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x＝6cm时，该容器的容积为________解析：正四棱锥的高h＝eq\r(52－32)＝4，V＝eq\f(1,3)×62×4＝48(cm3)．答案：488．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：当四点共面时为矩形；当四点不共面时，若有三点在正方体的某一面内，则可形成③⑤中的几何形体，若任意三点都不在正方体的某一面内，则形成④中的几何形体．答案：①③④⑤9．一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的斜边长为________．解析：如图，正三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC为正三角形，边长为2，△DEF为等腰直角三角形，DF为斜边，设DF长为x，则DE＝EF＝eq\f(\r(2),2)x，作DG⊥BB1，HG⊥CC1，EI⊥CC1，则EG＝eq\r(DE2－DG2)＝eq\r(\f(x2,2)－4)，FI＝eq\r(EF2－EI2)＝eq\r(\f(x2,2)－4)，FH＝FI＋HI＝FI＋EG＝2eq\r(\f(x2,2)－4)，在Rt△DHF中，DF2＝DH2＋FH2，即x2＝4＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(\f(x2,2)－4)))2，解得x＝2eq\r(3).即该三角形的斜边长为2eq\r(3).答案：2eq\r(3)10.(2012·南通一模)在棱长为4的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、D1C1上的动点，点G为正方形B1BCC1的中心．则空间四边形AEFG在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，解析：如图1，当E与A1重合，F与B1重合时，四边形AEFG在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图2，当E与A1重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；如图3，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8；综上得，面积最大值为12.答案：1211.(2012·南京二模)如图，四边形ABCD是